数值分析课件--习题选讲

数值分析习题选讲本课件旨在帮助学生更好地理解和掌握数值分析课程中的核心知识点，并通过精选的习题讲解，提高解决实际问题的应用能力课程概述数值方法用计算机求解数学问题的方法程序设计通过编写代码实现数值方法应用场景广泛应用于科学研究、工程技术、金融等领域一维方程组求解方程组定义1一维方程组是指包含一个未知量的线性方程组例如，方程2x+3=7可以写成一维方程组的形式2x=

4.求解方法2求解一维方程组的方法包括直接法和迭代法直接法通常用于解决线性方程组，而迭代法用于求解非线性方程组应用场景3一维方程组在许多科学和工程领域都有广泛的应用，例如物理、化学、工程学和经济学等居里法求解一维方程组构建迭代矩阵将方程组系数矩阵进行分解，形成迭代矩阵居里法要求迭代矩阵的谱半径小于1，以确保迭代收敛设定初始值选取一个初始向量作为迭代的起点，该向量通常根据经验选取，或根据方程组特点进行估计迭代计算使用迭代公式反复计算解向量，直到满足收敛条件，即两次迭代结果之间的误差小于指定的精度雅可比迭代法求解一维方程组雅可比迭代法是一种常用的数值方法，用于求解线性方程组该方法通过将线性方程组中的变量迭代地更新，直到达到预定的精度初始值1选择一个初始向量作为迭代的起点迭代公式2根据雅可比迭代公式更新变量的值误差判断3计算两次迭代之间的误差，如果误差小于预设精度，则停止迭代雅可比迭代法适用于对角占优矩阵，即对角线元素绝对值大于其余元素绝对值之和的矩阵它是一种收敛速度较慢的迭代方法，但实现起来比较简单高斯赛德尔迭代法求解一维方程组-初始化1选择一个初始向量，开始迭代迭代公式2根据迭代公式更新每个元素收敛判断3判断迭代是否收敛，满足精度要求则停止高斯-赛德尔迭代法是一种常用的迭代法，它通过不断更新向量来逼近方程组的解该方法比雅可比迭代法更快，但它也可能不收敛收敛性分析迭代法收敛性收敛速度迭代法是否收敛取决于初始值和迭代公式收敛速度是指迭代法逼近解的速度收敛收敛性分析可以帮助判断迭代法是否能速度越快，迭代法越有效收敛速度可以找到方程组的解通过分析迭代公式来确定二维方程组求解方程组定义1两个未知数的两个方程解的类型2唯一解、无解、无穷解求解方法3高斯消元法、列主元高斯消元法应用4线性代数、物理、工程二维方程组是指包含两个未知数的两个方程的系统求解二维方程组的目标是找到满足两个方程的未知数的值常见的求解方法包括高斯消元法和列主元高斯消元法高斯消元法求解二维方程组消元过程1利用初等行变换将系数矩阵化为上三角矩阵，同时对右端常数项进行相同变换回代过程2由上三角矩阵最后一行解出最后一个未知数，然后依次向上回代，得到其他未知数的解解的唯一性3高斯消元法得到唯一解的条件是系数矩阵的行列式不为零列主元高斯消元法求解二维方程组步骤一选取主元选取绝对值最大的元素作为主元，并将其所在行与第一行交换步骤二消元对第二行以下的每一行，使用主元将对应列的元素消为0步骤三回代将已消元后的方程组从下往上回代，解出各个未知数的值步骤四结果最终得到二维方程组的解，即各个未知数的值奇异方程组求解奇异矩阵1行列式为零无唯一解2方程组存在无穷解或无解伪逆矩阵3计算最小二乘解求解过程4利用伪逆矩阵求解最小二乘法求解过定方程组构建误差函数过定方程组的解无法完全满足所有方程，因此需要定义误差函数来衡量解与方程的偏差最小化误差函数通过最小化误差函数，找到一个最优解，使得解与方程的偏差最小求解最佳解利用微积分方法求解误差函数的最小值，得到过定方程组的最佳解梯度下降法求解优化问题目标函数1梯度下降法旨在找到一个目标函数的最小值点该函数通常表示我们要优化的目标，例如，最小化成本或最大化利润梯度方向2梯度下降法通过不断沿着目标函数梯度的反方向移动来寻找最小值点梯度方向指示了函数值增长最快的方向迭代更新3该方法以迭代的方式进行，在每次迭代中，我们根据当前位置和梯度方向计算一个新的位置然后，我们重复这个过程，直到我们找到最小值点，或者达到预设的停止条件插值问题插值问题是数值分析中的重要问题之一它指的是利用已知数据点，求解未知数据点的方法牛顿插值法1基于牛顿多项式的插值方法拉格朗日插值法2基于拉格朗日多项式的插值方法样条插值法3利用分段多项式进行插值插值方法广泛应用于科学计算、工程设计、数据分析等领域，为我们提供了一种有效的方法来处理离散数据，并预测未知点的数值牛顿插值法插值节点1给定n+1个节点插值多项式2利用牛顿插值公式计算插值3求出插值多项式牛顿插值法是一种常用的插值方法它利用给定的n+1个节点，通过牛顿插值公式构造一个n次插值多项式，从而可以近似地计算出任意点的函数值拉格朗日插值法插值多项式拉格朗日插值法用于构造一个多项式，该多项式经过给定的点，并且在这些点之间进行插值基函数拉格朗日插值法使用一组基函数来构建插值多项式，每个基函数在对应插值点处取值为1，而在其他插值点处取值为0权重系数插值多项式是由基函数的线性组合构成的，权重系数由插值点的函数值确定应用场景拉格朗日插值法适用于各种数值分析问题，