命题定理定义

命题、定理、定义

2.1【题型归纳】题型一命题的概念

1.（2023•全国•高一课堂例题）下列语句中，为真命题的是（）直角的补角是直角同旁内角互补A.B.过直线外一点作直线于点两个锐角的和是钝角C.I A48_LI8D.【答案】A【分析】命题是可以判断真假的陈述句，判断为真的语句是真命题.依次对各选项分析，先判断是否为陈述句，再判断是否为真.【详解】对选项直角的补角是直角，所以选项为真命题；A,A对选项缺少两直线平行条件，结论不成立.B,如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以选项为假命题；180B对选项是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；C,对选项与的和为锐角，所以选项为假命题.D,3020D故选A.

2.（2023秋•高一课时练习）有下列语句，其中是命题的个数为（）.

（1）这道数学题有趣吗？

（2）0不可能不是自然数；

（3）Q2+io（aeR）；

（4）%3；

（5）91不是素数；

（6）上海的空气质量越来越好.A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】根据命题的定义即可结合选项逐一求解.【详解】

（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题；（）这句话表示是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；20

（3）因为02+10（a WR）是正确的，所以小+1o（a wR）是命题，而且是真命题；（）不能判断%是否正确，所以%不是命题；433

（5）因为91=13x7,所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题；

（6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题.所以

（1）、

（4）、

（6）不是命题，其余都是命题.其中，

（2）是真命题；

（3）是真命题；

（5）是真命题.故选A

3.（2023,全国•高一专题练习）下列语句中

①—IV2；

②％1；

③X2—i=o有一个根为0；

④高二年级的学生;

⑤今天天气好热！

⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（）A.

①②③B.

①④⑤C.

②③⑥D.

①③④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;

⑤集合是集合/的子集，且是的子集.anB AUBA.1B.2C.3D.4其中真命题的个数是【答案】C【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断

①②，根据一元二次方程的判别式即可判断

③，根据三角形全等的判断即可判断

④，根据集合的关系即可判断

⑤.【详解】对于

①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确；对于

②，菱形不一定有外接圆，故错误，对于

③，方程%的判别式为△=〉故正确，2-3%-4=09—4x-4=250,对于

④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，对于

⑤，民故正确；4n Bu//u/u故选C.A.p若次+/=0,则存0且原0,真命题B.p若小+房0,则a=0且b=0,真命题

24.2022秋•甘肃兰州•高一校考阶段练习写出命题p若小+炉=0,则=0且b=0的否定，并判断真假D.p若次+/2=0,则或原0,假命题假命题【答案】D【分析】由原命题的否定的定义求解并判断真假即可.【详解】由题意得P若02+按=0,则分0或bHO,因为命题为真命题，所以为假命题，P P故选D.

25.2021秋・广西贺州•高一校考阶段练习下列命题中假命题的个数是1|%|2+|%|-2=0有四个实数解设是实数，若二次方程=无实根，则2a,b,a/+b%+0QCNO若％,贝力32—3%+2H0ijx2A.3B.2C.1D.0【答案】C【分析】在中先求得|第|后再求解工;在中由？二房一闻＜可得出比之成立；在中由％W且1240031可推出成立.%H2xr2【详解】在中，|%『+|%|-得|%|=-或=故只有两解，故错误；12=02x=±1,

1.h2在

（2）中ad+b%+=o无实根，则/）2-4ac0,即ac丁=0,所以是正确的，故

（2）正确；4在（）中若%,则且即中成立，故（）正确；32—3%+2Ho23故选C.

26.（2021秋河南濮阳•高一范县第一中学校考阶段练习）已知集合4=3%2+2%—3=0},B={%|2x-10},则下列命题中是真命题的是（）若％则％若％€则％A.E4,EB B.4n2若％则％若％则％工C.E4D.6A U2【答案】B【分析】求出集合由集合的包含关系可判断选项的正误，利用集合间的运算可判断选项的正误.4B,AC BD【详解】因为A={x\x2+2x—3=0}=（—3,1},B=（x\2x—l0}={%x；},则AC选项错误；・・・4n8={l},AB=[x\x=-3或%卦，故B对，D错.故选B.

