实数与数轴课件

实数与数轴实数是数学中最重要的概念之一数轴是用来直观地表示实数的工具，它将实数与直线上的点一一对应，并帮助我们理解实数的大小和顺序课程导入本课程将深入探讨实数及其在数轴上的表示方法通过学习实数与数轴的关系，我们可以更深入地理解数学概念，并将其应用到实际问题中什么是实数定义数轴表示应用范围实数包含了所有有理数和无理数，代表实数可以用一条直线上的点来表示，每实数在数学、物理、工程、经济学等各着一条连续的数轴，它包含了所有的数个点都对应着一个唯一的实数，反之亦个领域都有广泛的应用，是描述和量化字然各种现象的基础实数的分类自然数整数

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2.12从开始的正整数，例如、、、等包括自然数、和负整数，例如、、、、、112340-3-2-

1012、等3有理数无理数

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4.34可以表示为两个整数之比的数，例如、、等不能表示为两个整数之比的数，例如、等1/2-3/45π√2自然数自然数例如，一个苹果、两个苹果、三个苹果自然数是数学中最基本的概念之一，它在生...，这些都是自然数活中应用广泛自然数指用于计数的数，从开始，依次1为，，，，自然数是正整数的

12345...另一种叫法整数整数的概念整数的应用整数的性质整数包括正整数、负整数和零正整数大于整数在日常生活中广泛应用，例如计数、表整数在数轴上是等距排列的，它们可以进行零，负整数小于零，零既不是正整数也不是示温度、时间等加、减、乘、除等运算负整数有理数特点有理数在数轴上可以表示为一个点有理数可以进行加减乘除运算，运算结果仍然是有理数定义有理数可以表示为两个整数的比值，即的形式，其中不等于p/q q0例如，、、都是有理数1/23/4-5/2无理数无法写成分数形式小数部分无限不循环无理数不能用两个整数的比值来无理数的小数部分既无限也无循表示例如圆周率就是一个典型环规律，例如，的小数部分为π√2的无理数，它的值是无限不循环，它无限延伸且

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41421356...小数没有重复的数字序列数轴上的点每个无理数在数轴上都有唯一对应的点，但这些点并非所有有理数的点都能够表示实数的特点完备性有序性

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2.12实数可以用来表示数轴上的任何点，没有空隙实数可以按照大小排列，可以用符号和表示大小关“”“”系可加性可乘性

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4.34两个实数可以相加，结果也是一个实数两个实数可以相乘，结果也是一个实数集合表示法集合可以用不同的方法表示，例如列举法、描述法和图示法列举法是指将集合中的所有元素一一列举出来，例如集合A={1,2,3}描述法是指用文字或符号描述集合的特征，例如集合是小于的正整数B={x|x10}图示法是指用图形来表示集合，例如用圆形、椭圆形等来表示集合集合之间的关系子集真子集交集并集如果集合中的每个元素都如果集合是的子集，且两个集合和的交集是包两个集合和的并集是包A A B A B AB在集合中，那么是不等于，那么是含和中所有公共元素的含和中所有元素的集合B AB AB AB AB AB的子集，记为⊆的真子集，记为⊂集合，记为，记为∪AB ABA∩BAB例如，集合是集例如，集合是集例如，集合和集例如，集合和集{1,2,3}{1,2,3}{1,2,3}{1,2,3}合的子集合的真子集合的交集为合的并集为{1,2,3,4}{1,2,3,4}{2,3,4}{2,{2,3,4}{1,3}2,3,4}数轴的定义直线1一条无限延伸的直线原点2直线上一个固定点，称为原点单位长度3原点右侧任意一点与原点之间的距离方向4规定原点右侧为正方向，左侧为负方向数轴是一个直观的工具，可以用来表示实数，直观的展现实数之间的关系数轴的特点唯一对应关系有序性无限性数轴上每个点都对应一个唯一的实数，反之数轴上的点按照从左到右的顺序排列，数字数轴可以无限延伸，不存在最左端和最右端亦然，建立了实数与点的对应关系越大，其对应的点越靠右，代表了实数集的无限性数的大小比较在数轴上，数字越靠右，则该数越大；数字越靠左，则该数越小比较符号1大于号、小于号数轴的位置2右边的数大于左边的数比较方法3将两个数表示在数轴上可以使用数轴比较两个数的大小将两个数表示在数轴上，位于右边的数大于左边的数比如，，因为位于数轴上的右边3232数的绝对值距离原点的距离非负数相反数数轴上，一个数到原点的距离叫做这个数的任何一个数的绝对值都是非负数，即大于或互为相反数的两个数的绝对值相等绝对值等于0数轴上的点数轴上的点与实数一一对应，每个实数对应一个点，每个点也对应一个实数例如，数字对应数轴上的一个点，该点位于原点的右侧个单位长度的位22置数轴上的点可以表示有理数和无理数，例如，数字对应一个点，该

