数值分析总结

数值分析复习总结第二章数值分析基本概念教学内容

1.误差与有效数字误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系;误差的来源和误差的基本特性；误差的计算（估计）的基本方法

2.算法的适定性问题数值分析中的病态和不稳定性问题介绍；病态问题和不稳定算法的实例分析.

3.数值计算的几个注意问题避免相近二数相减；避免小分母；避免大数吃小数；选用稳定的算法数值分析简介

1.数值分析的任务数值分析是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科数值分析的过程构造算法、使用算法、分析算法数值计算的基本概念

2.・误差概念和分析误差的定义设是精确值，是近似值，则定义两者之差是绝对误差:X p\=\x-p\由于精确值一般是未知的，因而△不能求出来，但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限\x-p\££称为绝对误差限相对误差定义为绝对误差与精确值之比定理设有迭代格式Mx⑹若｛姆｝收敛于%*，则有”+D=+g,IM1,误差估计式M1-证因夕〃《他卜故于是〃存在,方程组1,M|wO,/-7x=Mx+g有唯一解总且%*=/—从而有MTg姆==”-%*=Mk[xw-I-MYlg]=MkI_〃—[/-Mxw-g]fe l01=M/-M-[x-x]定理设有迭代格式伏若收敛于则有误差估W+D=Mr+g,[M1,{m}x*,计式证因=、]—/—A/[xk-1-Mxk-]-g]=Mil-My]…-姆=M/_MTfe|u=||x-/||||M||||Z-M-||||^--x|当不太接近时,可用心-£作为停机准则|M|1XD误差分析:问题的提出:设为非奇异矩阵，非齐次方程组的准确解为无当和有一个小A A的扰动仍时,方程组有准确解了+即SA,5%,A+5Ax+6x=b+3b我们需要研究与劭之间的关系83%A,有扰动，无扰动b A平山”喘有扰动，有扰动•A b|||区||/+-47Illi A71111sAi|||刈|^11A-1HU5AHI111||Z+A-W||||A-||||l|x||1-HAWAIII#Illi A||回定义IIAIL3A^11A-1HU条件数-.3AII AcondA=A|||\A~y||Im miii——HI|A||||All条件数与所取的矩阵范有扰动，有扰动A b数有关类似推导，可得SAHA-1HU A||常用的条l|A||8h+件数有:II llllll^ll MH1-A||MII^11||A||二||矶|co〃dA2CMdA8=MlUk-L条件数的性质-1A

2.对任何非奇异矩阵〃1A,co dA

1.对非奇异矩阵和常数有ccmdcA=cond2A cw0,A.对正交矩阵condA=3A1结论当条件数很大时，方程组是病态问题；当条件数较小时，方程组是良态问题Ax=b Ax=b实际计算中，病态矩阵的判断:•在消元过程中，出现小主元•矩阵行列式的值很小，或有某些行列近似线性相关•矩阵元素间的数量级相差太大第四章函数的数值逼近代数多项式插值问题

1.插值多项式的存在唯一性；插值基函数和插值多项式的一般形式；插值的误差分析；多项式插值的现象Runge分段低次插值

2.分段线性插值；插值和分段插值Hermite Hermite三次样条插值

3.样条插值的定义；三次样条函数的计算；中的插值函数Mat Iab曲线拟合的最小二乘法

4.曲线拟合的最小二乘法法；多项式拟合方法；中的多项式拟合函数；Mat Iab最佳平方逼近

5.权内积；正交多项式的最佳平方逼近插值问题函数解析式未知，或计算复杂，用函数去近似代替它，使得pxpxi=yi i=0,1,2,n函数称为插值函数0xi称为插值节点或简称节点M,…Ml插值节点所界的区间称为插值四包称为插值条件pxi=yi多项式的插值问题构造次多项式n使满足Pnxi=y\i=0,1,2,n,Pn x=M+alx2+...+anxn讨论的主要内容•如何求出插值函数;•插值函数的存在性;•收敛性和误差估计拉格朗日插值插值多项式的存在唯一性过〃个点（），凡作多项式4%=0,1,2,…P-a^+a x+...+a xnnx n可转化为解线性方程组4+4犬0+.+〃/〃=%・・・・=y%+4%+.+x〃o+g+・♦・+也〃=笫•只需证明｛%｝的存在且唯一・・；XknXdetA=[[%-]/0ij结论通过个节点的阶插值多项式唯一存在n+1n一次和二次插值公式:一次基函数4（工）二次基函数乙=一%+14XI k-4kf+1一心Ikx=x-5%一心々-々+1kl⑴一々=x8々+1—%T%k+l—*k拉格朗日插值多项式的一般形式〃+1个基函数/X」]X,…/〃X,满足:是〃次多项式