27.（2021秋・江苏•高一专题练习）甲、乙、丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（）至少有题有多于一人正确解答至少有题三人都正确解答A.2B.1至少有题三人都无法正确解答至多有题无人正确解答C.1D.1【答案】A【分析】用反证法说明正确，用反例说明错误.A BCD【详解】假设没有题有多于一人正确解答，取极端情况，假设人均答对题，有一题人均答对，且三人回答的2333其它两个问题均不同，则至少还需耍六道不同的题，与题设不符，故正确；A道题编号为甲正确解答乙正确解答丙正确解答则每题都只有人正确解答.错；5123,4,5,1,3,5,1,245,2,3,4,2B如果人都正确解答了所有题，则错；3C如果三人都是正确解答这时有两题没有人正确解答.错；123,D故选A.【点睛】关键点点睛本题考查命题的真假判断，对于含有至多、至少等词语的命题，可用反证法证明它是正确的.可用反例法说明它是错误.

二、多选题

28.（2023・全国•高一专题练习）下列命题是假命题的是（）形如+仄后的数是无理数A.QB.函数y=ax2+x+1是二次函数若租则方程/-租=无实数根C.1,2%+0若％+为有理数，则％都是有理数D.y y【答案】ABD【分析】根据实数的性质，二次函数的定义，以及一元二次方程的判别式，逐项判定，即可求解.【详解】对于中，例如=一力神时，可得+入为实数，所以不正确；A1e=1A对于中，当寸，函数是一次函数，所以不正确；B a=OEI y=a/+%+1=%+1B对于中，当山〉时，可得？=此时方程%有无实根，所以正确.C14—4znV0,2—2%+m=0C对于D中，例如％=2+）=2—，此时％+y为有理数，但％y都是不是有理数，所以D不正确.故选ABD.（秋•陕西西安•高一校考阶段练习）若命题“若则为真命题，则下列命题中可能为假命题的是（）

29.2022Q6M,若则若则A.aM,bM B.bM,aCM若则若则C.aM,be”D.bEM,aM【答案】ABC【分析】根据命题之间的相互关系对每个选项进行判断即可【详解】对于该命题为原命题的逆命题，两个命题真假没关系，故可能为假命题；B,对于该命题为原命题的否命题，两个命题真假没关系，故可能为假命题；C,对于该命题为原命题的逆否命题，两个命题真假相同，故为真命题；D,对于由原命题和选项可知，两个元素只能有一个在集合里面，A,D a,b M所以若则或故选项为假命题，aM,bM bEM,A故选ABC

30.（2022•江苏•高一专题练习）给出以下四个命题，其中真命题是（）命题“若％,互为相反数，则A.y T+y=0”命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”B.命题“若则/+%+有实根”C.qW—1,q=0命题“若是正整数，则力都是正整数”D.ab a【答案】ABC【分析】显然正确，当时，代入判断？=即可判断选项取代入计算，即可判断选项AB qM-l1-4q0,C,a==28D.【详解】显然选项正确，两个全等三角形的面积比与周长的平方比均为所以选项正确；当时，？=A1,B q4-11-4g0,所以方程%2+%+q=0有实根，C正确；取a=/=2b，则ab=6是正整数，但不是正整数，故D错误.故选ABC

31.（2022・江苏•高一专题练习）下列命题为真命题的是（）集合有两个子集A.{%|%2+2%+1=0}若则一B.aW N,aN集合里面有个元素C.{%Q]N}6平面直角坐标系中第

二、四象限的点的集合可以表示为（）D.{%y|%y0}【答案】AD【分析】解方程根据解集元素的个数判断正误即可；当出现矛盾；注意集合中的分数，若时集合A B a=OWN CXCN有个元素，而％有无数个元素；根据点在

二、四象限的横纵坐标的符号即可判断正误.6EQ D【详解】A[x\x2+2%+1=0]={1},则有2个子集，正确；B当Q=0eN,则一Q=o eN,故错误；C{%Q|UN}的自然数元素有1,2,346,12,而H...{%Q|UN},共有无数个元素，错误；X/3XD若点坐标为（久,y）,第二象限的点有％VO,y0,第四象限的点有％0,y V0,故第

二、四象限的点的集合可以表示为正确.v0},故选AD

32.（2023・江苏•高一假期作业）给定下列命题，其中真命题为（）A.若％y=0,则|%|+|y|=0;B.若a b,则a+c〉b+c；矩形的对角线互相垂直；不等式恒成立；C.D.YxRR,/+2%4%—3【答案】BD【分析】对于举反例可判断；对于根据不等式的性质可判断；对于由矩形的性质可判断；对于由作差法可A,B,C,D,得.【详解】对于A当歹=0时，|%|+|y|，故A不正确；对于B若匕，则根据不等式的性质得a+cb+c,故B正确；对于C矩形的两条对角线不一定垂直，故C不正确；对于DX2+2X4%—3等价于/—2%+30,由/—2%+3=（%—1）2+2=20可得D正确，故选BD.

