《多元函数的微积分》课件

多元函数的微积分课程简介多元函数的微积分应用广泛学习目标本课程将深入探讨多元函数的微积分理多元函数的微积分在物理、化学、工程通过本课程的学习，学生将能够掌握多论，涵盖偏导数、全导数、方向导数、、经济等领域有着广泛的应用，可以用元函数的微积分概念，并能够运用这些极值问题、重积分等内容来解决现实世界中的各种问题概念解决实际问题多元函数的概念多元函数是指包含多个自变量的函数它在数学和物理学等领域有着广泛的应用，例如描述多维空间中的点、描述多个因素之间的关系等例如，温度是一个多元函数，它与位置、时间等因素有关气压也是一个多元函数，它与高度、温度等因素有关二元函数的定义域和值域定义域值域所有可以使函数有意义的自变量取值函数所有可能的输出值的集合.集合.二元函数的连续性定义几何意义12若函数在点的邻域内有函数在点处连续，意味x0,y0x0,y0定义，且当趋近于着函数的图形在该点处没有断x,y x0,y0“时，函数值趋近于裂，可以连续地画出函数的fx,y”“”，则称函数在点图形fx0,y0fx,y处连续x0,y0性质3如果两个二元函数在点处连续，则它们的和、差、积、商（分母x0,y0不为）也都在该点处连续0二元函数的偏导数定义计算应用在多元函数中，偏导数表示函数对其中一个计算偏导数时，将其他自变量视为常数，然偏导数在优化、物理学、经济学等领域有广自变量的变化率，其他自变量保持不变后对目标自变量进行求导泛应用，用于分析函数在不同方向的变化趋势二元函数的全导数定义公式二元函数的全导数是指函数在某一点沿某个方向的变化率，它反设二元函数在点处可微，则函数在该点沿方向z=fx,y x0,y0l映了函数在该点沿该方向的瞬时变化趋势的全导数为∇df/dl=fx0,y0·l二元函数的梯度和方向导数梯度方向导数关系梯度是一个向量，它表示函数在某一点方向导数表示函数在某一点沿某一方向方向导数是梯度在该方向上的投影变化最快的方向的变化率二元函数的极值问题极值点求极值二元函数的极值点是指在函数定义域可以通过求函数的偏导数，并利用极内，函数取得最大值或最小值的点值条件判断极值点极值判别通过求函数的二阶偏导数，并利用海森矩阵判断极值点的类型二元函数的级数展开泰勒级数麦克劳林级数应用123将二元函数展开成幂级数的形式泰勒级数在点处的特殊情况用于近似计算函数值、求解微分方程0,0等三元函数的概念三元函数是指定义域为三维空间中的点集，值域为实数的函数三元函数的定义域可以是三维空间中的任何点集，例如，一个球体，一个立方体，或者一个平面区域三元函数的图形通常在四维空间中绘制，但我们通常用等值面或等高线来表示三元函数等值面是指三元函数取某个特定值的所有点的集合等高线是指三元函数取某个特定值的所有点的投影在三维空间中的平面上的曲线三元函数的偏导数定义几何意义对于三元函数，其对的偏导数定义为三元函数的偏导数表示函数在某一点沿着坐标轴方向的变化率fx,y,z x∂f/∂x=limh→0[fx+h,y,z-fx,y,z]/h类似地，可以定义对和的偏导数例如，表示函数在方向上的变化速度y z∂f/∂x x三元函数的全导数定义公式三元函数的全导数是指函数在某一点沿某个方向的变化率，它反映三元函数的全导数的公式为了函数在该点沿该方向的变化趋势df=∂f/∂x dx+∂f/∂y dy+∂f/∂z dz三元函数的方向导数定义计算三元函数在某点沿某方向的方向方向导数可以通过梯度和方向向导数，是指该函数在该点沿该方量点积得到向的变化率应用方向导数在物理、工程等领域有广泛应用，例如计算物体在特定方向上的速度或加速度三元函数的极值问题定义求解方法应用三元函数的极值问题是指在三元函数定义域求解三元函数极值问题需要利用多元函数的三元函数极值问题在优化问题、工程问题等内寻找函数取得最大值或最小值的问题偏导数和矩阵领域有着广泛的应用Hessian元函数的概念n元函数是指定义在维欧几里得空间上的函数，即输入为个变量，n n Rn n输出为一个实数的函数例如，一个三元函数就是一个元函数fx,y,z n，其中n=3元函数的定义域是中的一个区域，值域是实数集元函数的图形nRnR