不等式基本性质课件

不等式基本性质不等式是数学中重要的概念，在解决实际问题中发挥着重要作用不等式的定义定义符号表示两个实数的大小比较，如果一个数大于或小•大于不等式可以用符号表示两个数之间的大小关于另一个数，就称为不等式系•小于•大于等于≥•小于等于≤不等式的分类按不等号分类按未知数个数分类不等式可分为不等式可分为•严格不等式用“”或“”连接的式子•一元不等式只有一个未知数的不等式•非严格不等式用“≥”或“≤”连接的式子•二元不等式有两个未知数的不等式•多元不等式有多个未知数的不等式不等式的性质不等式具有传递性，即若ab，bc，则ac不等式两边加上同一个数，不等号方向不变不等式两边乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变大小比较比较大小符号表示在数轴上，右边的数总比左边的数大用“”表示大于，用“”表示小于同号与异号同号异号12两个数的符号相同，则称为同号例如，2和5都是正数，所两个数的符号不同，则称为异号例如，2和-5的符号不同以它们同号；-3和-8都是负数，所以它们同号，所以它们异号；-3和8的符号不同，所以它们异号加减运算等式两边同时加减同一个数1不等式两边同时加减同一个数2不等号方向不变不等式两边同时加减同一个数3不等号方向不变乘除运算正数1同号相乘得正，异号相乘得负负数2同号相除得正，异号相除得负不等式两边同时乘以3同一个正数，不等号方向不变同一个负数，不等号方向改变4交换律加法交换律乘法交换律对于任意两个实数a和b，有a+对于任意两个实数a和b，有a*b=b+a b=b*a结合律加法结合律乘法结合律a+b+c=a+b+c a*b*c=a*b*c单调性定理单调递增函数单调递减函数若函数fx在区间[a,b]上单调递增，则对于任意的x1,x2∈[a,若函数fx在区间[a,b]上单调递减，则对于任意的x1,x2∈[a,b]，当x1x2时，有fx1fx2b]，当x1x2时，有fx1fx2单调递增函数定义性质应用对于函数fx，如果当x1x2时，恒有单调递增函数的图像总是向上倾斜，并且没单调递增函数在数学、物理和工程领域中有fx1fx2，则称函数fx在定义域内为有最大值或最小值着广泛的应用，例如描述物体运动速度的变单调递增函数化单调递减函数定义性质12如果对于函数定义域内的任意单调递减函数的图像从左往右两个自变量x1和x2，当x1下降，函数值随自变量的增大x2时，都有fx1fx2，则而减小称函数fx在其定义域内是单调递减函数应用3单调递减函数在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用，例如在函数求解、最值问题等方面不等式与绝对值绝对值定义不等式性质几何意义绝对值表示一个数到零的距离，无论该绝对值不等式可以通过不等式的性质进绝对值不等式在几何上可以表示点到点数是正数还是负数行推导和求解的距离关系倍增与等比数列倍增效应等比数列公式等比数列图像倍增效应是指一个量以固定的比例增长，每等比数列是指每一项与前一项的比值都相等等比数列的图像通常呈现指数增长或指数衰次增长都是前一次增长的两倍，这与等比数的数列，其通项公式为an=a1*q^n-1，其减的形式，具体取决于公比的正负性列的性质一致中a1为首项，q为公比不等式的应用背景工程领域经济学计算机科学不等式用于设计和分析结构，保证安全不等式应用于优化资源分配，提高效率不等式用于算法设计，确保程序的效率性和稳定性和利润和正确性解决实际问题生活中的应用例如合理分配时间、安排行程、预算开支等工程技术领域例如优化设计、控制成本、预测风险等科学研究例如数据分析、模型构建、实验设计等几何不等式平方和不等式两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数三角不等式三角形中任意两边之和大于第三边柯西不等式两个向量内积的平方不大于两个向量模长的平方之积三角不等式定义几何意义12三角不等式是指对于任意两个三角不等式体现了三角形两边复数z1和z2，有|z1+z2|≤之和大于第三边的性质在复|z1|+|z2|成立等号当且仅当数平面中，z1和z2可以看作z1和z2同向时成立是三角形的两条边，而z1+z2则是第三边三角不等式表明，三角形第三边的长度不超过另外两边长度之和应用3三角不等式在数学领域中具有广泛的应用，例如在几何、代数、分析等方面，可以用来估计复数的大小，证明不等式，以及解决一些几何问题柯西不等式基本形式等号成立条件对于任意实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有以下不等式成立当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立a1b1+a2b2+...+anbn2≤a12+a22+...+an2b12+b22+...+bn2算术平均数与几何平均数算术平均数几何平均数所有数之和除以数的个数所有数的乘积开n次方，n为数的个数不等式的综合运用多种方法结合灵活运用实际问题中，常需结合多种不等需根据具体情况选择合适的解题式性质、定理和技巧来解决问题方法，并灵活运用各种技巧思维训练通过综合运用不等式，可以培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力数列极限与不等式单调性夹逼定理12利用数列的单调性，可以构造如果一个数列被两个收敛于同不等式，推断数列极限的存在一极限的数列夹住，则该数列性或范围也收敛于同一极限柯西收敛准则3利用柯西收敛准则，可以判断数列的收敛性，而不必事先知道极限值不等式的证明技巧数学归纳法反证法代数变形法适用于证明与自然数相关的命题，通过证明假设命题不成立，推导出矛盾，从而证明原通过合理的代数运算，将不等式转化为更容初始情况和递推步骤来证明命题对所有自然命题成立易证明的形式数成立常见证明方法直接证明间接证明数学归纳法从已知条件出发，运用逻辑推理，逐步推通过证明结论的反面不成立，从而得出结当要证明的结论是关于自然数n的命题时导出要证明的结论论成立例如，反证法，可以通过证明命题对n=1成立，并假设命题对n=k成立，再证明命题对n=k+1也成立，从而得出命题对所有自然数n都成立作图法建立坐标系1根据不等式中的变量，建立相应的坐标系绘制图形2将不等式转化为图形表示，例如直线、曲线或区域确定解集3根据图形判断满足不等式的区域，即解集反证法假设结论不成立首先，假设要证明的结论不成立，即假设结论的否定成立推导出矛盾从假设出发，运用已知条件和逻辑推理，推导出与已知条件、定义或公理相矛盾的结论否定假设由于推导出矛盾，说明假设不成立，因此原结论成立不等式的应用实例求解最值问题优化问题利用不等式性质，可以求解一些在实际应用中，常需要对一些问函数的最值问题题进行优化，例如在生产过程中，如何优化生产流程以提高效率证明不等式不等式证明是数学中重要的内容之一，可以通过不等式性质和技巧进行证明课后练习应用题1将不等式知识运用到实际问题中证明题2运用不等式性质证明不等式基础题3巩固不等式基本性质总结与展望本节课学习了不等式基本性质，并运用这些性质解决了一些简单的数学问题掌握不等式基本性质对于后续学习更深入的数学知识至关重要。