三、填空题

33.（2022秋・上海静安・高一上海市回民中学校考期中）命题“如果好―久―20,那么％2”是命题（填“真”或假”）.【答案】真【分析】解不等式即可求解.【详解】由/一%-得（％+）

（一）解得一且%2W01%2H0x12,所以命题“如果好一工一那么是真命题，2H0,x2”故答案为:真.

34.（2021秋•上海普陀・高一校考期中）已知％yeR,命题“若汶？，则仁；:，是—命题.（填“真，，或“假，，）【答案】假【分析】用特殊值法验证即可得出该命题为假命题.【详解】已知居R,当％==4时,满足「二:2，但此时不满足匕；；，故命题“若『工工2‘则匕；；是假命题.故答案为假.

35.（2022•高一课时练习）若〃、b、c、d是实数，则下列是真命题的是.（填所有真命题的序号）

①如果a=b,且c=d,那么a—c=b-d；

②若果ac=bd,那么Q=b或c=d；

③如果£=p那么a=b=A0；a b

④如果那么%=姊，其中〃是正整数.a=b,【答案】

①【分析】根据等式的性质逐一判断即可.【详解】如果且=乙那么a=b,a-c=b-d由推不出=力或=如=QC=bd6/,l,b=2,c=8,d=4由:=#隹不出如时Q=bW0,c=0由推不出亚=冲，如时Q=b a=b=—2,n=2故答案为

①

36.（2021・高一课时练习）下列命题

①如果实系数一元二次方程法+=满足碇=那么这个方程有实根；a/+00,

②如果aw Z,那么小除以4的余数是0或1；

③设力,如果是的倍数，那么力中至少有一个是的倍数；a CWN*,ab ca c

④已知a,b e R,若a+b=l,则/+/）

21.其中是假命题的序号为.【答案】

③④【分析】在QH0的情况下，利用△30确定方程均有实根，由此可知

①正确；分别在）和（）确定次除以的余数，知

②正确；通过反例可确定

③④错误.a=2monZ a=2m+l mZ4【详解】对于

①，:方程为一元二次方程，.・・工0;当时，若则？=/-炉=方程有实根；

①正确；QC=O,4ac=o,对于

②，若a=27n（mZ）,则次=47层，则Q2除以4的余数是0；若a=2m+l（mZ）,则次=4m2+4m+1,则次除以4的余数是1；综上所述如果那么小除以的余数是或

②正确；QEZ,401,对于

③，若则是的倍数，但此时力均不是的倍数，

③错误；a=2,b=4,c=8,ab ca c对于

④，若则/+按=

④错误.a=b=g1,故答案为

③④.

37.（2021秋•北京•高一北京市十一学校校考期中）下列命题正确的有.12

②已知％,yeR,若|%+y|=|%|+|y|，则％yN

0.

③用反证法证明“已知％,y WR,且％2+y2=0,求证、=y=

0.对寸，应假设“％且y w0”；

④命题“若%则％=的逆否命题是“若工则%一2-3%+2=0,1”1,23%+20”.【答案】

①②④【分析】根据指数基的运算即可判断

①是否正确；对|%+两边平方化简整理，即可判断

②是否正确；根据y|=|%|+|y|命题的否定写法即可判断

③是否正确；根据逆否命题的概念即可判断

④是否正确.2【详解】对于

①，=—=当=根一§，故

①正确；3/L=,1而？标益小）成J-对于

②，若l%+y|=|%|+|y|，两边平方，可得肛=|%y|,所以町之o；故

②正确；对于

③，用反证法证明“已知,y eR,且%2+y2=0,求证％=y=

0.时，应假设0或y H0；故

③错误；对于

④，命题“若%则％=的逆否命题是“若％H则％一故@正确.2-3%+2=0,1”1,23%+20”.故答案为

①②④.

