复合函数单调性课件

复合函数单调性复合函数单调性是数学中一个重要的概念，它描述了复合函数在不同区间上的单调性变化规律理解复合函数单调性有助于我们更深入地理解函数的性质，并能够更好地解决相关问题什么是复合函数？定义表达式表示方法当一个函数的输出值作为另一个函数的如果函数f的定义域为A，函数g的定通常用符号“o”表示复合函数，即输入值时，这两个函数就组成了一个复义域为B，且fA包含于B，则称gfx=g ofx合函数gfx为f和g的复合函数复合函数的概念复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数一个函数的输出作为另一个函数的输入例如，函数和函数可fx=x^2gx=x+2以组合成一个复合函数，即hx=fgx hx=x+2^2复合函数的定义域是满足在的定义域内且在自身定gx fx gx义域内的的值复合函数的值是将的值代入中得到的x gxfx复合函数的性质可导性单调性奇偶性周期性如果内层函数在定义域内可导复合函数的单调性与内层函数复合函数的奇偶性取决于内层如果内层函数是周期函数，那，外层函数在其对应值域内可和外层函数的单调性有关如函数和外层函数的奇偶性如么复合函数也是周期函数，但导，那么复合函数在其定义域果内层函数和外层函数都单调果内层函数和外层函数都是奇周期可能与内层函数的周期不内可导递增或都单调递减，那么复合函数或都是偶函数，那么复合同函数单调递增如果内层函数函数是偶函数如果内层函数和外层函数一个单调递增，另和外层函数一个奇函数，一个一个单调递减，那么复合函数偶函数，那么复合函数是奇函单调递减数求复合函数的导数链式法则1复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数公式2设则的导数为y=fu,u=gx,y=fgx dy/dx=fu*gx.应用3链式法则广泛应用于求解复合函数的导数，例如多层嵌套的函数链式法则对于理解和计算复合函数的导数至关重要它提供了求解复合函数导数的系统方法复合函数的单调性单调递增单调递减单调性函数图像从左到右上升，则函数为单调递增函数图像从左到右下降，则函数为单调递减复合函数的单调性取决于内外函数的单调性函数函数判断复合函数单调性的步骤第一步求导分别求出内外函数的导数，并确定其定义域第二步分析导数符号分析内外函数导数的符号，并在其定义域内确定函数的单调性第三步综合判断结合内外函数的单调性，确定复合函数的单调性举例1fx=x^2,gx=x+2此例中，，根据复合函数的定义，我们可以得到复合fx=x^2gx=x+2函数接下来，我们将使用单调性判断步骤来分析hx=fgx=x+2^2复合函数的单调性解析步骤求和1fx gx求fx1对函数求导，得到导函数fx fx求gx2对函数求导，得到导函数gx gx示例3例如，对于，求对于，求fx=x^2fx=2x;gx=x+2gx=1解析步骤判断和的符号2fx gx求的符号fx1判断fx在定义域上的正负性求的符号gx2判断在定义域上的正负性gx综合分析3根据和的符号得出复合函数的单调性fx gx解析步骤综合和的3fx gx符号得出结论复合函数的单调性1通过分析和的符号，可以得出复合函数的单调性fx gxhx和同号fx gx2当和符号一致时，复合函数的单调性与它们相同fx gxhx和异号fx gx3当和符号相反时，复合函数的单调性与的符fx gxhx fx号相反举例2fx=-x^2,gx=x+3在本例中，，在上单调递增，在fx=-x^2gx=x+3fx-∞,00,上单调递减在上单调递增因此，复合函数+∞gx-∞,+∞hx=在上单调递增，在上单调递减fgx=-x+3^2-∞,-3-3,+∞解析步骤求和1fx gx求fx首先，求出函数的导数fx fx求gx然后，求出函数的导数gx gx准备下一步完成和的求解后，我们将进行下一步，分析和的符号fx gxfx gx解析步骤判断和的符号2fx gx确定符号fx根据的表达式，判断在定义域内的符号fx fx1确定符号gx2根据的表达式，判断在定义域内的符号gx gx确定复合函数导数符号根据和的符号，综合判断复合函数导数在定义域内的3fx gx符号解析步骤综合和的符号得出结论3fx gx判断符号1确定和的符号变化fx gx综合判断2根据和的符号，判断复合函数的单调性fx gx得出结论3确定复合函数的单调区间根据和的符号变化，我们可以确定复合函数的单调性例如，如果且，则在定义域内是单调递增fx gxfgx fx0gx0fgx的相反，如果且，则在定义域内是单调递减的fx0gx0fgx举例3fx=lnx,gx=x^2本例中，的定义域为，的定义域fx=lnx0,+∞gx=x^2为-∞,+∞复合函数的定义域为hx=fgx=lnx^2x≠0解析步骤求和1fx gx123计算结果fx=lnx gx=x^2求的导数，使用导数公式的求的导数，使用导数公式的，fx lnxgx x^n fx=1/xgx=2x导数为导数为1/x nx^n-1解析步骤判断和的符号2fx gx求导数fx=1/x,gx=2x判断符号当时，；当时，x0fx0,gx0x0fx0,gx0综合分析可知，和的符号在和时都相同fx gxx0x0解析步骤综合和的符号得出结论3fx gxfx01gx0fx02gx0fx03gx0fx04gx0根据fx和gx的符号，我们可以推断复合函数hx的符号，进而判断复合函数hx的单调性例如，当fx0且gx0时，hx0，则hx在该区间内单调递增复合函数单调性的应用优化问题寻找最大值或最小值函数图像绘制函数图像，判断函数的单调区间方程求解判断方程根的个数和位置思考题1若求复合函数的单调区间fx=x^2,gx=sinx,y=f[gx]此题考察复合函数单调性的应用，需要根据和的单调性以及复合函数的fx gx定义来判断的单调区间y=f[gx]先求和的导数，再判断和在对应区间内的单调性，最终利用复fx gxfx gx合函数的定义得出的单调区间y=f[gx]思考题2已知函数在上单调递增，在上单调递减，若的定义域fx a,b gxc,d fx包含，的定义域包含，且，问复合函数在c,d gxa,b fc≤ga fgx上的单调性如何？a,b总结复合函数单调性判断方法应用123复合函数单调性是微积分中重要的概通过判断各个子函数的导数符号来判复合函数单调性可以应用于函数图像念断复合函数的单调性、函数性质等方面的研究。