二次函数的图象与性质华师大版-课件

二次函数的图象与性质二次函数是数学中重要的函数类型，它在现实生活中有着广泛的应用通过探索二次函数的图象和性质，我们可以更好地理解其特点和应用二次函数的定义函数定义性质一个自变量的二次函数是指一个包含项的函数，其一般形式为二次函数的图像是抛物线，开口方向取决于系数，对称轴是直线x x²a，其中、、为常数，且，顶点坐标为y=ax²+bx+c ab c a≠0x=-b/2a-b/2a,f-b/2a标准形式y=ax^2+bx+c二次函数的标准形式是，其中，，是常数，且y=ax^2+bx+cab c标准形式方便我们研究二次函数的性质，并找到顶点和对a≠0称轴例如，是一个二次函数，其中，，y=2x^2+3x-1a=2b=3c=-1二次函数的图象二次函数的图象是一个抛物线抛物线的形状取决于二次项系数的正负号a当时，抛物线开口向上a0当时，抛物线开口向下a0图象的基本性质对称性单调性二次函数的图象关于对称轴对称对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-二次函数的图象在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减单调递增表示当b/2a x值增大时，y值也随之增大；单调递减表示当x值增大时，y值随之减小开口和顶点开口方向顶点位置顶点坐标二次函数图象开口向上还是向下取决顶点是二次函数图象的最高点或最低顶点坐标是二次函数图象的最高点或于系数的符号点，其横坐标为最低点，其坐标为a.-b/2a.-b/2a,f-b/2a.顶点坐标的求法二次函数顶点坐标的求法是找到函数图象上最低点或最高点的坐标.可以使用配方法或公式法来求解.配方法1将函数表达式配成顶点式公式法2直接代入公式顶点式3求出顶点坐标对称轴的性质对称轴顶点重要性质将抛物线分成两个完全相同的部分抛物线顶点始终位于对称轴上对称轴上的点到抛物线上任意一点的距离相..等.图象的平移和伸缩平移将抛物线的图象沿轴方向向上或向下平移个单位，y=ax^2y|k|得到的图象y=ax^2+k伸缩将抛物线的图象沿轴方向伸缩倍，得到y=ax^2y|k|y=k*ax^2的图象综合运用将抛物线的图象沿轴方向平移个单位，再沿轴方向y=ax^2y|k|y伸缩倍，得到的图象|m|y=m*ax^2+k单调性和极值单调性极值二次函数的单调性是指函数值随二次函数的极值是指函数在定义自变量的变化而变化的趋势当域内取得的最大值或最小值二自变量在某个区间内增大时，函次函数的极值与函数的开口方向数值也随之增大，则称函数在这有关当函数开口向上时，极值个区间内单调递增；反之，则称为最小值；当函数开口向下时，函数在这个区间内单调递减极值为最大值确定极值可以通过求导或配方法确定二次函数的极值求导法可以得到函数的导数，将导数等于零，即可得到极值点的横坐标，然后代入原函数即可求得极值二次函数的单调性递增递减对称轴当自变量的值增大时，函数的值也随之增大当自变量的值增大时，函数的值随之减小二次函数图象关于对称轴对称，对称轴左侧递减，右侧递增二次函数的极值极大值求极值方法当二次函数的开口向上时，顶点处取得最求二次函数的极值，可以使用公式法或配小值当二次函数的开口向下时，顶点处方法，求出顶点坐标，即可得到极值取得最大值二次函数的图象与性质二次函数的图象是抛物线，其性质决定了抛物线的形状、位置和方向理解二次函数的图象与性质，是掌握二次函数应用的关键零点和根二次函数的零点图形意义是指使二次函数值为零的自变量的值，即方程的根二次函数的零点对应于抛物线与轴的交点，也就是函数图像与ax^2+bx+c=0x x轴的交点的横坐标二次函数的零点定义求解意义二次函数的零点是指使函数值为零的自求解二次函数的零点，实际上就是求解二次函数的零点在实际问题中有着广泛变量的值也就是说，当函数的图象与方程的根可以通过的应用，例如，它可以用来求解物体抛y=ax^2+bx+c=0轴相交时，交点的横坐标就是二次函因式分解、配方法、公式法等方法来求射的运动轨迹、计算经济效益的最高点x数的零点解等零点的个数二次函数的图象与x轴的交点称为函数的零点，也称为方程的根二次函数的零点个数取决于二次函数的判别式（Δ）的值根的性质根的意义根的个数