四、解答题

38.（2022秋•江苏苏州•高一校考阶段练习）已知命题p关于％的方程/+4%+6=0（租0）有两个不相等的实数根.⑴若是真命题，求实数机的取值集合P4

（2）在

（1）的条件下，集合8={n|2a-1m VQ+1},若=求实数a的取值范围.【答案】

（1）/={沏0血V4}⑵{a a1]【分析】

（1）依题意解得即可；（）依题意可得分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围；2B4B=BH0【详解】

（1）解若p是真命题，则，=1舄；驾°,解得0血4,则A={m|0m4}；（）解因为=所以2当时，由-解得之此时符合题意;B=212@+1,2,84（2a—1a+1当时，则有2a-l=0，解得上2,（a+1=4综上所述，的取值范围为a

39.（2022秋•全国•高一专题练习）给定两个命题，p对于任意实数%都有/+X+1（）恒成立；q关于X的方程/一%+有实数根；a=0

（1）若夕为真命题，求实数a的取值范围；

（2）如果p与^中至少有一个为真命题，求实数的取值范围；

（3）如果p与^中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围.【答案】

（1）[0,4）;

（2）（-00,4）；

（3）（-8,0）Q,4）【分析】

（1）根据为真，对a进行分类讨论，即可求出的取值范围；

（2）先根据q为真命题，求出的范围，再根据p与^都是假命题，求出Q的取值范围，再求出补集即可；（）若与中有且仅有一个为真命题，则一真一假，即可求出的取值范围.3p9p,q a【详解】解

（1）若p为真命题，即对于任意实数支都有%2+％+10恒成立，当=时，满足题意，当时,解得0aHO0VaV4,综上所述）a[0,4;

（2）若q为真命题，即关于％的方程好一%+=0有实数根,则4=1-4a0,解得ap4若与都是假命题，p9（a0a=4则｛解得a4,若与中至少有一个为真命题，p q则aE（―8,4）；

（3）若p与q中有且仅有一个为真命题,（fO=%4a0a=4叫叫al a-i,I a4I a4解得VaV4或QVO,4综上所述a—8,

04.

40.2021・江苏•高一专题练习设命题p对任意%[0,1],不等式2%-3=瓶2一4TH恒成立，命题q存在%[-1,1],使得不等式炉—成立.2x+m-l0若为真命题，求实数机的取值范围；1p若为假命题，为真命题，求实数血的取值范围.2p Aq pvq【答案】1lm3；2znVl或2VmW

3.【分析】为真命题时，任意％不等式血恒成立可转化为血求解即可根1p[0,1],2%-3=2-4m2%-3min=2-4m,2据且、或命题的真假，确定—真一假，结合再化简命题见即可求出的取值范围.p,q1,m【详解】对于P2%-3min=僧2-4血成立，而％[0,1],有2%-3min=-3,—3=m2—4m,A1m

3.q存在%使得不等式％2-2x+m-140成立，只需/-2%+m-lmE=0，而/—；2%+TH—l=-2+m,—2+m0,/.m2min若为真，则1p14TH W3;若为假命题，为真命题，则一真一假.2pAq pVqp,q若q为假命题，p为真命题，则[1=73,所以2V/n43；若为假命题，为真命题，则网成加所以p q13,mvl.综上，或血工7H

123.【答案】D【分析】根据命题的定义即可求解.【详解】命题是能判断真假的陈述句，由于

⑤⑥不是陈述句，故不是命题，

②④无法判断真假，故不是命题，

①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，故选D题型二命题的否命题、逆命题，逆否命题及其真假（秋•高一单元测试）下列命题为真命题的是（）

4.2022命题“若％〉则%的逆命题A.y,|y|命题“若则的否命题B.x1,F命题“若％则％的否命题C.=1,2+3%—4=0”命题“若第贝「的逆否命题D.21,IJ%【答案】A【分析】根据四种命题的关系写出相应命题再判断真假.也可利用逆否命题同真假的性质判断.【详解】命题“若y,则%|训”的逆命题是若%|y|,则%,y,由于加=[2:0n，因此为真命题；（一yy u命题“若%1,则％2「的否命题是若％41,则％241,这是假命题，如％=一2时，X2=41;命题“若％=1,则/+3%-4=0”的否命题是若％1,则/+3%-40,是假命题，如％=-4时，%2+3%—4=0,命题“若X2之1,则％1，，本身是假命题，如x=—2时，％2之1,但％VI,其逆否命题也是假命题.故选A.

