函数的图象课件 华东师大版

函数的图象函数的图象是数学中一个重要的概念通过图象可以直观地观察函数的性质投稿人DH DingJunHong课程目标理解函数图像的概念熟练掌握常见函数图像掌握函数图像变换的规了解函数图像的应用的特征律掌握函数图像的表示方法以及通过实际问题，学习如何利用基本特征，例如，定义域、值包括一次函数、二次函数、反理解平移、伸缩、对称等变换函数图像解决实际问题，例如域、单调性、奇偶性等比例函数、指数函数、对数函对函数图像的影响，并能运用求解极值、交点、面积等数、三角函数等，并能运用图这些变换对函数图像进行分析像分析函数的性质和绘制函数的概念回顾定义域和值域一一对应函数表达式定义域是指函数可以取的所有输入值的集合每个输入值对应唯一的输出值，保证了函数函数表达式用数学符号表示函数的规则，例，值域是指函数可以输出的所有值的集合关系的清晰性和确定性如y=fx或gx=x^2+1函数图像的基本特征定义域值域12函数图像的定义域决定了图像在x轴上的函数图像的值域决定了图像在y轴上的范范围，超出范围的部分不存在围，超出范围的部分不存在单调性奇偶性34函数图像的单调性反映了图像在定义域函数图像的奇偶性反映了图像关于原点上的变化趋势，可能是递增、递减或常的对称性，可能是奇函数、偶函数或非数奇非偶函数常见函数图像的特征一次函数二次函数一次函数图像是一条直线，斜率决定直线的倾斜程度，常数项决定二次函数图像是一个抛物线，系数决定抛物线的开口方向、对称轴直线与y轴的交点位置和顶点坐标反比例函数指数函数反比例函数图像是一条双曲线，常数项决定双曲线的渐近线位置指数函数图像是一条单调曲线，底数决定曲线的增长速度，常数项决定曲线与y轴的交点常见函数图像的表达式线性函数二次函数指数函数对数函数线性函数表达式为y=kx+b二次函数表达式为y=ax^2+指数函数表达式为y=a^x，对数函数表达式为y=log_a x，其中k和b是常数bx+c，其中a、b和c是常数其中a是常数且a0且a≠1，其中a是常数且a0且a≠1平移对函数图像的影响纵向平移函数图像向上平移a个单位，将函数表达式中的y替换为y-a，图像向下平移a个单位，将函数表达式中的y替换为y+a横向平移函数图像向右平移b个单位，将函数表达式中的x替换为x-b，图像向左平移b个单位，将函数表达式中的x替换为x+b平移的应用利用平移变换，可以将复杂函数图像转化为简单函数图像，从而更容易理解和分析伸缩对函数图像的影响纵向伸缩1y轴方向上的拉伸或压缩横向伸缩2x轴方向上的拉伸或压缩图像变换3改变函数图像的形状函数图像的伸缩变换，会改变图像的形状，影响图像的开口方向、对称轴的位置、顶点坐标等重要特征理解伸缩变换对函数图像的影响，有助于更好地理解函数图像的性质和规律对称对函数图像的影响关于原点对称1函数图像关于原点对称关于y轴对称2函数图像关于y轴对称关于直线对称3函数图像关于直线对称函数图像的对称性是函数性质的重要表现之一，它能够帮助我们更直观地理解函数的性质函数图像的对称性可以通过观察图像的形状来判断了解函数图像的对称性可以帮助我们更方便地画出函数图像复合函数图像的特征图像叠加复合函数图像可通过叠加函数图像来构建图像变换复合函数的图像可通过对基本函数图像进行伸缩、平移等变换得到图像交点复合函数图像的交点可通过求解方程组得到反函数图像的特征对称性定义域和值域反函数图像关于直线y=x对称反函数的定义域是原函数的值域反函数图像与原函数图像关于直线y=x反函数的值域是原函数的定义域对称绝对值函数图像的特征对称性拐点绝对值函数图像关于y轴对称绝对值函数图像在x=0处有一这是因为对于任何x值，|x|和|-个拐点这意味着图像在此处从x|的值相同下降变为上升，或者从上升变为下降非负性绝对值函数图像始终位于或高于x轴这是因为绝对值总是大于或等于零幂函数图像的特征偶函数奇函数渐近线定义域当n为偶数时，幂函数图像关于当n为奇数时，幂函数图像关于当n为负数时，幂函数图像具有当n为分数时，幂函数图像的定y轴对称原点对称水平渐近线和垂直渐近线义域受限，例如，当n为1/2时，定义域为x大于等于0指数函数图像的特征单调性过定点12当底数大于1时，函数单调递增所有指数函数都经过点0,1，；当底数在0到1之间时，函数因为任何数的0次方都等于1单调递减渐近线图像形状34当底数大于1时，x轴是函数的指数函数图像呈现单调性，并水平渐近线；当底数在0到1之且随着自变量的增大，函数值间时，x轴也是函数的水平渐以指数形式增长或衰减近线对数函数图像的特征单调性渐近线对数函数在其定义域内是单调递增的对数函数的图像有一个竖直渐近线，，且递增速度随着x值的增大而减缓当x趋于0时，y趋于负无穷大对称性交点对数函数图像关于直线y=x对称对数函数图像与y轴交于一点，交点的坐标为0,1三角函数图像的特征正弦函数图像余弦函数图像余切函数图像正弦函数的图像是一个周期性波浪线余弦函数的图像也是一个周期性波浪，它代表着单位圆上的圆周运动的垂线，它代表着单位圆上的圆周运动的余切函数的图像也是由多个直线段组直投影水平投影成的曲线，在每个周期内它呈现下降或上升的趋势正切函数图像正切函数的图像是一条由多个直线段组成的曲线，在每个周期内它呈现上升或下降的趋势反三角函数图像的特征定义域和值域单调性反三角函数的定义域和值域与对反三角函数的单调性与对应的三应的三角函数的定义域和值域互角函数的单调性一致.换.奇偶性图像特征反三角函数的奇偶性取决于对应反三角函数的图像具有独特的形的三角函数的奇偶性.状和特征，可以通过定义域、值域、单调性、奇偶性等性质来理解.有理函数图像的特征

