《被积函数有界》课件

被积函数有界课程介绍函数概念积分定义求定积分了解函数的基本定义和性质，以及它们深入理解积分的概念，包括不定积分和掌握求定积分的常用方法，例如换元在数学和现实世界中的应用定积分，并学习积分的基本运算法、分部积分法，并应用这些方法解决实际问题什么是被积函数有界在积分学中，被积函数是进行积分运算的函数被积函数有界意味着函数在积分区间内，其取值始终处于一个有限的范围内，不会无限增长或无限减小换句话说，对于任何积分区间内的x值，被积函数的值都小于某个常数M，且大于某个常数m这可以用数学符号表示为m≤fx≤M为什么要学习被积函数有界理解积分判断积分收敛性解决应用问题被积函数有界是理解积分性质和计算判断积分是否收敛，需要先判断被积很多实际应用问题，例如物理、工积分的重要前提函数是否在积分区间内有界程、经济学，都需要使用积分，而被积函数有界是解决这些问题的关键步骤应用背景被积函数有界是微积分中的一个基本概念，在许多应用领域中都有着广泛的应用，例如•计算积分判断积分的收敛性•求解微分方程求解有界解•数值分析使用数值方法求解积分基本概念和定义有界函数函数的值域在有限区间内，即函数值不会超过某个固定值图形解释在定义域内，函数图像位于两条水平线之间数学定义存在常数M，使得对于任意自变量x，都有|fx|≤M成立函数有界的充要条件存在一个常数1存在一个正实数M，使得对于定义域内的所有x，函数值fx的绝对值小于等于M函数值有界2函数值在定义域内有上界和下界，即存在两个常数m和M，使得对于定义域内的所有x，函数值fx满足m≤fx≤M证明过程定义如果存在一个实数M，使得对于任意的x∈[a,b]，都有|fx|≤M，那么函数fx在区间[a,b]上有界步骤

1.假设函数fx在区间[a,b]上无界，那么对于任意正数M，总存在一个x∈[a,b]，使得|fx|M

2.由于函数fx在区间[a,b]上连续，所以它在[a,b]上取到最大值和最小值

3.设fx在[a,b]上的最大值为M，那么对于任意的x∈[a,b]，都有|fx|≤M，这与假设矛盾注意事项定义域边界点在讨论函数有界时，一定要明确指定函数的定义域不同的定注意函数在定义域边界点的取值情况如果函数在边界点不连义域可能导致不同的有界性结论续或无定义，可能会影响有界性的判断示例常数函数1当一个函数的函数值为一个常数时，这个函数就被称为**常数函数**例如，函数fx=3就是一个常数函数，其函数值始终为3，与自变量x的取值无关常数函数在整个定义域内都是**有界的**，因为它的函数值始终在一个固定的范围内具体来说，常数函数的**上界和下界**都等于这个常数值示例多项式函数2多项式函数在闭区间上一定有界例如，函数fx=x²+2x+1在区间[-1,1]上有界，因为其最大值为4，最小值为0示例分式函数3分母不为0分母为0当分母不为0时，分式函数有定义，且有界当分母为0时，分式函数无定义，因此无界示例指数函数4指数函数在定义域内是单调函数，因此有界例如，函数y=e^x在区间−∞,+∞上是单调递增的，并且有界也就是说，存在一个实数M，使得对于任意实数x，都有|e^x|≤M示例三角函数5正弦函数余弦函数正切函数在区间[-1,1]上有界在区间[-1,1]上有界在定义域内无界示例对数函数6对数函数，例如lnx，在x0的范围内是有界的由于对数函数的定义域限制，它在x0范围内始终保持有限值，因此，它是一个有界的函数示例复合函数7如果一个函数是由多个函数复合而成的，则复合函数的有界性取决于每个组成函数的有界性例如，函数fx=sinx^2是由两个函数复合而成的sinx和x^2如果sinx和x^2都是有界的，则fx也是有界的连续函数的特点平滑性可积性12连续函数的图像没有跳跃或连续函数在给定区间上是可断裂，而是平滑地连接在一积的，这意味着可以使用积起分来计算它的面积中间值定理3对于连续函数，如果在给定区间上函数值在两端点之间，则在区间内必存在一点，使得该点的函数值为中间值间断函数的特点不连续不可导可能存在奇点间断函数在某些点上没有定义，或者定间断函数在不连续的点上无法求导，因间断函数在不连续的点上可能存在奇义了但值不连续，即在该点处存在跳跃为导数需要函数在该点处连续点，即函数值趋于无穷大或无穷小或间断最大值和最小值最大值最小值函数在定义域内取得的最大函数在定义域内取得的最小值，表示函数在该区间内所能值，表示函数在该区间内所能达到的最大值达到的最小值绝对值函数绝对值函数是指将任何实数映射到其非负值的函数其图像为对称的“V”形，在原点处达到最小值0绝对值函数的定义|x|=x x≥0，|x|=-x x0复合函数有界的判断外函数有界1外函数在内函数的值域上有界内函数有界2内函数在定义域上有界无穷区间上的函数有界定义1在无穷区间上，如果函数的值始终保持在某个有限范围内，则称该函数在该区间上有界判断方法2利用极限的概念来判断函数在无穷区间上的有界性示例3函数fx=1/x在x趋于无穷大时，其值趋于0，因此该函数在x趋于无穷大时是有界的复合函数在有界区间上的性质有界性1如果一个复合函数的所有组成函数都在一个有界区间上是有界的，那么这个复合函数在这个区间上也是有界的连续性2如果一个复合函数的所有组成函数都在一个有界区间上是连续的，那么这个复合函数在这个区间上也是连续的可微性3如果一个复合函数的所有组成函数都在一个有界区间上是可微的，那么这个复合函数在这个区间上也是可微的函数在区间上的振荡性定义影响因素12函数在区间上的振荡性是指函数的振荡性受函数本身的函数在该区间上的最大值和性质、区间的大小和形状等最小值之差因素的影响应用3振荡性在信号处理、图像分析和物理学等领域有广泛的应用函数在区间上的单调性递增递减单调性函数在区间上，如果自变量的值越函数在区间上，如果自变量的值越函数在区间上要么是递增的，要么是大，函数值也越大，则称函数在该区大，函数值也越小，则称函数在该区递减的，则称函数在该区间上是单调间上是递增的间上是递减的的有界函数的性质有界函数的特点重要定理有界函数在定义域内取值的范围是有限的，这意味着函数的值在数学分析中，有界函数的一些重要定理，例如不会超出某个特定的上限或下限•有界函数的极限存在，即函数在定义域内取值范围有限•有界函数的积分也存在，即函数在定义域内积分值有限重要定理介值定理最大值最小值定理有界函数的性质如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，则有界函数的极限存在，且极限值也为有fa≠fb，则对于fa和fb之间的任fx在[a,b]上一定取得最大值和最小界函数何值y，都存在一个x∈[a,b]，使得值fx=y课堂练习练习1练习2判断函数fx=sinx在区间[-证明函数fx=x^2在区间[0,π,π]上是否为有界函数1]上是有界的练习3求函数fx=1/x在区间0,1]上的最大值和最小值总结和反馈回顾学习思考和讨论12回顾本节课所学知识点，加思考本节课内容的应用场深理解景，与同学讨论提出问题3对学习过程中遇到的问题进行提问，寻求解答。