14.x且氢/左24a=1,=0,（（））（）（）（）x—x…x—七]x—看+]…x—尢〃（X-X）...（X-X-）（七一£+）・.（％—x〃）Z OZ插值公式勺%=%+讯%+.+Wo・・y l%n n4M%k=0插值的误差分析设函数的地介导数/%在向上连续，y=/%/〃+DX在a,b存在，节点〃Mx＜为二仇只%是〃次拉格朗日插值多项式，则对任意的插值余项[a,b],X G严15黑R〃⑴⑴P〃心=7—x=J,x思考是否插值的节点越多，多项式插值越精确？是否多项式的阶数越高，多项式插值越精确？演示多项式插值的现象Runge分段低次插值随着插值结点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定为了既要增加插值结点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，我们可以采用分段插值的办法分段线性插值〃工＜々+/©=—A+——-A41+14—%+1Xg-Xk若用插值基函数表示，贝」I〃4x=Z，Lx Xe[a,b]7=0其中满足4%4®=4---------X\xx.X-X JJAjAy-1x-x/+1-------X-x/.x=-x/+1Xj_X电X]0[X/T,j+[收敛性:\fM-I x\l\fx-f\+x\fx-fh kX kM其中,X+k+ix

①hk

①h双=m@x/%-/£当因卜忖-X7I此,[〃,夕,则双/x Glim Zz=0/f0只要fX£C[Q/],I x=fxlimh/7-0埃尔米特插值求解的思路:2n+\+a x+...+a xx=6/0]2/1+]求插值基函数？，・・・〃%,».%,=0,1,,满足Bi是〃次多项式1%x,x2+1=即,且%々=a20,4=0,1,…iBi勺=且用n3%,®=0,a A=0,1,...,于是尤+仍/⑴]〃i x=Z[yq“2+i=0利用拉格朗日插值基函数/⑴（X—/）・・.（1—九1）意一七+）・・5一5）=（七一%）…（七一为_]）（七一七+）

（七一七）1…得到（）一毛优—--%X=]-21七一k=0Xk koi同理，由（）在％（）处函数族和导数值均4x iwk为且夕,）=故0,0,（）（）；（）4X=C Xf/x由于瓦（外）有）cl；（）=1,6G=%=1力（%）=（%-X，；（X）他生“2〃+1%=Z[ya1+%]/=0插值的唯一性Hermite插值的余项Hermite函数（）的〃阶导数/凶+））在（氏y=/%2+22*存在,对任意的X£[Q,Z],插值余项Hermite/（2〃+2）/（）（）%用⑴=\::疗用⑴R x=f x—（）2/1+2!分段插值Hermite三次样条插值第五章数值积分插值型求积公式

1.线性和二次求积公式;求积公式的代数精度;求积公式的误差分析；复合求积公式；高斯求积公式；中的数值积分函数MATLAB积分方程的数值求解

2.积分方程的数值求解的思路分析;积分方程的数值求解方法介绍次代数精度na3（）小》（与）f/Xa k=0对于任意不超过次的代数多项式都准确成立，而对某一个毗次代数多项式不n1成立，梯形公式/也dxx——-[/3+//]2a裁断误差:辛普森公式竽，+等+/创5=4/62复化求积公式:复化梯形公式h〃-1fa+fb+^fa^khk=\2截断误差|/^/|-―-h2M29M2=max|/nx1复化辛普森公式h n-\〃-1Sn=fb]-[/«+4g/+2Z/%p+Xui/2°攵k=0=011b-a力Af加-max|/4x4截断误差—zsooUaxb高斯求积公式定义求积公式，/（x）公PZA（Z）含有2〃+2个°攵二o待定参数,初适当选择这些参数使其具有A4kXk,=0,1,2n+l次代数精度这类求积公式称为高斯公式（）是高Xk Z=0,l,2斯点b«r节点为P（X）=的零点（高斯点）n〃dxn2M（2〃+2）（自*b口）2〃心+1X a其余项:R〃x=〃2+2!高斯求积公式j/（/心“24f®），a=（）积分函数Mat Iab函数名功能采用计算积分精度高，较常用quad Simpson采用样条公式计算积分精度高，最常用quad88Newton-Cotes采用梯形法计算积分精度差，速度快trapz积分方程的数值求解Fredholm积分方程byt=kt,ftsysds+a求解思路用数值积分代替积分J-x,sys/=Z4左％%yZk=\yx=A/羽々y/+/xk=\n力须，网+/yz=2AM z4k=\I-AKy=f第六章常微分方程初值问题欧拉方法

