《复合函数》课件

复合函数课程导引引言学习目标12复合函数是数学中重要的概念本课程旨在帮助你深入理解复之一，它将两个函数组合起来合函数的概念，掌握其性质、，创造出更复杂的函数运算规则和应用课程安排3我们将从复合函数的基本定义开始，逐步讲解复合函数的求导、应用以及相关问题什么是复合函数复合函数是数学中一种重要的函数类型，它由两个或多个函数组合而成简单来说，就是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到新的函数例如，函数和可以组合成复合函数fx=x^2gx=x+1hx=fgx=x+1^2复合函数的定义函数组合定义复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数设函数的定义域为函数的定义域为且y=fu D1,u=gx D2,的值域包含于中，则称函数为由函数gx D3D1y=fgx和复合而成的函数，简称为复合函数y=fu u=gx复合函数的性质非唯一性可逆性同一个复合函数可以由不同的函复合函数的逆函数不一定存在，数组合而成但如果存在，其逆函数也是一个复合函数连续性可导性如果两个函数在复合点连续，则如果两个函数在复合点可导，则复合函数在复合点也连续复合函数在复合点也可导如何求复合函数确定内外函数首先要明确复合函数是由哪些函数组成的，并判断哪个是外函数，哪个是内函数将内函数代入外函数将内函数的表达式代入外函数的表达式中，得到最终的复合函数表达式化简表达式将复合函数表达式进行化简，使其形式更简洁，更易于理解复合函数的运算规则顺序执行代入运算复合函数的运算顺序是从右到左执行复合函数的运算本质上是代入运算，的，即先计算最右边的函数，再将结将外层函数的变量替换成内层函数的果代入到下一个函数进行计算结果域值限制复合函数的定义域要满足内层函数的定义域和外层函数的定义域复合函数的求导123链式法则求导步骤应用场景利用链式法则，求导复合函数，即外层首先将复合函数拆分为外层函数和内层复合函数求导广泛应用于微积分、物理函数对内层函数求导，再乘以内层函数函数，然后分别对它们求导，最后将结、经济等领域，用于分析和解决各种问对自变量求导果相乘题复合函数的应用工程领域物理学经济学复合函数在工程领域中被广泛应用于建模复合函数是描述物理现象和规律的重要工复合函数在经济学中用于分析市场需求、和分析复杂系统，例如控制系统、信号处具，例如运动学、热力学和光学中的相关供给和利润等问题，并帮助理解经济系统理和电路设计问题的动态变化实例讨论1例已知函数，，求1fx=x^2gx=2x+1fgx解将代入中，得到gx fx fgx=f2x+1=2x+1^2例已知函数，，求2fx=1/x gx=x^2+1gfx解将代入中，得到fx gxgfx=g1/x=1/x^2+1=1/x^2+1实例讨论2假设有两个函数和求复合函数fx=x^2gx=x+1fgx首先，将代入中，得到这就是复合函数的表gx fxfgx=x+1^2fgx达式实例讨论3对于复杂函数的复合情况，例如求导，我们可以将求导过程分解成多个步骤，逐步解决例如，求函数的导数，可以先求导数fx=sinx^2+1gx=，再求导数，最后将两个导数的结果相乘得到x^2+1fgx=singx fx的导数梯形面积公式公式S=a+bh/2上底a下底b高h导数公式推导复合函数求导法则1链式法则2求导公式3复合函数的微分链式法则变量替换12复合函数的微分可以通过链式将复合函数中的内层函数视为法则进行计算，它将复合函数一个新的变量，然后对该变量的导数分解为各函数的导数的进行微分，最后再将原始变量乘积代回求导步骤3首先找到内层函数的导数，然后找到外层函数的导数，最后将两个导数相乘即可得到复合函数的导数复合函数的导数应用速度和加速度经济学物理学用导数求解速度和加速度用导数分析经济增长和成本变化用导数研究运动学和力学问题极值问题分析定义1寻找函数最大值或最小值求解2利用导数求极值应用3优化问题、模型分析复合函数的极值问题分析是函数应用的重要方面，涉及寻找函数在特定区间内的最大值或最小值通过利用导数求极值，可以找到函数的临界点并判断极值类型例如，在优化问题中，我们可以通过求解复合函数的极值来找到最佳解决方案分段函数及其复合分段函数复合函数分段函数是指由多个函数定义域不同的函数组成的函数每个子复合函数是指一个函数的输出作为另一个函数的输入，即在一个函数在各自定义域内具有不同的表达式函数的内部嵌套另一个函数相关问题解析复合函数是高中数学的重要内容，也是大学数学中函数论的基础在学习过程中，同学们可能会遇到一些常见的问题，例如如何判断一个函数是否是复合函数？•如何求复合函数的定义域和值域？•如何求复合函数的导数？•如何将复合函数应用到实际问题中？•这些问题都可以在课堂上进行讨论，老师也会给出详细的解答同学们要积极思考，并尝试独立解决问题，从而加深对复合函数的理解实用技巧总结多做练习，熟能生巧绘制思维导图，理清思路总结解题方法，提高效率复合函数练习1函数1已知函数求fx=x^2+1,gx=2x-1,fgx复合2将代入中，得gx fxfgx=2x-1^2+1化简3展开表达式，得fgx=4x^2-4x+2复合函数练习2已知，，求fx=x^2+1gx=2x-1fgx根据复合函数的定义，将代入中，得到gx fxfgx=2x-1^2+1化简fgx展开表达式，得到fgx=4x^2-4x+2求fg2将代入中，得到x=2fgx fg2=42^2-42+2=10复合函数练习3函数定义1定义域、值域、单调性、奇偶性复合函数2求复合函数表达式、定义域函数图像3绘制复合函数图像，分析图像特征复合函数测试题1函数定义求导给定函数和，定义复合求函数的导数fx gxfgx函数fgx应用利用复合函数求解实际问题，例如求极值问题复合函数测试题2以下是一些关于复合函数的测试题，请仔细阅读并尝试解答设，，求◦和◦的

3.fx=1/x gx=x+1f gx g fx定义域已知，求◦和◦

1.fx=x²+1,gx=2x-1f gxg fx设，，求◦的定义域

4.fx=√x+1gx=x²f gx已知，求◦和◦

2.fx=sin x,gx=x²f gxg fx设，，求◦和◦

5.fx=ln xgx=e^xfgxgfx复合函数测试题3试题一试题二求函数的导数求函数的导数fx=lnx^2+

1.gx=sin2x+

1.试题三求函数的导数hx=x^2+1^

3.总结与收获复合函数概念求导技巧了解了复合函数的定义、性质和掌握了复合函数求导的步骤和方运算规则法应用场景认识到复合函数在数学、物理、经济等领域的广泛应用问题反馈课堂互动课后反思寻求帮助积极参与课堂讨论，提出疑问，分享想法回顾课程内容，梳理知识点，深入思考问遇到困惑，及时向老师或同学寻求帮助，题共同解决问题课程展望未来我们将继续探索复合函数的更多我们会深入探讨复合函数在微积分、应用和拓展线性代数等领域的应用我们将结合案例分析，让学习更加生动形象谢谢大家。