《数据结构图论部分》课件

数据结构图论部分图论是数据结构中重要的组成部分，它用图形的方式来表示实体之间关系，帮助我们分析和解决各种问题by图的基本概念图的定义图的分类图的应用图由顶点和边组成顶点表示图可以分为无向图和有向图图在现实世界中有着广泛的应对象，边表示对象之间的关系无向图的边没有方向，有向图用，例如社交网络、交通路线的边有方向、电路设计等图的表示邻接矩阵邻接表

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2.12用二维数组存储顶点之间的关用链表存储顶点和与之相邻的系，若顶点和顶点之间有边顶点之间的关系，每个顶点对i j，则矩阵元素的值为应一个链表，链表中存储与其a[i][j]1，否则为相邻的顶点信息0邻接多重表邻接多重集

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4.34针对带权图，扩展了邻接表，类似邻接表，每个顶点对应一每个顶点对应一个链表，每个个集合，集合中包含了与其相链表中存储了与之相邻顶点的邻顶点的信息，以及边的权值信息以及边上的权值信息信息邻接矩阵定义元素值用一个二维数组来表示图的结构如果顶点和顶点之间存在边i j数组的大小为顶点数乘以顶点，则数组元素的值为边的a[i][j]数权重否则值为或0∞优点缺点简单易懂，实现方便，便于查找空间复杂度较高，对于稀疏图来任意两个顶点之间的边说，空间利用率低对图进行修改操作比较麻烦邻接表每个节点对应一个链表链表中的每个节点表示与该节点相连的边存储图的连接关系图的基本操作创建图遍历图查找节点插入和删除节点图的创建是图论操作的起点，图的遍历用于访问图中所有节查找图中特定节点，可以根据在图中添加新的节点或删除现它包括确定图的节点和边，以点，常见的遍历方法包括深度节点的标识信息、邻接关系或有节点，需要更新图的存储结及边上的权重信息优先搜索和广度优先搜索其他属性进行查找构以反映变化图的创建节点边图中包含的元素，表示网络中的实体连接节点的连接线，表示节点之间的关系有向边无向边节点之间的关系具有方向性，比如城市之间的节点之间的关系没有方向性，比如城市之间的单向道路双向道路图的遍历深度优先搜索广度优先搜索从起点开始，沿着一条路径一直走下去，直到遇到一个没有访从起点开始，依次访问与起点相邻的节点，然后再访问与这些问过的节点，然后再从该节点开始沿着新的路径继续探索，直节点相邻的节点，以此类推，直到所有节点都被访问过到所有节点都被访问过图的查找操作节点查找边查找路径查找根据节点的标识符，例如节点根据边的起点和终点节点标识根据指定的起点和终点节点，的名称或索引，查找图中是否符，查找图中是否存在该边查找连接这两个节点的路径存在该节点图的存储结构矩阵存储链表存储使用二维数组存储图的顶点之间的关系，元素值为边权重，适用于用链表表示每个顶点连接的边，适用于稀疏图，节省空间稠密图图的链式存储邻接表逆邻接表

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2.12使用链表存储每个顶点的所有用于表示图中顶点之间的反向邻接顶点关系邻接多重表

3.3存储有向图的边，每个顶点对应一个表，每个边对应一个节点矩阵存储邻接矩阵存储方式12使用一个二维数组来存储图的如果两个顶点之间存在边，则顶点之间的关系矩阵对应位置的值为边的权重，否则为或无穷大0优点缺点34简单直观，易于实现空间复杂度高，不适合存储稀疏图图的遍历算法深度优先搜索广度优先搜索从起点开始，沿着一条路径尽可能深从起点开始，逐层扩展，先访问所有地探索，直到无法继续与起点直接相连的节点，然后访问这些节点的邻居，依次类推深度优先搜索基本思想算法步骤从起始节点出发，沿着一条路径尽可能地•访问当前节点往下走，直到无法继续前进为止•标记当前节点为已访问然后回溯到上一个节点，选择另一条路径•递归地访问当前节点的所有未访问邻接节点继续探索•回溯到上一个节点，继续探索其他路径广度优先搜索图的遍历层级访问数据结构应用场景广度优先搜索算法从图中某个广度优先搜索按照层级访问图广度优先搜索需要使用队列数广度优先搜索算法广泛应用于顶点开始，依次访问该顶点的的顶点，先访问与起点相邻的据结构，用来存储待访问的顶各种图算法中，例如最短路径所有邻接顶点，然后依次访问顶点，再访问与起点相邻顶点点查找、网络连接分析、游戏地这些邻接顶点的邻接顶点，直的邻接顶点，依次类推，直到图搜索等到所有可达顶点都被访问过为访问完所有可达顶点止图的连通性连通性强连通图的连通性描述了图中节点之间的连接关系，判断图中节点是否可如果图中任意两个节点之间都存在一条路径，则称该图为强连通图以相互到达弱连通连通分量如果图中任意两个节点之间都存在一条路径，则称该图为弱连通图图的连通分量是指图中最大连通子图强连通分量定义判断图中任意两点之间都存在路径，则该图是可以使用深度优先搜索算法，判DFS强连通图断图中是否包含强连通分量应用强连通分量在社交网络分析、路径规划等领域都有应用弱连通分量性质每个强连通分量内部的顶点之间相互可达强连通分量之间没有路径连接定义有向图中，如果两个顶点和之间存在一条从到的路径，同时v w v w也存在一条从到的路径，则称和强连通wvv w一个有向图的极大强连通子图称为该有向图的强连通分量最短路径算法定义应用最短路径算法用于在图中找到两该算法广泛应用于交通导航、网个节点之间最短的路径络路由和资源分配等领域示例在交通导航中，算法可以找到最短的路线，节省时间和燃料算法Dijkstra单源最短路径从一个起点到图中其他所有点的最短路径贪心算法每次选择距离起点最近的点进行扩展路径更新不断更新每个点的最短路径估计值算法Floyd多源最短路径动态规划思想应用广泛算法是一种经典的求解图中任意两点该算法利用动态规划的思想，通过逐步更新算法在交通路线规划、网络路由等领Floyd Floyd之间最短路径的算法距离矩阵来找到最短路径域有着广泛的应用最小生成树连接所有节点现实世界应用贪心算法最小生成树是一个连接图中所有节最小生成树在现实世界中有很多应用，例如最小生成树算法通常使用贪心算法来构建，MST点的无环子图，并且边的总权重最小网络设计、道路规划和电路布线每次选择最小的边来连接节点算法Prim贪心算法算法是一种贪心算法，它通过不断选择边权最小的边来构建最小生成树Prim起始点算法从图中任意一个节点开始，逐步扩展生成树最小权值每次选择与当前生成树相连的边中权值最小的边加入生成树算法Kruskal贪心算法边集并查集算法是一种贪心算法，它通过算法首先将所有边按权重从小到大排序算法使用并查集数据结构来判Kruskal Kruskal不断选择权重最小的边来构建最小生成，然后依次选择边，如果边不会形成环断边的加入是否会导致环的形成树，则将该边加入到最小生成树中拓扑排序有向无环图线性序列