例如函数逼近、数据拟合和数值积分样条插值法三次样条插值应用三次样条插值在数据点之间使用三次多项式，平滑地连接数据点三次样条插值广泛应用于科学计算、图形学和数据分析领域123边界条件三次样条插值需要设置边界条件，例如自然边界条件或固定边界条件数值微分导数近似1用函数在离散点上的值来近似导数差商2用差商来近似导数泰勒展开3利用泰勒展开式来近似导数误差分析4分析数值微分的误差数值微分是利用函数在离散点上的值来近似计算函数的导数常用的方法包括差商法和泰勒展开法差商法利用函数在相邻点上的差值来近似导数泰勒展开法利用泰勒展开式来近似导数，并根据需要截断展开式以获得不同精度的近似数值微分在许多实际应用中都有重要的作用，例如求解微分方程、曲线拟合等前向差分法前向差分法是数值微分中常用的方法之一，它使用函数在相邻点的差商来近似导数公式推导1基于泰勒展开式误差分析2分析截断误差应用场景3求解微分方程该方法简单易行，但精度有限，尤其在阶数较高时误差较大中心差分法公式推导利用函数在中心点附近点的函数值求导数近似值误差分析通过泰勒展开式推导误差，并进行误差分析应用场景适用于求解数值微分问题，尤其在求解边界条件下的偏微分方程代码实现可以使用Python、Matlab等工具实现中心差分法数值积分矩形法1将曲线下的面积近似为一系列矩形的面积之和梯形法2将曲线下的面积近似为一系列梯形的面积之和辛普森法3将曲线下的面积近似为一系列抛物线的面积之和数值积分方法用于近似计算函数在给定区间上的定积分矩形法123基本原理公式应用矩形法是最简单的一种数值积分方法，它假设积分区间为[a,b]，将区间等分为n矩形法适用于计算简单函数的积分，例如将积分区域分割成若干个矩形，用每个矩个子区间，每个子区间的宽度为h=b-，可以用来计算曲线面积、物体体积等形的面积近似代替积分函数在该矩形上的a/n，则矩形法公式为∫fxdx≈此外，矩形法也可以作为更复杂的数值积积分值，最后将所有矩形的面积累加起来h∑fxi，其中xi为每个子区间的左端点分方法的基础得到积分的近似值或右端点梯形法梯形公式1近似积分面积区间划分2将积分区间分成等距子区间梯形面积3每个子区间用梯形近似求和计算4累加所有梯形面积梯形法是一种常用的数值积分方法，通过将积分区间分成多个子区间，并用梯形近似每个子区间的面积，最终累加所有梯形面积来估计积分值与矩形法相比，梯形法能更好地逼近曲线的形状，得到更加精确的积分结果辛普森法公式辛普森法使用二次多项式近似函数曲线，将积分区间分成多个子区间，并对每个子区间进行积分步骤•将积分区间分成偶数个子区间•计算每个子区间的面积•将所有子区间的面积相加优点辛普森法比矩形法和梯形法更精确，适用于求解高阶函数的积分应用辛普森法广泛应用于工程、物理、化学等领域，用于计算各种函数的积分值常微分方程数值解法欧拉法1一阶方法，简单易用龙格-库塔法2高阶方法，精度更高预估-校正法3提高精度，减少误差常微分方程数值解法用于求解无法得到解析解的微分方程欧拉法是最简单的一阶方法，龙格-库塔法是精度更高的多阶方法预估-校正法是一种提高精度的技巧欧拉法计算初始值1使用初始条件确定yt0计算增量2使用步长h计算yt0+h更新时间3将时间更新为t0+h重复计算4重复步骤2-3直到达到最终时间欧拉法是一种数值解法，用于近似求解常微分方程的解该方法通过使用初始条件和微分方程的斜率来计算下一时刻的值，从而逐步逼近解龙格库塔法-计算公式1龙格-库塔法是数值求解常微分方程的方法该方法计算下一时刻的值，通过将当前时刻的值与多个时间点上的斜率加权平均来进行阶数2龙格-库塔法有多种阶数，例如二阶、四阶等阶数越高，计算精度越高，但计算量也越大应用范围3龙格-库塔法适用于各种常微分方程的数值求解，在科学计算、工程应用等领域得到广泛应用边值问题边界条件1指定变量在边界处的取值微分方程2描述变量变化规律解3满足微分方程和边界条件的函数边值问题是数学中的一类重要问题，在物理、工程、金融等领域都有广泛应用边值问题通常指求解一个微分方程的解，该解需要满足给定的边界条件这些边界条件指定了变量在边界处的取值边值问题可以通过各种方法解决，例如有限差分法、有限元法和试解法有限差分法将微分方程离散化1用差分代替导数构建差分方程组2将微分方程转化为线性方程组求解差分方程组3得到近似解有限差分法是一种将连续的微分方程转化为离散的差分方程组的方法该方法利用差分代替导数，将微分方程转化为线性方程组，并求解该方程组得到近似解试解法初始猜测1试解法需要对解进行初始猜测，然后逐步修正初始猜测的准确性会影响收敛速度迭代过程2通过反复迭代，不断修正猜测值，直到满足预设的精度要求收敛性分析3试解法不一定总是收敛，需要分析其收敛条件和收敛速度总结与讨论

11.数值分析方法

22.误差分析数值分析提供各种方法，用于误差分析是数值分析的关键部逼近数学问题的解，解决实际分，用于评估数值解的准确性问题

33.计算机实现数值分析方法通常用计算机程序实现，以便高效地解决复杂问题。