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22.二次函数的根是指使函数值为二次函数的根的个数与判别式零的自变量的值的符号有关，时有两个ΔΔ0不同的根，时有一个根，Δ=0时没有实数根Δ0根与系数的关系根的应用

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44.二次函数的根与系数之间存在二次函数的根在求解应用问题着维埃特定理，即两个根之和中扮演着重要角色，例如求解等于，两个根之积等于最大值、最小值、零点等问题-b/a c/a应用问题将二次函数的性质应用于实际问题中帮助解决实际生活中遇到的问题求解应用问题的步骤

1.理解问题1仔细阅读问题，弄清楚问题中所描述的实际情景

2.建立模型2将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的性质和公式进行描述

3.解決模型3利用数学方法求解模型，找到问题的解

4.验证答案4将所得的解代入原问题进行验证，确保答案符合实际情况

5.答题5根据问题的要求，用简洁、准确的语言写出答案实例最大面积问题1假设有一块矩形土地，要围成一个长方形花园已知周长为定值，如何设计花园的尺寸才能使面积最大？可以用二次函数的性质来解决该问题，通过求函数的极值点，即可确定最大面积花园的尺寸实例最大利润问题2利润最大化是企业经营的目标之一利用二次函数的性质，可以求解最大利润，找到最佳生产方案例如，已知某种商品的销售价格、生产成本和产量之间的关系，可以建立一个二次函数模型来描述利润与产量的关系，并求出最大利润和对应的产量实例抛物线运动问题3足球运动跳水运动炮弹发射足球运动员踢球时，球的运动轨迹通常呈抛跳水运动员从跳台上跳下，其运动轨迹也是炮弹发射后，其运动轨迹也呈抛物线物线形状抛物线实例几何问题4二次函数与几何图形密切相关，例如，抛物线就是二次函数的图像运用二次函数的性质，可以解决许多几何问题，例如，求三角形的面积、圆的方程等总结图象性质应用

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22.二次函数图象开口方向，对称二次函数广泛应用于物理、工轴位置，顶点坐标，单调性等程、经济等领域.性质.学习方法知识拓展

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44.理解概念，掌握公式，注重练深入了解二次函数与其他数学习，灵活运用知识的联系..二次函数的性质开口方向顶点坐标对称轴单调性二次函数的图象是一个抛物线顶点坐标是抛物线的最高点或抛物线关于对称轴对称，对称二次函数的图象在对称轴左侧，开口方向取决于系数的正负最低点，可以通过公式计算得轴的方程可以根据顶点坐标求递减，在对称轴右侧递增a出得二次函数的应用生活中的应用工程建设二次函数广泛应用于生活，例如计算抛物线运动的轨迹、确定最建筑师利用二次函数设计拱桥、建筑物的曲线部分，提升结构的大利润等稳定性和美观性课后练习为了巩固所学知识，课后练习十分重要练习题涵盖了二次函数的基本概念、图象性质、应用等方面，帮助学生更好地理解和掌握知识点通过练习，学生可以发现学习中存在的不足，并及时进行弥补此外，练习还可以培养学生的解题技巧和思维能力，为今后的学习打下坚实的基础课后练习不仅是巩固知识的有效途径，也是提升学习能力的重要手段学生应该认真对待每一题，并及时查漏补缺，不断提高自己的学习效率课后思考回顾本节课所学的知识，思考二次函数在实际生活中的应用举例说明如何利用二次函数解决实际问题进一步思考，你能否利用二次函数解决更多现实问题？。