《概率论与数理统计》课件 随机过程

《概率论与数理统计》经典课件随机过程:随机过程概念及特点定义特点12随机过程是随时间变化的随机随机过程通常具有随机性和时现象的数学模型它描述了一间相关性这意味着过程的未个系统在不同时间点的状态的来状态不仅取决于当前状态，随机变化规律也取决于过去的状态应用3随机过程广泛应用于金融、工程、生物、物理等领域，例如股票价格波动、噪声信号处理、流行病传播等随机过程的分类按时间参数分类按状态空间分类按随机变量的类型分类随机过程可以根据时间参数的性质分为连随机过程可以根据状态空间的性质分为离随机过程可以根据随机变量的类型分为平续时间随机过程和离散时间随机过程散状态随机过程和连续状态随机过程稳随机过程、非平稳随机过程、马尔可夫过程等马尔可夫过程定义1马尔可夫过程是一种随机过程，其未来状态只取决于当前状态，而不依赖于过去的状态特点2无记忆性未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关应用3广泛应用于物理学、化学、生物学、经济学、金融学等领域马尔可夫链定义1一个随机过程，其未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关特点2无记忆性、状态转移概率固定应用3预测、模拟、优化，广泛应用于经济学、生物学、金融等领域马尔可夫链的性质无记忆性状态空间马尔可夫链的未来状态只取决于当前马尔可夫链的每个状态都属于一个有状态，而与过去状态无关限或可数的状态空间转移概率从一个状态转移到另一个状态的概率是固定的，不随时间变化马尔可夫链的应用数据分析网页排名金融市场马尔可夫链可以用于预测数据序列的未来趋马尔可夫链可以用于估计网页之间的连接关马尔可夫链可以用于模拟金融市场中资产价势系，并为搜索引擎提供网页排名的依据格的波动，并预测未来的走势泊松过程定义泊松过程是随机过程的一种,描述的是在一段时间内事件发生的次数.特点事件在非重叠时间段内独立发生,且在任意时间段内事件发生的概率与时间段长度成正比.应用泊松过程广泛应用于各个领域,例如电话呼叫,网站访问,顾客到达商店等.泊松过程的性质独立增量平稳增量在不重叠的时间间隔内发生的事在相等长度的时间间隔内发生的件是相互独立的事件数量具有相同的概率分布无记忆性未来事件发生的概率仅取决于当前状态，与过去事件无关泊松过程的应用排队论可靠性分析金融建模泊松过程可以用来模拟顾客到达的频率泊松过程可以用来评估设备故障的发生泊松过程可以用来模拟金融市场中的事，例如电话中心或银行的排队系统频率，例如计算机系统或电子设备的可件，例如股票价格的波动或交易量靠性分析广义柯尔莫哥罗夫方程描述了随机过程在不同时刻状态之间将状态转移概率与时间联系起来，提的转移概率供了一种分析随机过程行为的强大工具可用于推导随机过程的性质，例如稳态分布和期望值扩散过程随机游走1粒子在空间中随机运动布朗运动2微观粒子在液体或气体中的随机运动维纳过程3连续时间随机过程，其路径连续且处处不可微连续时间马尔可夫链定义1在连续时间内，系统状态转换的概率仅取决于当前状态，与过去状态无关应用2广泛应用于物理、化学、生物、经济等领域例子3例如，一个放射性物质的衰变过程，其衰变概率仅取决于当前的原子数量构建连续时间马尔可夫链状态空间定义首先要确定马尔可夫链的状态空间，即所有可能状态的集合转移概率矩阵定义状态转移概率矩阵，用于描述在特定时间段内从一个状态转移到另一个状态的概率转移速率矩阵确定状态转移速率矩阵，用于描述在任意时间点，从一个状态转移到另一个状态的瞬时速率柯尔莫哥罗夫方程使用柯尔莫哥罗夫方程来描述连续时间马尔可夫链的概率演化矩阵指数及其应用定义计算12矩阵指数是将矩阵映射到另一矩阵指数可以使用泰勒级数展个矩阵的函数，类似于标量的开来计算指数函数应用3矩阵指数在解决微分方程、随机过程和系统控制等领域有着广泛的应用稳态分布定义重要性稳态分布是指在马尔可夫链经过足够长的时间后，其状态的概率稳态分布可以帮助我们了解马尔可夫链长期行为，例如系统最终分布不再随时间变化会处于哪个状态，每个状态的概率是多少等排队论应用领域1服务系统优化模型分析2排队系统性能理论基础3随机过程排队论的基本模型M/M/1模型M/M/c模型M/M/1/K模型最基础的模型，假设顾客到达时间和服务时有多个服务台的模型，顾客到达时间和服务有限顾客模型，系统容量有限，超过容量的间都服从泊松分布，只有一个服务台时间仍然服从泊松分布，顾客会随机选择一顾客会被拒绝个空闲的服务台排队论的性质等待时间排队长度顾客在排队中等待服务的时间长排队中顾客的数量短系统利用率系统吞吐量服务器被占用或忙碌的比例系统单位时间内完成的服务量排队论的应用呼叫中心银行优化呼叫中心资源分配，减少客预测银行柜台的排队情况，安排户等待时间人员合理调配医院提高医院诊疗效率，减少患者等待时间更新过程定义1更新过程是指一个系统或设备在发生故障或老化后，通过维修、更换部件等方式恢复到正常工作状态的过程特点2更新过程通常具有随机性、不可预测性，并且会对系统的性能和可靠性产生影响应用3更新过程在各种系统中都有广泛的应用，例如计算机系统、通信网络、生产设备等再生过程定义一个随机过程，其中在特定时间点发生的事件会影响后续事件，并最终回到初始状态周期再生过程可以被分解成一系列独立且相同的周期，每个周期都从一个特定的状态开始，并在再次回到该状态时结束应用再生过程在排队论、可靠性理论、库存管理等领域有广泛的应用平稳过程严格平稳过程1任意阶矩不变弱平稳过程2一阶矩和二阶矩不变平稳性3时间不变性平稳过程的性质统计特性自相关函数趋势和季节性平稳过程的统计特性不随时间推移而改变自相关函数只依赖于时间差，与时间点无关平稳过程没有明显的趋势或季节性变化谱密度及其应用频域分析应用领域谱密度是描述随机过程在不同频率成分上的能量分布，是时间序广泛应用于信号处理、噪声分析、振动分析等领域，帮助识别系列分析的重要工具统中的主要频率成分和噪声来源时间序列分析数据收集1收集时间序列数据，例如股票价格、气温或销售额数据清洗2处理缺失值、异常值和季节性影响等问题模型选择3选择合适的模型，例如AR、MA、ARMA或ARIMA模型模型拟合4使用历史数据拟合模型，以估计模型参数模型评估5评估模型的预测能力，以确保其能够准确预测未来数据模型ARIMA自动回归积分利用过去的值预测未来的值对数据进行差分以消除趋势和季节性移动平均使用过去误差的加权平均值来平滑时间序列时间序列预测历史数据1使用历史数据来建立模型模型2选择合适的预测模型预测3对未来进行预测时间序列预测是一种利用历史数据来预测未来值的技术这涉及到建立一个数学模型来捕捉时间序列数据的模式和趋势模型建立后，可以用于预测未来值预测结果的准确性取决于数据的质量、模型的选择以及预测范围时间序列预测在许多领域都有应用，例如金融、气象、销售预测等等小结与展望本课程介绍了随机过程的基本概念、分类、性质和应用，为进一步学习相关领域奠定基础。