高中数学教学课件：空间向量的数量及运算

空间向量数量及运算本课件旨在深入探讨空间向量这一重要概念，并讲解其数量和运算的基本方法by空间向量的定义定义表示空间向量是指具有大小和方向的量，它可以表示空间中的空间向量通常用字母加箭头表示，例如向量也可以用两a一个方向和距离空间向量可以表示为一个有向线段，其个点表示，例如向量，表示从点指向点的向量AB AB起点称为始点，终点称为终点空间向量的坐标表示在空间直角坐标系中，任一向量都可以用它在三个坐标轴上的投影长度表示设向量在轴、轴、轴上的投影长度分别为、、a x y za1a2，则向量的坐标表示为a3a a=a1,a2,a3空间向量的模长定义空间向量的模长，表示**a**为，是向量的起点|**a**|**a**到终点的距离计算公式若，则**a**=x,y,z|**a**|=√x²+y²+z²几何意义向量的模长表示向量**a**的长度**a**空间向量的加法定义1两个空间向量和的和为一个新的空间向量，记作a bcc=a+b几何意义2以为始边，为邻边，则为这两条边所构成的平行a bc四边形的对角线坐标表示3设，则a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2c=a+b=x1+x2,y1+y2,z1+z2空间向量的减法定义1向量表示从向量的终点指向向量的终点的向量a-b ba坐标表示2a-b=x1-x2,y1-y2,z1-z

2.几何意义3空间向量减法相当于将两个向量首尾相接，并指向第一个向量的终点空间向量的数乘定义几何意义坐标表示给定一个实数k和一个空间向量a，则ka当k为正数时，ka与a同方向，且模长为若a=x,y,z，则ka=kx,ky,kz称为向量a的k倍，其方向与a相同或相a的k倍；当k为负数时，ka与a反方向反，模长为|k|*|a|，且模长为a的-k倍；当k为零时，ka为零向量空间向量的线性运算性质加法交换律加法结合律零向量负向量a+b=b+a a+b+c=a+b+c a+0=a a+-a=0空间向量的内积12定义性质34计算应用内积的性质正交性平行性投影两个向量内积为零，则这两个向量互两个向量平行，则它们内积等于两个一个向量在另一个向量上的投影长度相垂直向量模长的乘积等于这两个向量的内积除以第二个向量的模长空间向量的外积定义公式对于两个空间向量和，它们的向量积或外积是一个新设和，则a ba=a1,a2,a3b=b1,b2,b3a×b=a2b3-a3b2,a3b1的向量，它与和都垂直，并且满足右手定则c a b-a1b3,a1b2-a2b1外积的几何意义空间向量的外积是与两个向量都垂直的向量外积的大小等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积外积的方向由右手定则确定将右手拇指指向第一个向量，食指指向第二个向量，则中指所指的方向就是外积的方向外积的性质反交换律分配律12a x b=-b x a.a x b+c=a xb+a xc.结合律与数量积的关系34其中k a xb=k axb.axb=|a||b|sinθn,n是和所决定的平面的a b法向量，是和的夹角θa b.空间向量在平面上的投影定义空间向量在平面上的投影是指从空间向量的起点向平面作垂线，垂足与的a a a1终点连线所形成的向量计算2空间向量在平面上的投影向量可以通过与平面法向量进行内积运a a算求得应用3空间向量在平面上的投影应用广泛，例如在三维空间中计算物体在平面上的影子空间向量在直线上的投影定义1空间向量在直线上的投影向量是在上的垂足到的起点所在位置的向量a la la公式2，其中是的方向向量projla=a·uu ul长度3，其中是与的夹角|projla|=|a||cosθ|θa l向量间的夹角定义空间中两个非零向量和，将它们平移$\bold{a}$$\bold{b}$至具有公共起点，则这两向量所成的角称为这两个向量的夹角范围向量夹角的范围是，即度到度[0,$\pi$]0180夹角的余弦公式向量内积公式两个向量内积的模长等于这两个向量模长的积乘以它们设向量和的夹角为，则a bθa·b=|a||b|cosθ夹角的余弦夹角的计算公式法1利用夹角的余弦公式，计算出夹角的余弦值向量投影法2利用空间向量在直线上的投影，计算出夹角的余弦值向量的模长3利用向量模长的性质，计算出夹角的余弦值平面上向量的坐标表示在平面直角坐标系中，以原点为起点，以向量为终点的O a向量，称为向量的坐标表示向量的坐标表示为aaa=x,y，其中为向量在轴上的投影，为向量在轴上的投影xaxya y例如，向量的起点为，终点为，则向量的坐标a1,23,4a表示为a=3-1,4-2=2,2平面向量的线性运算加法减法数乘两个平面向量相加，结果仍为一个平两个平面向量相减，结果也为一个平一个实数乘以一个平面向量，结果仍面向量面向量为一个平面向量平面向量的内积和外积内积性质平面向量和的内积定义为内积满足交换律、分配律和a b，其中是和结合律，可用于计算向量模a·b=|a||b|cosθθa b的夹角长、向量夹角等外积几何意义平面向量和的外积定义为外积的模长等于以和为邻a ba b，其中是和边的平行四边形的面积a×b=|a||b|sinθθab的夹角平面向量的应用物理学几何学工程学123平面向量可以用来描述力、速平面向量可以用来研究几何图平面向量可以用来解决力学、度、加速度等物理量，以及它形的性质，例如求解三角形、运动学等工程问题，例如计算们之间的关系四边形等图形的面积、周长、力的合力、物体的速度和加速重心等度等直线的向量方程方向向量直线的方向向量是与直线方向相同的非零向量点向式设直线过点，方向向量为，则直线l Mx0,y0,z0a=a1,a2,a3的向量方程为，其中为参数l r=x0,y0,z0+ta1,a2,a3t参数方程将向量方程展开，得到直线的参数方程，l x=x0+t*a1y=，y0+t*a2z=z0+t*a3平面的向量方程定义推导平面向量方程是指描述空间中平面的方程平面向量方程可由平面上的法向量和一点推导出1234形式应用平面向量方程通常表示为n•r-r0=0，其中n是平面的法平面向量方程可用于求解平面上的点、直线与平面的关向量，r0是平面上一点的位置向量，r是平面上任意一点系，以及求解平面与平面的交线等的位置向量直线与平面的相交条件直线与平面共面方向向量平行当直线上的点同时在平面上时，直线与平面相交当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面相交直线与平面的距离12点到面线到面点到平面的距离线到平面的距离两平面的夹角定义计算两个平面的夹角是指两个平面法向量之间的夹角设平面的法向量为，平面的法向量为，则两平面的.A n1B n2夹角满足θcosθ=n1·n2/|n1||n2|两直线的夹角定义两条直线的夹角是指这两条直线上任意两点所确定的向量之间的夹角计算两条直线的夹角可以通过向量之间的夹角公式计算得到范围夹角的范围为至0°180°点到直线的距离123点到直线的距离公式应用从一点到直线上最近点的距离使用向量点积公式计算解决几何问题，例如求解两平行线之间的距离点到平面的距离点到平面的距离是点到平面上的垂线的长度总结与练习回顾要点练习巩固空间向量的数量和运算，包括模完成课本上的习题，并尝试用空长、加减法、数乘、内积、外积间向量解决一些实际问题等深入思考探索空间向量在物理学、工程学等领域的应用。