5.（2021•高一课时练习）在下列命题中，真命题是（）人.％=时，”的否命题2%2-3%+2=0“若％=则％的逆命题；B.1,2=1»若％则％C.eR,2+30“相似三角形的对应角相等”的逆否命题D.【答案】D【分析】、写出其否命题，然后再举反例作判断；A、写出其逆命题，即可判断；BC、%2+30恒成立，进行判断；、根据原命题与逆否命题之间的关系进行判断.D【详解】A.“％=2时,x2-3x+2=0”的否命题为“二2时,丁一3%+2H0”,因为当x=l时％2-3x+2=0,AA错误；B.“若％=1,则%2=1”的逆命题:“若%2=1,则X=1-V%2=1可解得X=±B故B错误；C.若％G R,则/+

30.V%2+30恒成立，故C错误；D.・・・根据相似三角形的性质,其对应角相等，是真命题，再由于原命题和其逆否命题的关系可知“相似三角形的对应角相等”的逆否命题也是真命题，故正确.D故选:D.

6.（2020•全国•高一期末）原命题“设Q、b、cUR,若则这2儿2，，，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A.0个B・1个C.2个D.4个【答案】C【分析】分别判断原命题和逆命题的真假，再根据命题的等价性判断否命题和逆否命题的真假.【详解】由条件可知，当c=0时，ac2=bc2故原命题不正确，根据命题的等价性可知，逆否命题也不正确，逆命题9是”设、、《若儿则垃，由儿可知根据不等式的性质可知故逆命题正确，那么b cR,B22,Q22,20,ab,否命题也正确.故选C题型三原命题和逆否命题的等价性

7.（2021・江苏•高一专题练习）有下列四个命题

①“若则互为倒数”的逆命题；xy=l xy9f

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若ml,则％2・2%+血=0有实数解”的逆否命题；

④“若则夕的逆否命题.AfyB=B,A其中真命题为（）A.

①②B.

②③C.

④D.

①②③【答案】D【分析】写出命题

①的逆命题，再判断真假；写出命题

②的否命题，再判断真假；判断出命题

③是真命题，得到

③的逆否命题也是真命题；判断出命题

④是假命题，得到

④的逆否命题也是假命题.【详解】

①的逆命题为“若歹互为倒数，则秒显然是真命题；x,=1”,

②的否命题为“面积不相等的三角形不是全等三角形，为是真命题；命题

③当ml时，△=4・4mN0,则％2-2%+m=0有实数解，故

③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；命题

④若八则故

④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题.48=8,84故选D.

8.（2019秋・上海青浦•高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）下列命题中为真命题的是.“若％则％的否命题“若黑,则%『的逆命题.A.=1,2+%—2=0”B.y,|y“若%则％的否命题“若团则％的逆否命题C.1,21”D.1,1”【答案】B【分析】选项由其逆命题为假，可知否命题为假；A选项写出原命题的逆命题，分类讨论后可判断真假；8选项写出原命题的否命题，可通过反例得到否命题为假；C选项通过判断原命题为假，可知其逆否命题为假.O【详解】中，“若％则一”的逆命题为“若/+一则％4=1,/+X2=02=0,=1”当%2+%一2=0时，%=-2或％=1,可知逆命题为假・・・逆命题与否命题互为逆否命题，同真假.•・原命题的否命题为假，4错误；中，原命题的逆命题为“若%则工,8|y|,y”当yNO时，lyl=y，则%,y,命题成立；当时，又%命题成立yVO|y|0,|y|-*•%0%0y,・•・原命题的逆命题为真，B正确；中，原命题的否命题为“若工工则/《C1,1”当％=—2时，%2=

41.,•原命题的否命题为假，C错误；中，若|%|则％或％可知原命题为假1,11,・・・原命题与其逆否命题同真假・・・原命题的逆否命题为假，错误.故选B【点睛】本题考查四种命题之间的关系及真假性的判断，需明确原命题与其逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假，从而在判断真假性时灵活转化.

9.（2022秋・上海虹口•高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）若“不积踵步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（）积度步一定可以至千里不积陛步也可能至千里A.B.要想至千里一定要积度步不想至千里就不用积珪步C.D.【答案】C【分析】根据命题与逆否命题的真假关系，即可判断.【详解】命题“不积踏步，无以至千里”则其逆否命题为“至千里，积理步”可知为正确选项.C故选:C【点睛】本题考查了命题与逆否命题的真假关系应用，对抽象问题的分析与理解能力,属于基础题.题型四已知命题的真假求参数•江苏•高一假期作业若命题“方程江+云+有实数解”为真命题，则，满足的条件是.

