勾股定理与实际问题（原卷版）

勾股定理与实际问题经典例题【题型一】求梯子滑落的高度【典题】（2022秋・河北石家庄•八年级石家庄市第二十二中学校考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为.如果保持梯子底端位置8c AC不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（）.ADA.B.C.D.巩固练习（★）（秋福建漳州•八年级校联考期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得AO=2m.若梯子

1.2022♦A.B.3C.D.的顶端沿墙下滑帆，这时梯子的底端也恰好外移，则梯子的长度为（）m.

50.5w AB

2.（★）（2022秋・全国•八年级期中）如图，一架长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底A.B.C.D.端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底部将平滑（

3.（★）（2022春・湖北随州•八年级统考期中）如图，一架长m的梯子A8斜靠在墙4c上，3c=90,此【题型八】汽车超速问题【典题】（春•河北保定•八年级校联考期中）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定小汽车在城街2022路上行驶速度不得超过如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车70Am/h.速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为这辆小汽车超速了吗？A30m2s50m,（参考数据转换）lm/s=

3.6•/h小汽车小汽车Bo、QC、1A-----^2检测仪巩固练习

1.（★）（2022春・重庆梁平•八年级统考期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载.某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验.如图，先在笔直的公路旁选取一点在公路1P,1上确定点、使得米，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从0B,POI3I,P0=1000PBO=45°.1B A处行驶到处所用的时间为秒，并测得此路段限速每小时千米，试判断此车是否超速？B A3E1APCI=6O°.80请说明理由（参考数据收=,）V3=.

2.（★）（2022春・陕西西安•八年级陕西师大附中校考期末）超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图，观测点设在到迎泽大街（直线八）的距离（线段）为米的点处.这时，一辆小轿车由点向点匀速行驶，测得此车从点八处行驶到点处0120P AB所用的时间为秒，且，班.（参考数据）5IMPO=60PO=450,6⑴求点之间的距离；（精确到米）48（）请判断此车是否超过了迎泽大街每小时千米的限制速度，并说明理由.260【题型九】是否受台风影响问题【典题】（2022春・山东济宁•八年级统考期中）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图，有一台拖拉机沿公路由点八向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线A88C C上两点的距离分4848别为和又拖拉机周围以内为受噪声影响区域.150m200m,A8=250m,130m（）学校会受噪声影响吗？为什么？1C（）若拖拉机的行驶速度为每分钟米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟250巩固练习

1.（★）（2022秋・四川达州•八年级校考期中）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为米，假MN AA MN600使宣讲车周围米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶时:P1000P MNPN（）请问村庄能否听到宣传，请说明理由;1（）如果能听到，已知宣讲车的速度是米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传2200（★）（秋•江苏•八年级期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形

2.2022成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向已知点为海港，且点与AB A3,直线/上的两点的距离分别为又以台风中心为圆A,5AC=300km,BC=400km,AB=500km,心周围以内为受影响区域.已知台风运动速度为260km72km/h.⑴求的度数;/AC8⑵求海港C到直线AB的最短距离;⑶海港受台风影响吗？若受影响请计算受影响时间，若不受影响请说明理由.（★）（秋叫川遂宁•八年级四川省遂宁市第二中学校校考期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在

3.2022开发，现有一处需要爆破.已知点与公路上的停靠站八的距离为米，与公路上另一停靠站的距离为C6008米，且如图，为了安全起见，爆破点周围半径米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路800C4_LCB,400段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明.A3【题型十】选址到两地距离相等【典题】（2022秋・福建•八年级统考期末）如图，443=90，点C在CM边上，O4=36cm,OB=12cm,点从点八出发，沿着八方向匀速运动，点同时从点出发，以相同的速度沿方向匀速运动，P、两点P Q8BC Q恰好在点相遇，求的长度？C8c巩固练习

1.（★★）（2022秋・江苏•八年级统考期中）“三农〃问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图，公路上两点相距C,为两村庄，于CB1AB于已知4350km,A,B,D4=30km,CB=现在要在公路四上建一个土特产品市场使得、两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距20km,E,C EE A多少千米处并判断此时的形状，请说明理由.ADEC（★★★）（秋•陕西汉中•八年级统考期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅

2.2022力.DC力!----------------------【知识运用】⑴如图，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），AD，AB,BC-LAB,4840垂足分别为）千米，千米，则两个村庄的距离为48,4=355c=5米.⑵在（）的背景下，若千米，千米，=千米，现要在上建造一个供应站使得PC=PD,1A3=40AO=24316A32请用尺规作图在图中作出点的位置并求出的距离.P AP⑶【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式心（（其中）最小+25+J9—+490x9值为.【题型十一】最短路径问题【典题】（2022秋・广东揭阳・八年级统考期中）如图，正方体盒子的棱长为2,M为8c的中点，则一只蚂蚁从点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（）ZB.V13巩固练习

1.（2022春・江西赣州•八年级统考期中）如图，长方体的长为3,宽为2,高为4,点8离点C的距离为一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点需要爬行的最短路程是（）1,4B,A.V21B.5C.729D.

7372.（★）（2022春・新疆乌鲁木齐,八年级新疆师范大学附属中学校考期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为底面周长为在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正12cm,10cm,2cm8A.13cm B.2V^Tcm C.26cm D.2^/^Tcm好在容器外壁，且离容器上沿的点八处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）2cm（★★）（秋•河南鹤壁•八年级统考期末）如图，一只蚂蚁从长为、宽为高是的长方

3.20227cm5cm,9cm体纸箱的八点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是多少（★）（春•四川广元•八年级统考期末）如图，亮亮在处看护羊群吃草，其家在处，到河岸的距

4.2022A84B离分别为亮亮从八处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最4200m,eD=100m,CD=400m,短，并求出亮亮走的最短路程.Q C■B（★）（秋•全国•八年级期中）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长高AB=水深为

5.2022AD=80cm,60cm,在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁AE=40cm,G GEF EG=60cm A爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离.（鱼缸厚度忽略不计）GBEA

6.（★）（2022春・河南许昌•八年级校考期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的A处牧马，若牧童从A点向南继续前行到达点则此时牧童的家位于点正东方向的£处.牧童打算先把在点吃草的马牵7km C.8km A到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算.时，梯子的底端离墙底的距离为B CBC m（）求此时梯子的顶端距地面的高度1A AC;（）如果梯子的顶端下滑了那么梯子的底端在水平方向上向右滑动了多远24B

4.（★★）（2022春・山东滨州•八年级统考期中）一梯子AC长，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙.⑴这架梯子的顶端离地面有多高？（）设梯子顶端到水平地面的距离为底端到垂直墙面的距离为〃，若=〃，根据n2m,经验可知当时:梯子最稳定，使用时最安全.若梯子的顶端下滑了请问这时使用是否安全.

0.4m,【题型二】求旗杆高度【典题】（2022春・福建龙岩•八年级统考期中）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方Z处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离＞米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温48=

2.4并报告人体体温.当身高为米的市民CD正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动

1.

80.8BC=

0.8显示体温，则人头顶离测温仪的距离入等于（）米米米B.

1.2C.

1.25D.

1.5感应器，包✓巩固练习米A.

1.

01.★2022春・河南新乡•八年级统考期中如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端米的地面某处，发现此5时绳子底端距离打结处约米，则旗杆的高度是1D.

242.★2022秋,广东清远・八年级统考期末如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B,绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点处，点到地面的距离长为点到旗C2m,杆的水平距离为若设旗杆的高度长为则根据题意所列的方程是.4B8m,48xm,A.X-22+82=%2B.X+22+82=X2C.%2+82=X-22D.2+82=X+22X

3.★2022春・新疆乌鲁木齐•八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期中太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级班的小明和小1亮同学学习了“勾股定理〃之后，为了测得图中风筝的高度他们进行了如下操作:CE,

①测得的长为米注BD1CE；15

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；3C25

③牵线放风筝的小明身高米.⑴求风筝的高度CE.过点作垂足为H,求的长度.2★秋•广东深圳•八年级校考期中如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度

4.2022DE将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度秋千的绳索始终=lm,4m BC=4m BF=2m,拉得很直，求绳索的长度.4【题型三】求小鸟飞行距离【典题】（秋,陕西西安•八年级西安市铁一中学校考期中）如图，有两颗树、一颗高米，另一颗高202210米，两树相距米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，间小鸟至少飞行（）.48米米米米A.8B.10C.12D.14巩固练习（★）（秋•福建宁德•八年级统考期中）如图，两树高分别为米和米，相距米，一只鸟从一