1.基本理论和方程离散化；欧拉方法稳定性与收敛性分析

2.教学要点欧拉公式/义々+1%+]=以+hf\x,y kk77攵=0,12…月一1[x=x^+knk局部截断误差是

0.改进欧拉公式预报值以=力+”+1-h-校正值=力+-[/^，九+，力/Z+I+1Hh I2或表示成以+i=%匕，”+//+1，%+w fQk，”]平均形式力=力+疗®，力〃K=%+/%、1,”+]=]+/局部截断误差是

0.龙格一库塔方法一般地，方法设近似公式为RKP力%+i=%+ZqK,i=l%=/%“,”Kj=fx+aji,y+邛i=2,3…,pn n、=,其中%.都是参数，确定它们的原则是使近似公式在天，处的%,q%Taylor展开式与在尤〃处的Taylor展开式的前面项尽可能多地重合y x称为相对误差限X误差的来源舍入误差将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法带来舍人误差有效数字对于・・a=aO a1•••am.anH-1•am+n aO*O的近似数,若|A|WO.5x10-n,则称为具有住有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做的有效数字有效数和可靠数的最末a nH-n+1a位数字称为可疑数字有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小推论对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位1X=土.1%anX1O|A|=|x-x*||xlO^推论对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下2x am=±

0.|用x10nA x—xlO^ra]例计算产=若则取的几位有效数字可保证的相对误差In XoX20,X y

0.1%截断误差用数值法求解数学模型时，往往用简单代替复杂，或者用有限过程代替无限过程所引起的误差•数值计算的算法问题“良态”问题和“病态”问题在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化对应的参数误差也很小，则称该数学问题是良态问题；若6X,6y6y很大，则称为病态问题病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关稳定算法和不稳定算法如果用数值方法计算时,舍入误差对结果影响小的算法称为稳定算法否则称为不稳定算法•数值计算应注意的问题第三章线性方程组求解的数值方法教学内容高斯消元法

1.消元法的实现过程；主元问题矩阵分解

2.矩阵分解的一般计算公式；LU利用分解的线性方程组求解方法；LU分解；Cho I esky的分解函数Mat Iab Cho I esky向量范数与矩阵范数

3.向量范数及其性质；矩阵函数及其性质；常用范数形式线性方程组的迭代法求解

4.迭代求解的思路；迭代法；Jacob i高斯・赛德尔迭代法；松弛法；迭代法的收敛性方程组的病态问题与误差分析

5.线性方程组解的误差分析；条件数和方程组的病态性消元法问题消去法是按照系数矩阵的主对角线上的元素主元进行消元从而可能出现:某个主元为零，导致消元过程无法进行1当某个主元的绝对值很小时，计算结果误差很大2定理若力的所有顺序主子式均不为则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解0,全主元消去法每一步选绝对值最大的元素为主元素.|=max Ia w0;|a-列主元消去法省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元正|q.|=max|a|wkK iIKk n矩阵三角分解法由由Gaus1s12a消去法加上C列l\4主元（或全主元）有LU分o解:Mil1213W14出广劭门0A6=Z2L1U22〃〃242102223U44T，再06Z31132〃