10.20231=0b【答案】a=0/0或aHO,b2—4a0【分析】分=和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可.0a0【详解】

①当=时，方程为只有当时，方程才有实数解％=-0a%2+b%+1=0b%+1=0,bwo3

②当时，方程%为一元二次方程，方程有实数解的条件为a02++1=0A=b2—4z

0.综上可得当a=060或a H0,b2-4a0,方程a/+人工+1=0有实数解.故答案为=0力0或口0,b2-4a

011.2021秋・福建泉州,高一校考阶段练习若飞％e/,m-x2+2x-3”是真命题,则实数m的取值范围是；【答案】［一2,+8【分析】由题意将不等式恒成立问题转化为最值问题，求出的最大值，从而得到实数小的取值范围.t=-/+2x-3【详解】由题意是真命题，则炉+恒成立，？血一/+“VxER,m-+2%-3”m-2%-32%-3max设t=-x2+2x—3=—%—l2—2=—2,t=-x2+2x-3的最大值为-2,・,.m—

2.・・.实数m的取值范围是［-2,+

8.故答案为［—2,+

812.2022・江苏•高一专题练习若“方程%2一3%+2=0有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是.【答案】且

0.【分析】首先保证二次项系数不为零，再根据判别式求解.【详解】解析由题意知［=

一、380,I a0解得V，且a aW

0.8故答案为且CL qQ W

0.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围问题，比较简单，只要列出满足原命题为真的条件式求解即可.题型五与命题有关的综合性问题•江苏•高一假期作业把下列命题改写成“若小则的形式，并判断命题的真假.

13.2023奇数不能被整除；122当a—I2+b—l2=0时，a=b=l；两个相似三角形是全等三角形.3【答案】若一个数是奇数，则它不能被整除，是真命题.12（）若（）（）则是真命题2a-12+b-12=0,a=b=l,（）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题.3【分析】先写出“若则的形式，再利用相关定义性质或计算，判断真假.p,【详解】

（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，根据奇数的定义可知，奇数不能被整除，为真命题；2（）若（尸+（）则2a-1b—12=0,a=b=i,要想满足

（一）则解得是真命题；a—1A+312=0,a=b=l,

（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题.

14.（2022秋•新疆喀什・高一新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考阶段练习）已知p:-2VQ2,q关于％的方程%2一%+Q=有实数根.0（）若为真命题，求实数的取值范围；1q a

（2）若夕为真命题，夕为假命题，求实数Q的取值范围.【答案】

（1）（一8；］；

（2）（^2）【分析】

（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案；

（2）根据p真q假，可列出关于a的不等式，进而可求出答案.【详解】（）•关于的方程%有实数根，即1x2—%+a=0=1-4a0,a44•・•若为真命题，实数Q的取值范围为（一8；］.

（2）•••0为真命题，q为假命题，—2V a21・•・{a-9解得;Va

2.41・・・a（Q）.

15.（2021•高一课时练习）设命题p:实数%满足％2-4a%+3a2V0,其中@（）；命题q实数%满足|2%+7|V

5.

（1）当二一时，若为真，求实数％的取值范围；1p/\q

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】

（1）（―3,-1）；

（2）—2a—

1.【分析】

（1）分别求出命题p和q为真对应的范围，取交集即求；

（2）将p是q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件，利用端点值列出不等式即得.【详解】

（1）当=-1时，p真，则干+4%+30,解得一3x-1；真，则一解得一〈工〈一q52%+75,

61.••・p/\q为真，则p真且q真，故工范围为（—3,—1）.

（2）p是q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即是的充分不必要条件p q（a=-1〈p真，有3a V%V a,・\{3Q=-6,故一2工工一

1.经检验等号不同时成立（a V0【双基达标】

一、单选题

16.（2023•全国•高一专题练习）以下语句

①{0}GN；

②%2+y2=o；

③/%；@{%|%2+1=0},其中命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】根据命题的定义进行判断.【详解】