1.20221048米米米米A.8B.9C.10D.11树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（）

2.（★）（2022秋・江苏南京•八年级校考期中）如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶后直Z20m4线跃入池塘的八处.如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？【题型四】求树枝折断前高度【典题】（秋•江苏扬州•八年级校考期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒202210mC.26m D.30m下，倒下部分的树梢到树的距离为则这棵大树折断处到树顶的长度是（）24m,巩固练习

1.（★）（2022春・山东德州•八年级校考期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个〃折竹抵地〃问题〃今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？〃意思是一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子？（）尺尺尺尺A.4B.C.5D.

2.（★）（2022春・山东济宁•八年级统考期中）如图，一棵大树在离地面3阳，5加两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部加处，则大树折断前的高度是（）A369mA.B.14m C.1Im D.10/

713.（★★）（2022秋・福建三明•八年级统考期中）由于大风，山坡上的一颗甲树从八点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示，已知米，米，两棵树的水平距离是米，求甲树原C48=4BC=1312来的高度.【题型五】求水中筷子长【典题】（春•吉林松原•八年级统考期中）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、20224cmC.2/z4D./i=

4、现有一长为机的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分力（加）的取值范围为（）3cm12cm,16c巩固练习

1.（★）（2022春・山东济宁•八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面,1求水的深度是（）尺A.3/4B.10C.13D.12（★）（秋•重庆沙坪坝•八年级重庆八中校考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是高是上

2.20223,4,底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分〃的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大10cm小忽略不计）范围是（）5a6\a2A.B.3tz4C.24Z3D.C.15m D.24m（★）（春,山东济宁•八年级统考期中）如图长方体木箱的长、宽、高分别为则能放

3.202212m,4m,3m,4进.木（*箱）中（20的22直春木•棒广最西长百为色（・八）年级统考期末）如图是长AB=4cm、宽5c=3cm、高的长方体容器.BE=12cm⑴求底面矩形的对角线的长；A3CD⑵长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？A.12m B.13m【题型六】航海问题【典题】（2022春・福建福州•八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，一轮船以12海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以海里/时的速度同时从港口人出发向东南方向航行，离开港口小时后两A52船相距（）海里海里海里海里A.13B.16C.20D.26巩固练习

1.（★）（2022春・河北保定•八年级统考期中）一艘轮船从A港向南偏西48方向航行100km到达8岛，再从岛沿方向航行到达岛，入港到航线的最短距离是若轮船速度为轮船8125km C5M60km.25km/h,从岛沿返回入港所需的时间是（）C C4BA.5h B.4h C.

3.5h D.3h（★）（春•辽宁营口•八年级统考期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从•

2.2022；/营地出发，沿北偏东方向走了到达点然后再沿北偏西方向走了A60506m B,30到达目的地/B50m C.//I（）求、两点之间的距离；.—_1A C（）确定目的地在营地的北偏东多少度方向.2C A

3.（★）（2022春・河南•八年级校考期末）如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为若明明收绳后，船到达处，则船向岸移动了多少米？BC13m.6m A

4.（★）（2022秋・广东深圳•八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由入港口沿着北偏东60°的方向航行到达港口，然后再沿北偏西方向航行到达港口.100km B30100km C（）求两港口之间的距离；（结果保留根号）14C（）港口在港口的什么方向.2C A【题型七】求台阶上的电梯长度【典题】（2022秋・广东茂名・八年级校考期中）如图所示是一段楼梯，高BC是3m,斜边AC是5m,如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）CA.5m B.6m C.7m D.8m巩固练习

1.（★）（2022春・重庆九龙坡•八年级统考期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、分米.4⑴如果给台阶表面个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为平方分米，那么每一级台阶的高为8432多少分米？（）和是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点处去吃美味的食物，24C A C则蚂蚁沿着台阶面从点爬行到点的最短路程为多少分米？AC

2.（★）（2022春・广西百色・八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、八和是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点八出发经过台阶爬到点的最短路线7cm6cm2cm,B B有多长？。