北师大版概率课件

概率论和数理统计概论概率论和数理统计是数学的重要分支，它们是研究随机现象的规律和方法概率论研究随机事件发生的可能性，数理统计则利用样本数据对总体进行推断和预测随机事件及其概率随机事件是指在一次随机试验中可能出现也可能不出现的事件，其结果无法预知概率是指随机事件发生的可能性大小，用数值表示，取值范围在0到1之间随机试验是指在相同条件下可以重复进行的试验，每次试验的结果都可能不同概率的基本性质非负性规范性可加性任何事件的概率都大于或等于零，且小于或必然事件的概率为1，不可能事件的概率为互斥事件的概率等于各事件概率之和等于一0样本空间和事件样本空间事件样本空间是指所有可能结果的集合，用Ω表示例如，抛一枚硬事件是指样本空间的子集，用A、B、C等字母表示例如，抛一币的样本空间为{正面，反面}枚硬币，出现正面是事件古典概型古典概型是指在有限个等可能的结果中，事件发生的概率等于事件包含的基本事件数与样本空间中基本事件总数之比当我们进行一次试验时，样本空间是有限的，并且每个基本事件出现的可能性是相同的在这种情况下，计算事件的概率就变成了统计基本事件的数量例如，掷骰子，结果是

1、

2、

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5、6，每个结果出现的概率都是1/6，这就是古典概型几何概型几何概型是一种概率模型，它基于事件发生的可能性与其在样本空间中所占的几何度量之间的关系例如，在一个圆形区域中随机取一点，该点落在圆心处的概率等于圆心所占的面积与整个圆形区域面积的比值几何概型常用于分析连续型随机变量，并通过计算事件发生的几何度量来推断概率频率概型投掷骰子抛硬币实验自然现象工业生产多次投掷骰子，记录下每次投反复抛硬币，观察正面出现的统计多年来某个地区发生地震在工厂生产过程中，统计产品掷的结果，例如，观察到6点出次数，正面出现的频率会趋近的频率，可以估计该地区发生合格率，即合格产品的数量占现的频率如果重复多次，6点于一个稳定值，即抛硬币正面地震的概率总产品数量的比例，用来估计出现的频率将趋于一个稳定值朝上的概率产品的合格率，这就是概率条件概率定义公式12条件概率是指事件A在事件B已条件概率的公式为PA|B=经发生的条件下发生的概率，PAB/PB，其中PAB表示记作PA|B事件A和B同时发生的概率应用案例34条件概率在现实生活中有着广例如，在掷骰子游戏中，已知泛的应用，例如，医疗诊断、掷出的点数为偶数，求该点数风险评估、市场分析等大于4的概率事件的独立性定义公式两个事件相互独立意味着一个事如果事件A和事件B独立，则PAB件的发生不影响另一个事件发生=PAPB的概率应用独立性在概率论中具有广泛应用，例如掷骰子，抽签等全概率公式全概率公式是一个重要的概率论公式，它可以用来计算一个事件发生的概率，当这个事件可以由多个互斥事件构成时如果事件A可以由n个互斥事件B1，B2，...，Bn构成，并且这些事件的并集等于样本空间，那么事件A发生的概率等于这些互斥事件的概率之和，每个事件的概率乘以该事件发生的情况下事件A发生的条件概率12公式应用PA=PB1PA|B1+PB2PA|B2+...+全概率公式在各种应用中发挥着至关重要的PBnPA|Bn作用，例如34统计推断机器学习估计总体参数的概率分布构建预测模型贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中的一个重要公式，用于计算事件发生的条件概率它基于先验概率和似然函数，计算后验概率，即在已知新证据的情况下，事件发生的概率随机变量及其分布

11.随机变量的定义

22.随机变量的分类随机变量是将随机事件与数值对应起来随机变量可分为离散型和连续型两种的变量

33.概率分布

44.常见分布概率分布描述随机变量取值的概率规律包括二项分布、泊松分布、正态分布等离散型随机变量及其分布离散型随机变量离散型随机变量是指取值只能是有限个或可数个值的随机变量例如，一个家庭的孩子数量就是一个离散型随机变量，因为它只能取值为