3.14159点位于和之间，但无法用分数精确表示34数轴上的间隔123定义计算应用数轴上两点之间的距离称为这两点之间间隔是两点对应数的绝对值之差，即间间隔的计算在数学中有很多应用，例如的间隔，也称为线段的长度隔，其中、分别为两点的对，计算两点之间的距离、比较线段的长=|a-b|a b应数度等坐标系坐标系由两条互相垂直的数轴组成，分别称坐标系可以用来表示平面上的点的位置，每坐标系广泛应用于数学、物理、工程等学科为横轴和纵轴个点对应唯一的坐标值中，便于分析和研究平面直角坐标系两条相互垂直的数轴坐标原点坐标表示水平的数轴称为轴，垂直的数轴称为两条数轴的交点，记为平面直角坐标系中，用两个有序实数对x yO0,0轴来表示平面上的点x,y点的坐标表示坐标轴坐标值横轴称为轴，纵轴称为轴每个点在轴上的投影点的X YP X，它们互相垂直并交于原点横坐标为，在轴上的投影点O xY的纵坐标为y坐标表示用一对有序实数表示点，其中是横坐标，是纵坐标x,y Px y点的运算点的加法两个点相加，就是分别将它们的横坐标和纵坐标相加，得到一个新的点的坐标点的减法两个点相减，就是分别将它们的横坐标和纵坐标相减，得到一个新的点的坐标点的乘法一个点乘以一个数，就是将点的横坐标和纵坐标分别乘以这个数点的除法一个点除以一个数，就是将点的横坐标和纵坐标分别除以这个数线段的长度线段的长度是指两点之间的距离，可以用尺子直接测量长度单位可以用厘米、米、公里等11001K厘米米公里用于测量较短的长度，例如铅笔的长度用于测量中等长度，例如房间的长度用于测量较长的距离，例如城市之间的距离两点之间的距离两点之间的距离是连接这两点之间的直线段的长度我们可以用距离公式来计算两点之间的距离距离公式是根据勾股定理推导出来的，它可以帮助我们快速计算出两点之间的距离例如，假设我们有两个点和，那么这两点之间的距离可以用以下公式计算Ax1,y1Bx2,y2AB=√[x2-x1²+y2-y1²]这个公式可以帮助我们在各种情况下计算两点之间的距离，例如，在计算地理位置之间的距离，或者在计算两个物体之间的距离时角度的定义两条射线公共端点

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2.12两条有公共端点的射线组成一两条射线的公共端点叫做角的个角顶点两条射线

3.3两条射线叫做角的两条边角度的单位角度制弧度制角度制是人们最常用的角度计量单位它弧度制是国际通用的角度计量单位它以以圆周为度，将圆周分成个相等圆心角所对圆弧的长度与半径之比来定义360360的部分，每个部分就是度1度可以细分为分，分可以细分为当圆心角所对圆弧的长度等于半径时，这160160秒个角的大小为弧度1三角函数正弦函数余弦函数正切函数三角函数的应用正弦函数是三角函数中最基本余弦函数也是一个三角函数，正切函数是另一个三角函数，三角函数在数学、物理、工程的一个函数，它表示一个角度它表示一个角度的余弦值余它表示一个角度的正切值正等领域都有广泛的应用，例如的正弦值正弦函数的图像是弦函数的图像也是一个周期性切函数的图像是一个周期性的在计算房屋高度、测量距离等一个周期性的波浪形曲线的波浪形曲线跳跃形曲线方面三角函数的图像三角函数的图像可以帮助我们更好地理解三角函数的性质和变化规律例如，正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在横轴上无限延伸，在纵轴上取值范围是到-11应用举例建筑高度计算距离测量利用三角函数，可以轻松计算建筑物的高度利用三角函数，可以测量遥远物体或地形的距离•测量建筑物到观察点的距离测量物体到观察点的角度••测量仰角，即观察点到建筑物顶部的视线与水平线的夹角测量已知长度的基线••利用正切函数，计算建筑物的高度利用正弦或余弦函数，计算物体的距离•应用举例计算房屋高度:利用三角函数选择测量工具注意事项测量房屋底部到观测点的水平距离，根据房屋高度选择合适的工具，如卷注意测量角度和距离的准确性，避免仰角，计算房屋高度尺，测角仪，三角板等误差影响计算结果测量距离三角函数应用测量步骤利用三角函数可以测量难以直接测量距离，例如河流宽度、山峰选择合适角度，例如河流对岸树木顶端

1.高度测量距离，例如你与树木的距离

2.计算角度，利用三角函数计算河流宽度

3.重点总结实数数轴包括有理数和无理数，可以表示是一条直线，上面标记了零点和为数轴上的点单位长度，可以用来表示实数的大小和位置坐标系由两条互相垂直的数轴组成，可以用来表示平面上的点的位置思考与练习通过本节课的学习，你对实数和数轴有了更深的理解现在让我们来回顾一下重要的知识点，并进行一些练习，巩固所学知识尝试用数轴来表示不同的实数，并进行简单的加减运算思考如何利用数轴上的距离来计算两个点之间的距离思考一下，我们还可以用数轴来解决哪些实际问题？尝试用数轴来表示时间、温度、速度等概念，并进行简单的计算。