《概率论与数理统计》课件 概率论

概率论与数理统计本课程介绍概率论与数理统计的基本理论和方法，并探讨其在实际问题中的应用认识概率随机事件概率值概率分布掷硬币的结果是正面还是反面，都是无法确概率值表示随机事件发生的可能性大小，通概率分布描述了随机事件的不同结果出现的定的，称之为随机事件常用0到1之间的数值表示概率什么是概率

1.1事件发生的可能性量化不确定性概率描述一个事件在特定条件下概率是量化不确定性的一种方法发生的可能性大小例如，抛硬，它允许我们对事件发生的可能币正面朝上的概率是1/2，表示正性进行客观评估，并在决策过程面朝上的可能性是50%中做出更明智的选择概率的范围概率的值始终介于0和1之间，表示事件发生的可能性从不可能到必然概率论的研究对象

1.2随机现象规律性概率论研究的对象是随机现象，即在相同条件下，其结果不确定虽然随机现象的结果是不可预知的，但随机现象背后也存在着一，但其结果出现的可能性是可以估计的定的规律性，而概率论正是研究这种规律性的学科概率的性质

1.3非负性规范性12任何事件的概率都不小于0样本空间中所有事件的概率之和等于1可加性3对于互斥事件，其并集的概率等于各事件概率之和古典概型和几何概型

1.4古典概型几何概型所有基本事件的概率相等例如，抛事件的概率等于事件所对应的几何图掷一枚均匀硬币，正面或反面出现的形的度量之比例如，在圆内随机取概率都是1/2一点，该点落在圆心到圆周距离小于半径的圆内的概率是1/4频率概型

1.5重复进行试验，记录某个事件发生的事件发生的频率是指该事件发生的次次数数与试验总次数的比值当试验次数足够多时，事件发生的频率会趋于稳定，这个稳定值就是事件的概率概率的三种定义古典概型频率概型12当所有可能结果等可能出现时在大量重复试验中，事件发生，事件发生的概率等于事件包的频率趋于一个稳定值，这个含的结果数除以所有可能结果稳定值即为事件发生的概率数公理化定义3基于概率测度和事件空间，将概率定义为满足一定公理的函数不确定性与随机性不确定性随机性事件结果难以预测，存在多种可事件结果受偶然因素影响，无法能性完全控制概率论研究随机现象规律性的学科，提供量化分析方法随机事件随机事件是指在随机现象中可能发生的，也可能不发生的事件基本概念事件运算事件是随机现象中一个或多个结果的事件之间可以进行各种运算，例如并集合，可表示为事件空间的子集集、交集、补集等随机事件事件样本空间事件的发生随机试验可能出现的任何结果例如，抛硬随机试验所有可能结果的集合，用✌表示随机试验中，特定结果的发生例如，抛硬币的结果是正面或反面例如，抛硬币的样本空间为✌={正面，币出现正面的结果反面}事件运算并1A或B发生交2A和B同时发生差3A发生但B不发生互斥事件定义例子如果两个事件不可能同时发生，则称为互斥事件抛掷一枚骰子，事件A为出现点数为奇数，事件B为出现点数为偶数，则事件A和事件B是互斥事件事件的独立性

2.4定义公式两个事件A和B，如果事件A的发PAB=PAPB生不影响事件B发生的概率，那么称事件A和B相互独立举例抛一枚硬币两次，第一次正面朝上，第二次正面朝上的概率不受第一次的影响条件概率

2.5定义公式事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为事件B在事件A发生的PB|A=PAB/PA，其中PA0条件下的条件概率，记作PB|A全概率公式公式定义应用场景设事件A1,A2,...,An构成样本空间Ω的一个划分，且PAi0全概率公式可用于计算复杂事件的概率，将其分解为多个简单事件i=1,2,...,n，则对于任意事件B，有的概率之和贝叶斯公式

2.7先验概率后验概率12事件发生前的概率事件发生后的概率似然函数3在事件发生的情况下，观察到特定结果的概率随机变量随机变量是一种可以随机取值的变量，它反映了随机现象的结果例如，掷一次骰子，点数就是一个随机变量，它的取值可以是1到6随机变量及其取值

3.1随机变量随机变量的取值随机变量是一个可以取不同值的变量随机变量的取值可以是离散的，例如，其值取决于随机事件的结果掷骰子的结果，也可以是连续的，例如人的身高离散型随机变量

3.2有限个可数个取值范围是有限个值的随机变量取值范围是可数个值的随机变量计数离散型随机变量常用于计数，如某个时间段内发生的事件次数连续型随机变量

3.3变量取值可以是连续的，例如温度、概率分布使用概率密度函数来描述身高、时间等概率密度函数曲线下的面积代表概率随机变量的函数

3.4函数关系分布函数期望值随机变量的函数是指对随机变量进行某种运函数关系可以通过改变随机变量的分布函数函数关系还可以影响随机变量的期望值、方算或变换后得到的新的随机变量来定义，例如线性变换或非线性变换差等统计量随机变量的分布函数

3.5定义性质12随机变量的分布函数是描述随分布函数是一个单调不减函数机变量取值概率的函数，且取值范围在0到1之间应用3分布函数可以用来计算随机变量取值在某个范围内的概率常见概率分布二项分布泊松分布描述在固定次数试验中，成功次描述在特定时间或地点内事件发数的概率生的次数的概率均匀分布指数分布描述随机变量在一定范围内每个描述事件发生的时间间隔的概率取值的概率都相等的概率分布分布二项分布

4.1定义公式在n次独立试验中，每次试验只有两种可能的结果，称为成功或失二项分布的概率质量函数为PX=k=Cn,k*p^k*q^n-k，败，且每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则n次试其中Cn,k是二项式系数，表示从n次试验中选出k次成功的方案验中成功的次数X是一个随机变量，服从二项分布数泊松分布

4.2描述事件在特定时间段或空间内发生泊松分布由事件发生的平均速率λ决定的概率例如，在固定时间段内，电，λ值越大，事件发生的概率越高话呼叫中心的呼叫数量事件发生的概率与之前事件无关，遵循随机性例如，呼叫中心每分钟接到的电话数量，与之前的电话数量无关均匀分布

4.3定义概率密度函数12如果随机变量X在区间[a,b]上fx=1/b-a当a≤x≤b，否取任意值的概率都相等，则称则为0X服从均匀分布应用3均匀分布广泛应用于模拟随机事件，例如掷骰子、抽奖、随机数生成等指数分布

4.4公式应用指数分布的概率密度函数为•可靠性分析•排队论fx=λe^-λx,x≥0•寿命预测正态分布特点应用参数正态分布是统计学中最常见的分布之一，正态分布在许多领域都有广泛的应用，包正态分布由两个参数决定均值和标准差它以其钟形曲线而闻名括自然科学、社会科学、工程学等，它们分别表示分布的中心位置和分散程度。