0、

1、

2、3等整数常见离散型分布连续型随机变量及其分布定义概率密度函数连续型随机变量是指其取值可以是某个区间内的任意实数的随机变连续型随机变量的概率分布通常用概率密度函数来描述，它表示随量它可以表示一些连续变化的量，比如身高、体重、温度等机变量落在某个区间内的概率常见分布应用常见的连续型随机变量分布包括正态分布、指数分布、均匀分布等连续型随机变量及其分布在统计学、概率论、工程学等领域都有广泛应用随机变量的数字特征期望方差随机变量的平均值随机变量与其期望值的离散程度标准差偏度方差的平方根随机变量分布的偏斜程度大数定律独立同分布1随机变量相互独立且服从同一分布样本均值2样本均值为随机变量的平均值收敛于期望3样本均值在样本量无限增大时趋近于总体期望大数定律阐述了当样本量足够大时，样本均值会收敛于总体期望此定律在概率论和统计学中具有重要的应用，例如在风险管理和投资组合优化中中心极限定理重要性中心极限定理在统计学中至关重要，它解释了为什么许多自然现象和社会现象遵循正态分布应用中心极限定理广泛应用于抽样调查、假设检验、置信区间等统计推断方法中概念当样本量足够大时，多个独立随机变量的均值将近似服从正态分布解释无论原始随机变量是什么分布，只要满足一定条件，样本均值的分布趋向于正态分布数据收集与描述性统计数据收集数据整理收集准确可靠的数据是进行统计分析的关键常见的数据收集方法对收集到的数据进行整理、分类和汇总，以便更好地理解和分析数包括问卷调查、实验观测和数据挖掘据描述性统计数据可视化使用各种统计指标来描述数据的基本特征，例如平均数、方差、标将数据以图表、图形等方式进行可视化展示，可以更直观地了解数准差等据特点参数估计总体参数估计方法12利用样本数据推断总体参数，常用的估计方法包括点估计和例如总体均值、方差、比例等区间估计，点估计提供单个值，区间估计提供范围估计量评估估计34估计量是用来估计总体参数的评估估计量的质量，包括无偏统计量，常用的估计量包括样性、有效性和一致性，保证估本均值、样本方差计结果可靠置信区间概念计算应用举例置信区间是根据样本数据估计置信区间计算需要利用样本统置信区间在统计推断中广泛应假设我们要估计某城市居民的总体参数的范围它表示在一计量、置信水平和样本大小用，例如市场调查、产品质量平均身高，通过抽样调查得到定置信水平下，总体参数可能置信水平越高，置信区间越宽控制和医学研究样本均值为

1.7米，置信区间落入的区间为

1.65米,

1.75米假设检验检验假设显著性水平p值检验假设是指对总体参数或总体分布形式做显著性水平表示拒绝原假设的可能性大小，p值是指在原假设成立的情况下，获得样本出假设，并用样本数据检验该假设是否成立通常用α表示，常见值为

0.05或

0.01数据的概率，p值越小，越倾向于拒绝原假设方差分析比较多个组的均值分析不同组别数据之间的差异，确定组间差异是否显著方差分析表展示数据分析结果，包括组间方差、组内方差和F统计量假设检验检验不同组别均值之间的差异是否为随机误差导致回归分析线性回归非线性回归线性回归是一种统计方法，用于建立一个非线性回归用于建立自变量与因变量之间或多个自变量与因变量之间线性关系的数非线性关系的模型学模型它比线性回归更灵活，可以处理更复杂的它可以帮助我们理解自变量对因变量的影关系，但模型的估计更复杂响，并预测未来因变量的值时间序列分析时间序列数据趋势和季节性时间序列分析处理随时间变化的时间序列分析有助于识别数据中数据，如股票价格或天气数据的趋势、季节性模式和周期性波动预测未来通过对历史数据的分析，可以预测未来时间点的可能值，例如，预测产品的未来销售量非参数统计无需分布假设数据类型灵活无需预先假设数据遵循特定的概率分布，可应用于更广泛的适用于各种类型的数据，包括定量数据、定性数据和排名数场景据方法多样分析更深入涵盖各种方法，如秩检验、符号检验、Wilcoxon检验等可以提供更深入的见解，揭示传统统计方法可能无法发现的趋势和模式随机过程时间序列预测分析模型构建随机过程是随时间变化的随机现象随机过程在金融、工程等领域广泛应用随机过程模型有助于理解和预测未来趋势马尔可夫链记忆性马尔可夫链是无记忆的，也就是说系统未来的状态只依赖于当前状态，与过去状态无关状态转移马尔可夫链可以用状态转移概率矩阵来描述，它表示系统从一个状态转移到另一个状态的概率稳态分布当系统运行足够长时间后，它将收敛到一个稳态分布，此时系统的状态不再随时间变化排队论研究对象应用场景主要问题排队论研究的是顾客在排队等广泛应用于银行、医院、交通排队长度、等待时间、服务时待服务时出现的各种现象、制造等领域间、系统利用率例如，银行排队系统、高速公分析这些问题，以提高服务效分析和优化排队系统，以提高路收费站、航空公司行李提取率和客户满意度服务效率小结概率论和数理统计基础知识概率论和数理统计是数学的重要分支，在很多领域都有着广泛的本课程涵盖了概率论和数理统计的基础知识，包括随机事件、概应用，比如金融、工程、医疗等率、随机变量、概率分布、参数估计、假设检验等实际应用未来展望学习这些知识可以帮助我们理解和解决现实生活中遇到的各种问概率论和数理统计的研究仍在不断发展，未来会有更加强大的理题，并做出更加科学的决策论和工具来解决更复杂的问题思考与练习本节课主要介绍了概率论和数理统计的基本概念和方法为了加深理解，请同学们思考以下问题

1.如何理解随机事件的概率？

2.如何计算不同类型的概率？

3.如何应用概率论和数理统计解决实际问题？

4.请同学们尝试解决课后练习题，巩固所学知识通过思考和练习，同学们可以更深入地理解概率论和数理统计的理论和应用，并提升解决实际问题的能力。