①是命题，且是假命题；

②、

③不能判断真假，不是命题；

④不是陈述句，不是命题.故选B（秋•高一课前预习）下列命题是真命题的是（）

17.2023若盯则歹互为倒数A.=1,x,平面内，四条边相等的四边形是正方形B.平行四边形是梯形C.D.若ac3be3,贝!j ab【答案】A【分析】逐一考查所给命题的真假即可.【详解】对于由倒数定义知若中则互为倒数，真命题；A,=1,x,y对于平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，假命题；B,对于平行四边形两组对边互相平行，梯形只有一组对边互相平行，故平行四边形不是梯形，假命题；C,对于当时，有假命题.D,c3Vo aVb,故选A（秋•高一课时练习）在下列语句中，命题的个数是（）

18.2021

①空集是任何集合的子集；

②若XWR,则/

一、+1=0；

③若ab,则加2〉灰

2.A.1B.2C.3D.0【答案】C【分析】根据命题的定义直接判断即可.【详解】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项

①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题.故选C.

19.（2023・全国•高一专题练习）设QCR,关于％y的方程组a.对于命题

①存在使得该方程组有无yUX Iy-Cl4

①和

②均为真命题

①和

②均为假命题A.B.数组解；

②对任意该方程组均有一组解，下列判断正确的是Q,

①为真命题，

②为假命题

①为假命题，

②为真命题C.D.【答案】D【分析】通过解方程组的知识求得正确答案.【详解】由％-ay=l得％=ay+l,则+1+y=Q,a2+ly=0,所以y=0,wfX=1,解得％=1,所以关于的方程组::有唯一解［所以

①为假命题，

②为真命题.故选D

20.2023・全国•高一专题练习下列命题中，是真命题的是A.如果a5,那么小房B.如果a b那么ac2be29C.如果CLb,cd,那么:-D.如果ab,cd,那么a—cb-d【答案】D【分析】选项举出反例即可判断，选项结合不等式的性质即可判断.ABC D【详解】选项若力=—满足但是次非，因此是假命题，故错误；A Q=01,ab,A选项若力=一满足但是因此是假命题，故错误；Ba=31,c=0,ab,ac=be,B选项若=一满足但是号V%因此是假命题，故错误;C a=3/1,c=2,d=-1,ab,cd,c3d c选项因为贝且因此因此是真命题，故正确，故选D eVd,ab,a-cb-d,D D.•江苏•高一假期作业将下列命题改写成“若则必的形式，并判断命题的真假.是和的公约数；

21.2023p,1612182当Q1时，方程ax2+2%-1=0有两个不等实根；⑶平行四边形的对角线互相平分；已知％为非零自然数，当时、4y y-%=2y=4,x=

2.【答案】若一个数是则它是和的公约数，是真命题.16,1218若则方程%=有两个不等实根，是假命题.22+2%-1若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题.3已知％,为非零自然数，若则是假命题.4y y-x=2,y=4,x=2,【分析】根据“若P，则q”的形式，即可求解，从而可判断真假.【详解】若一个数是则它是和的公约数.16,1218因为所以是和的公约数，12=6x2,18=6x3,61218所以，若一个数是则它是和的公约数是真命题.6,1218若一则方程有两个不等实根,21,Qd+2%—1=0当=时，方程为方程%只有个实根，02%-1=0,%=32+2%-1=01所以，若@一则方程有两个不等实根是假命题.1,+2%—1=0若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分.3根据平行四边形的性质可知，若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题.已知无为非零自然数，若则4y y-%=2,y=4,%=2,当时，满足y=5,x=3y-x=2,所以，已知为非零自然数，若则是假命题.y-%=2,y=4,%=

222.2023秋•江苏扬州•高一期末在

①船64XEB,

②8九四=8这两句话中任选一个，补充到本题中第2问横线处，求解下列问题.设全集是实数集R,4={x|x-1%-3=0},B=x\x-a0],1当=2时，求力UB、AHB；2已知命题p且p为真命题，求实数的取值范围.注如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分.【答案】14U B={x\x1],A CiB={x|2%3]2若选

①a V3；若选

②Q33【分析】基本的集合的交集，并集运算；12若选

①，即则a3；若选

②，即8/，^={%1%3],则a

23.【详解】1A={x|x—lx—30}={x|lx3},B={x\xa].当时，a=2B—x\x2}则A UB={x\x1],A nB={x\2x3].若选

①，即贝!24Cl8H0,J QV3,若选

②,则BTIQRA=B,则BQRA,A=[X1X3,R则aN

3.【高分突破】

一、单选题•全国•高一专题练习下列命题

23.2023

①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形；

②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形；

③方程/一的判别式大于3%-4=00;。