11.定义域

22.渐近线有理函数的定义域是分母不为有理函数可能存在垂直渐近线零的所有实数和水平渐近线，它们分别表示当自变量趋近于某个值时，函数值趋于无穷大或趋近于某个常数

33.对称性

44.奇偶性某些有理函数可能具有对称性根据有理函数的表达式，可以，例如关于原点对称或关于y判断其奇偶性，奇函数关于原轴对称点对称，偶函数关于y轴对称无理函数图像的特征定义域渐近线连续性无理函数图像通常包含分段函数，例如平方无理函数图像可能存在水平渐近线或垂直渐无理函数图像在定义域内通常是连续的，但根函数，其图像仅在非负数域内定义近线，具体取决于函数的表达式在函数表达式中可能出现间断点函数图像的基本变换综合练习平移1将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离伸缩2将函数图像沿x轴或y轴方向拉伸或压缩对称3将函数图像关于x轴、y轴或原点进行对称变换函数图像应用举例求曲线最大值最小值1函数图像的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最高点和最低点的纵坐标利用函数图像可以快速直观地找出函数的最大值和最小值

1.确定函数定义域1首先要确定函数的定义域

2.画出函数图像2画出函数图像，并观察图像的最高点和最低点

3.确定最大值和最小值3最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值通过观察函数图像，可以快速判断函数的最大值和最小值，并能直观地了解函数在不同区间内的变化趋势函数图像应用举例求曲线与直线交点2联立方程1将曲线方程和直线方程联立求解方程组2解出方程组的解坐标点3将解代回曲线方程，得到交点坐标例如，求曲线y=x^2和直线y=2x+1的交点联立方程组y=x^2和y=2x+1求解方程组，得到x=-1和x=3将x=-1和x=3代回曲线方程，得到交点坐标-1,1和3,9函数图像应用举例求曲线面3积确定积分区域1首先，确定所求面积所包围的区域，包括曲线的方程和积分区间建立积分表达式2根据积分区域，建立相应的积分表达式，将曲线方程和积分区间代入计算积分3利用积分计算方法，求解积分表达式的值，即所求曲线的面积函数图像应用举例求曲线长度4弧长公式使用微积分中的积分计算曲线长度，需要根据具体的函数类型选择合适的公式积分计算利用积分运算，将曲线的长度分割成无数个微小的线段，再将这些线段的长度相加参数方程对于参数方程表示的曲线，可以根据参数方程计算弧长数值计算对于无法直接求解的函数，可以通过数值方法近似计算曲线长度函数图像应用举例求曲线切线方程

51.求导数1求出函数在切点处的导数，即切线的斜率

2.点斜式2利用点斜式方程，将切点坐标和斜率代入公式

3.化简3将点斜式方程化简为一般式方程通过求导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程，就可以得到切线方程综合案例求极值点、交点、面积、长度等1问题描述给出函数图像和相关参数，要求求出函数的极值点、与其他函数的交点、围成的面积、曲线长度等求解方法根据函数图像和相关参数，使用导数、积分、距离公式等数学工具进行求解具体步骤

1.确定函数的定义域和图像形状

2.求出函数的导数，并分析其符号变化，确定函数的极值点

3.求解函数与其他函数的交点，并确定围成的区域应用场景函数图像的综合应用，例如求解曲线最值、面积、体积等实际问题，需要结合函数图像和数学工具进行解决综合案例求极值点、交点、面积、长度等2本案例深入探讨了利用函数图像解决复杂问题的方法，并以具体实例展示了其应用场景通过对不同曲线特征的分析和计算，我们可以得出重要的结论，例如极值点、交点、面积、长度等这些结论在现实世界中有着广泛的应用，例如优化生产流程、预测市场趋势等应用场景1优化生产流程、预测市场趋势等问题分析2通过图像识别关键特征计算方法3运用积分、导数等数学工具结论解读4得出极值点、交点、面积、长度等结论知识架构总结函数图象图像变换常见函数图像函数图象是函数的几何表示，是理解和分析平移、伸缩和对称等基本变换，可以改变函学习常见函数的图像特征，可以帮助我们快函数性质的重要工具数图像的位置、大小和方向速识别和理解不同函数的性质课堂反馈与总结课后练习疑难解答课后练习是巩固知识和提升理解及时解决学习过程中的疑问，避能力的重要途径免知识盲点和错误的累积知识回顾拓展思考回顾本节课所学内容，加深对知鼓励学生积极思考，探索更深层识点的理解和记忆次的知识和应用场景。