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2.12拓扑排序适用于有向无环图（），这种图中不存在环拓扑排序将图中的节点排成一个线性序列，满足所有依赖关DAG路系前驱节点应用场景

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4.34在排序中，每个节点都排在其所有前驱节点之后拓扑排序广泛应用于任务调度、项目管理和依赖关系分析等领域拓扑排序算法算法步骤应用场景从图中选择一个入度为的节点，将其输出项目进度管理对任务进行排序，确定完成任务的先后顺序0删除该节点及其所有出边编译器优化对代码进行分析，优化代码执行效率重复步骤和，直到图中所有节点都被输出网络协议设计对网络节点进行排序，确保数据传输顺序12应用场景项目管理编译器拓扑排序可以帮助我们有效地安排项目任务的在编译器中，拓扑排序可以用来确定变量和函执行顺序，确保所有依赖关系都得到满足，从数的定义和使用顺序，以确保程序代码的正确而提高项目效率性网络路由社交网络拓扑排序可以用来确定网络数据包的路由路径拓扑排序可以用来分析社交网络中的用户关系，以确保数据包能够按照正确的顺序到达目的，例如，可以用来识别用户之间的影响力关系地关键路径关键路径定义关键活动12关键路径是指从起点到终点最关键路径上的活动称为关键活长的路径动，这些活动延迟会影响整个项目的完成时间关键路径的作用3通过确定关键路径，可以有效管理项目进度，优化资源分配，确保项目按时完成关键路径算法关键路径算法步骤在网络中，从源点到汇点的最长路径•计算每个节点的最早开始时间AOV被称为关键路径•计算每个节点的最晚完成时间关键路径上的活动称为关键活动•确定关键活动，即满足最早开始时间等于最晚完成时间的活动关键路径上的活动延迟会直接影响整个项•关键路径就是连接关键活动的路径目的完成时间计算关键路径关键路径的计算项目进度管理关键路径算法关键路径计算的步骤，确定项目完成所需要关键路径可以帮助项目经理确定最关键的任关键路径算法可应用于各种工程项目，例如的最短时间务，分配资源，监控进度，提高项目效率建筑，软件开发，生产等领域应用案例社交网络分析路径规划工艺流程优化图论可以用于分析社交网络中的用户关图论可以用于规划最短路径，例如导航图论可以用于优化工艺流程，例如减少系，例如朋友关系、关注关系等软件中的路线规划生产环节、提高生产效率社交网络分析用户关系分析影响力分析社交网络图可以用来分析用户之可以识别社交网络中具有高影响间的关系，例如朋友、家人、同力的用户，例如意见领袖、网红事等等社群发现信息传播分析识别社交网络中具有共同兴趣的分析信息在社交网络中的传播路用户群体，例如爱好、话题、兴径、速度和范围趣等路径规划城市交通导航物流配送优化机器人路径控制基于地图数据，计算最佳路线，例如规划最短运输路线，提高效率，减少在复杂环境中，规划机器人移动路径汽车导航软件成本，避开障碍工艺流程优化优化生产流程减少浪费，提高效率，降低成本提高产品质量改善产品质量，提升客户满意度缩短生产周期提高生产效率，加快产品上市速度。