333431320、3334ln=a」U\\，U\2，，〃0i=2n4114243444142434421“223iWil U\2〃13Mln〃14_12111Z31M1112\U\2〃12113+〃23M121〃14+〃24In\+222nn2131U，3113131U23+33Al14132W24+〃341Z31W1222+111Z41W1242H224113+142W23+43W3311141vli4+41U24+43W34+”44得到计算公式对k=2,〃计算3,,k-l，j_k,,Ukj~kmW mjm=lk-i「3,i=k+l/ik=Z/inM.kk m=l算法解y=b1ytyrbi-tlijYj,n，=2,3,,j=\解x=yju.2xn m/y-Yu^j u…\J=n〃z=/-l,,1分解:ChoIesky回顾对称正定矩阵的定义和性质由对称性推出O=TA LL定理设矩阵4对称正定，则存在非奇异下三角阵L使得A=LZ7o若限定2对角元为正，则分解唯一中的分解函数:Mat Iab ChoIesky（）cho I向量和矩阵的范数为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，引进向量（矩阵）的范数的概念向量范数定义（正定性）1||x||0;||x||=0»x=0⑵\\a（齐次性）x||=|o|.||x||cC（三角不等式）3||x+y|区||x||+lly||R〃空间的向量范数II•II对任意常用范数n1M=Z㈤x-max x00j1定理尺〃上一切范数都等价矩阵范数定义〃H空间的向量范数||•||对任意X〃7⑴心||A0;||A||=0o A=0⑵・A|||||A||G二|⑷幼”涉肥力部常用矩阵范数:范数:Frobeniusl n〃i=l j=lV由向量范数||•||夕导出关于矩阵的〃的范数:A wpII Ax Ax\\max||叫=11〃11||A||=max〃,llxllp建特别有怫aUX7=1（谱范数）（行和范数）||A||尸max2为I（列和范谱半径:矩阵4的谱半径记为数）（⑷=max|2j,其中％为4的特征根P定理:对任意算子范数II•II有若彳对称，则有||川「（加2=定理:若矩阵8对某个算子范数满足IIMI1,则必有可逆1/±B1⑻1—1解线性方程组的迭代法研究内容•如何建立迭代公式？•收敛速度？•向量序列的收敛条件？•误差估计？思路对线性方程组Ax=b其中（阳）“非奇异矩阵，（，也门4=6=4构造其形如Mx+gx=的同解方程组，其中为邢介方阵，g e R任取初始向量%⑼代入迭代公式eR,+】）=«）+（）a gk=0,l,2,产生向量序列｛钟）｝,当攵充分大时，以%乍为方程组的近似解，这就是求解线性方程组的单步定Ax=b常线性迭代法称为迭代矩阵M收敛问题:定义设｛｝为〃阶方阵序列，为邢介方阵，如果AA A其中||・||为矩阵范数，则称序歹U｛4｝收敛于矩阵4记为\imAk=A女f8定理设｛暧｝力均为〃阶方阵,则=4A=l,2,,A=%.矩阵序列｛小喝收敛于矩阵颁充要条件为壮=a j=1,2,,n kTSU lJlimz,；i证明略定理表明，向量序列和矩阵序列的收敛可以归结为对应分量或对应元素序列的收敛若按/⑷产生的向量序列｛%.｝收敛于向量工+D=Mr+g则有x xk+｝=+^]=Mx+g=lim攵-82-8即是方程组的解xAx雅可比迭代法Jacobi高斯一塞德尔迭代法迭代法的收敛性定理设为〃阶方阵，则的充要条件为夕A lim4=0AL证必要性若屋lim=0kf8由矩阵收敛的定义知又因「⑷同lim||||=00n0pAA=[pM||AA||由极限存在的准则，有所以lim[pA]=0pAl充分性若取£=一夕缶由上一定理pAL10,知，存在一种矩阵范数|卜||,使得M||A+£=I+AI而||刈引那，叫刈卜㈣⑶「=里屋=n0n

0.推论松弛法收敛的必要条件是口202证设松弛法的迭代矩阵有特征值M4,4,因为|detM|=|^2|[pM rn由定理，松弛法收敛必有|detM|1又因为|一⑼|detM|=|1-0+GU|\D-coLY]|l-69D+69l/|=I-con aa an22nn=

①|detA/|=|l-^r|l=02迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始向量及右端项无关对同一方程组，由于不同的迭代法迭代矩阵不同，可能出现有的方法收敛，有的方法发散的情形设有线性方程组下列结论成立Ax=

4.若为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则1A迭代法和迭代法均收敛Jacobi Gauss-Seidel.若为严格对角占优阵则松弛法收敛2A,0^1,若为对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为3A10—-22-10上两例中1B=A=—1-2-12-110—150-120692o为严格对角占优阵，故与迭代A JacobiGauss-Seidel均收敛为非严格对角占优阵，但为对称正定阵，3

①二故松弛法收敛

1.4误差估计:。