n在维空间中是一个曲面例如，一个二元函数的图形是一个三n+1fx,y维曲面元函数的偏导数n元函数的偏导数是多元函数微积分中偏导数的概念和一元函数的导数类似n的重要概念，它是对元函数在某个方，但它只对一个变量进行求导，而保n向上的变化率进行量化持其他变量固定偏导数可以用来计算函数的梯度，梯度向量指向函数值增长最快的方向元函数的全导数n定义公式意义元函数的全导数是指函数在某一点沿着设函数在点可全导数可以用来计算函数值在任意方向上n fx1,x2,...,xn a1,a2,...,an某一方向的变化率它反映了函数值随自微，则在该点沿着方向向量的变化率，是多元函数微分学中的一个重fx1,x2,...,xn变量在所有方向上的变化率的全导数为要概念v=v1,v2,...,vn df/dt=∇fa1,a2,...,an·v元函数的梯度n定义方向元函数的梯度是指该函数在某个梯度方向代表函数值增长最快的n点上的偏导数所组成的向量方向应用梯度在求解极值问题、方向导数、最速下降法等方面都有重要应用元函数的级数展开n泰勒级数展开麦克劳林级数展开元函数的泰勒级数展开是将函数展开麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的n成无穷项的和，每项都是一个多项式一种特殊情况，展开点为原点收敛性元函数的级数展开的收敛性取决于展n开函数和展开点的性质隐函数微分法定义隐函数是指不能直接表示成y=fx形式的函数，但可以通过方程Fx,y=0来定义求导对隐函数方程两边同时求导，并将y视为x的函数，利用链式法则求解y应用隐函数微分法可用于求解一些无法直接用显式函数表示的函数的导数，例如圆的方程参变函数微分法定义1当函数的自变量是另一个变量的函数时，称为参变函数微分2使用链式法则对参变函数求导应用3求曲线切线、求曲线长度、求曲面积等复合函数微分法链式法则1复合函数的导数等于其外层函数的导数乘以其内层函数的导数偏导数计算2对于多元复合函数，需要分别计算每个自变量的偏导数应用场景3复合函数微分法广泛应用于物理、经济学、工程等领域条件极值问题约束条件拉格朗日乘数法应用场景条件极值问题是在一定约束条件下求函常用拉格朗日乘数法解决此类问题在经济学、物理学和工程学等领域有广数的极值泛应用拉格朗日乘数法约束条件梯度应用拉格朗日乘数法用于求解有约束条件的极拉格朗日函数的梯度向量与约束条件的梯拉格朗日乘数法广泛应用于经济学、物理值问题该方法将约束条件转化为一个新度向量平行这表明拉格朗日函数在约束学和工程学等领域，用于求解各种优化问的函数，称为拉格朗日函数条件下取得极值题多元函数积分的概念多元函数积分是对多元函数在多维空间上的积分它可以理解为求解函数在多维区域上的面积、体积或更高维度的几何体积多元函数积分在物理、工程和经济学等领域有着广泛的应用多元函数积分的概念与一元函数积分的概念类似，但需要考虑多维空间中的积分区域和函数的变化规律多元函数积分的计算通常需要使用重积分，即对多个变量进行逐次积分二元函数积分的性质线性性可加性12二元函数积分满足线性性质，二元函数积分满足可加性，即即对两个二元函数的线性组合对积分区域的分割，积分值等的积分等于其对应积分的线性于各子区域积分值的和组合单调性3二元函数积分满足单调性，即被积函数增大，积分值也会增大；积分区域增大，积分值也会增大三元函数积分的性质线性性单调性可加性如果和是两个可积函数，则如果在积分区域上成如果可以分成两个子区域和，则f gfx,y,z≤gx,y,z D DD1D2立，则，•∫∫∫af+bg dV=a∫∫∫f dV+b∫∫∫g dV•∫∫∫f dV=∫∫∫D1f dV+∫∫∫D2f dV其中和是常数a b•∫∫∫f dV≤∫∫∫g dV元函数积分的性质n线性性可加性12积分运算对被积函数是线性的积分区域可加性，积分区域可拆分为多个子区域，积分值等于各子区域积分值的总和单调性3如果被积函数在积分区域上单调递增，则积分值也单调递增重积分的计算方法迭代法1将重积分化为多次积分换元法2利用坐标变换简化积分数值积分3利用数值方法近似计算课程总结掌握多元函数的基本概念理解多元函数的微分学习了多元函数的定义、域、值学习了偏导数、全导数、方向导域、连续性等基本概念数、梯度等重要概念掌握多元函数的积分学习了重积分的定义、性质和计算方法。