《概率论与数理统计》课件

《概率论与数理统计》课程简介课程目标课程内容学习概率论与数理统计的基本概念、涵盖概率论基础、随机变量、统计推方法和应用断、回归分析等内容学习方式课堂讲授、课后练习、案例分析等多种方式概率论的基本概念随机现象样本空间随机事件在相同条件下，可能出现多种结果的现象，随机现象所有可能结果的集合，称为样本空样本空间的子集，即随机现象的某个结果或称为随机现象间结果的集合，称为随机事件随机事件及其性质事件的定义事件的性质随机事件指的是在随机试验中可能出现也可能不出现的事件事件的并集包含所有事件中所有结果的事件••事件的交集包含所有事件中共同结果的事件•事件的补集包含所有试验结果中不属于事件的结果概率的公理化定义非负性规范性可加性任何事件的概率都大于或等于0，即样本空间Ω的概率为1，即PΩ=1如果事件A和B互斥，则A和B的并集的PA≥0概率等于A的概率加上B的概率，即PA∪B=PA+PB古典概型和几何概型古典概型几何概型12每个基本事件发生的概率相等，称为古典概型例如，抛一在连续型随机事件中，每个事件发生的概率与该事件所对应枚硬币，正面朝上的概率等于1/2的几何区域的大小成正比，称为几何概型例如，在单位圆内随机取一点，该点落在第一象限的概率等于1/4条件概率和贝叶斯公式条件概率贝叶斯公式事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率，称为条件概率贝叶斯公式用来计算事件A在已知事件B发生后的概率，它利用记为PA|B条件概率和先验概率计算后验概率独立事件和全概率公式独立事件全概率公式12两个事件相互独立，意味着一全概率公式用来计算一个事件个事件的发生不影响另一个事发生的概率，该事件可以通过件发生的概率例如，抛两次多个互斥的事件发生例如，硬币，两次结果相互独立可以计算一个学生通过考试的概率，可以通过计算该学生通过不同类型的考试的概率来进行计算离散型随机变量及其分布伯努利分布二项分布泊松分布一个随机试验只有两种可能的结果，称为成在n次独立重复试验中，每次试验成功的概在一定时间或空间内，随机事件发生的次数功和失败，且成功的概率为p，失败的概率率为p，则这n次试验中成功的次数X服从二X服从泊松分布，其概率由泊松公式给出为1-p项分布连续型随机变量及其分布定义概率密度函数如果随机变量的值可以在某个区描述连续型随机变量取值的概率间内取任意值，那么这个随机变分布，用函数形式表示，其积分量就是连续型随机变量等于1常见分布正态分布、指数分布、均匀分布、泊松分布等，它们在实际应用中具有广泛的应用随机变量的函数分布函数分布是指随机变量的函数的分布通过对随机变量进行函数变换，可以规律得到新的随机变量函数分布可以用于计算函数值的概率，以及函数的期望和方差数学期望及其性质定义性质12数学期望是随机变量取值的平线性性期望的线性组合等于均值，反映随机变量取值的平线性组合的期望均水平应用3用于描述随机变量的中心位置，在风险评估、投资决策等领域有广泛应用方差和标准差的概念方差标准差衡量随机变量取值分散程度的指标方差的平方根，更直观地反映随机变量取值偏离期望值的程度大数定律和中心极限定理大数定律中心极限定理描述大量独立同分布随机变量的平均值趋近于其数学期望的规律表明大量独立同分布随机变量的和的分布趋近于正态分布参数估计及其性质点估计区间估计使用样本数据估计总体参数的值估计总体参数的置信区间，该区间以一定概率包含总体参数的真实值估计量的性质无偏性、有效性、一致性等，用于评估估计量的质量参数估计方法矩估计法1234定义步骤优势局限性矩估计法利用样本矩来估计

1.计算样本矩；

2.将样本矩简单易懂，计算方便估计效率可能较低，有时可总体矩，然后根据总体矩与代入总体矩的表达式；

3.求能无法得到唯一解未知参数的关系，求得未知解方程组，得到未知参数的参数的估计估计参数估计方法极大似然估计法似然函数基于样本数据，估计模型参数的可能性最大化似然函数找到使似然函数取最大值的参数值极大似然估计最大化似然函数得到的参数估计值假设检验的基本概念定义目的步骤假设检验是指在给定样本数据的基础上，确定样本数据是否支持原假设，还是更倾

1.建立原假设和备择假设

2.确定检验统对总体参数或分布形式做出推断的过程向于支持备择假设计量

3.计算检验统计量

4.确定拒绝域

5.做出结论检验统计量及其分布正态分布卡方分布分布分布t F检验统计量通常服从正态分布卡方分布常用于检验样本方差t分布用于检验样本均值是否与F分布用于检验两个样本的方差或其他已知分布，如t分布、F是否与总体方差相符，或检验总体均值相符，特别是当总体是否相等，或用于方差分析分布或χ²分布分类变量的独立性方差未知时假设检验的步骤提出假设1根据研究问题，提出原假设和备择假设选择检验统计量2根据样本数据和假设，选择合适的检验统计量确定拒绝域3根据显著性水平，确定拒绝域计算检验统计量的值4根据样本数据，计算检验统计量的值做出判断5判断检验统计量的值是否落在拒绝域内，做出结论均值检验和方差检验均值检验方差检验12用于检验总体均值是否与某个用于检验总体方差是否与某个特定值相符特定值相符应用3广泛应用于质量控制、医学研究等领域相关分析及其应用概念应用相关分析是研究两个或多个变量之间线性关系的统计方法它可相关分析在各个领域都有广泛的应用，例如商业分析、金融预以用来描述变量之间关系的密切程度和方向测、社会研究和医学研究等简单线性回归模型线性关系回归方程描述两个变量之间的线性关系用一个线性方程来表示这种关系图形展示通过散点图来直观地展示线性关系回归系数的估计和检验最小二乘法检验t通过最小化误差平方和来估计回用于检验回归系数是否显著不同归系数于零置信区间估计回归系数的可能取值范围回归模型的评价平方均方根误差R衡量模型对数据的拟合程度，值预测值与真实值之间的平均误差越大，拟合越好，值越小，模型越准确残差分析评估模型的假设是否成立，例如线性性、独立性、常数方差等多元回归分析多个自变量回归方程分析因变量与多个自变量之间的关系建立多元线性回归模型，预测因变量的值预测和解释预测因变量的变化趋势，解释自变量对因变量的影响方差分析及其应用比较多个样本均值分解数据方差方差分析是一种统计方法，用于比较多个样本均值是否相同它方差分析通过将总方差分解为不同来源的方差，来分析数据变异可以用于确定不同处理组或类别之间是否存在显著差异的原因它可以帮助我们识别影响数据的主要因素概率论与统计学在实际中的应用医学研究金融市场质量控制临床试验数据分析，疾病预测模型构建，药风险管理，投资组合优化，金融衍生产品定产品质量检验，生产过程监控，产品可靠性物疗效评估价评估本课程的总结与展望在本课程中，我们学习了概率论与数理统计的基本概念、方法和应用从随机事件到概率分布，从参数估计到假设检验，我们一步步探索了这门学科的核心内容希望通过本课程的学习，能够帮助大家建立起对概率论与数理统计的理解，掌握相关的方法和技能，并能够在未来应用于实际问题中。