高等数学课件函数与极限习题

高等数学课件函数与极限习题本课件旨在帮助学生巩固对函数与极限的理解，并提供丰富的习题练习函数的基本概念定义域值域函数的表示方法函数的自变量可以取值的范围，也称为函数的因变量随着自变量变化所取得的解析式、图像、表格、文字描述等定义域，一般用字母表示全部值的集合，也称为值域，一般用字D母表示R函数的几何意义函数的几何意义是指函数与图形之间的对应关系函数可以用来描述图形的形状和位置，而图形则可以用来直观地表示函数的关系例如，一个线性函数可以表示一条直线，而一个二次函数可以表示一个抛物线函数的几何意义在许多领域都发挥着重要的作用，例如数学、物理、工程等函数的性质单调性奇偶性周期性函数值随自变量变化趋势函数图像关于原点或轴的对称性函数图像在一定区间内重复出现的规律y基本初等函数幂函数指数函数，其中为实数，其中且y=x^a ay=a^x a0a≠1对数函数三角函数，其中且y=log_a x a0a≠1y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx反函数定义性质如果函数的定义域和值域反函数的图像关于直线对fx y=x分别为和，且对于中的称反函数的定义域和值域分A BB每一个都存在唯一的属于别为的值域和定义域y xfx，使得，则称在A y=fx fx上有反函数，记为⁻A f¹x求解求反函数的关键在于解方程关于的方程，将表示为的y=fx x x y函数，即⁻x=f¹y复合函数定义1复合函数指的是由两个或多个函数组合形成的新函数.表达式2复合函数的表达式可以通过将一个函数的表达式代入另一个函数的表达式中得到.性质3复合函数的性质取决于组成函数的性质复合函数可以具.有连续性、可导性等性质.算术运算和特殊函数加减乘除幂函数12函数可以进行加减乘除运算幂函数是指形如的函y=x^n，得到新的函数数，其中为实数n指数函数对数函数34指数函数是指形如的对数函数是指形如y=a^x函数，其中为大于且不等的函数，其中为a0y=log_ax a于的实数大于且不等于的实数101函数的极限函数极限的定义极限的符号当自变量趋近于某个值时，函用符号表示极限，例如，“lim”数值无限接近于某个特定值，表示当趋近于limx→a fx xa这个特定值就是函数的极限时，函数的极限fx极限存在的条件函数极限存在需要满足左右极限相等，即当自变量从左侧和右侧趋近于时，函数值都无限接近于同一个值a函数极限的基本性质唯一性加减法性质乘法性质除法性质如果一个函数的极限存在，如果两个函数的极限都存在如果两个函数的极限都存在如果两个函数的极限都存在那么这个极限是唯一的，那么它们的和差的极限等，那么它们的积的极限等于，且分母的极限不为零，那于它们的极限的和差它们的极限的积么它们的商的极限等于它们的极限的商著名极限公式公式公式12limx→0sinx/x=1limx→01+x^1/x=e公式公式34limx→∞1+1/x^x=e limx→01-x^1/x=1/e计算函数的极限直接代入1如果函数在点处连续，则函数极限等于函数在点处的函数值x x化简式子2利用极限性质，如加法、乘法等，化简式子，使之可以代入计算利用极限公式3利用一些常见的极限公式，如著名极限公式，计算函数的极限洛必达法则4当函数极限为或型时，可以利用洛必达法则计算极限0/0∞/∞无穷小和无穷大无穷小无穷大12当自变量趋于某一极限值时当自变量趋于某一极限值时，函数的值无限接近于零，，函数的值无限增大，则称则称该函数为无穷小该函数为无穷大..性质3无穷小与无穷大之间有着密切的关系，例如，如果一个函数为无穷小，那么它的倒数就是无穷大.比较无穷小定义比较应用如果两个无穷小量和的比值当如果两个无穷小量和的比值当比较无穷小可以帮助我们理解函数在极αxβxxαxβxx趋于时，其极限存在且不为零，则称趋于时，其极限为，则称是比限情况下的行为，并简化极限计算x0x00αx与是同阶无穷小高阶无穷小，或称是比低αxβxβxβxαx阶无穷小经典极限问题无穷小量的阶的比较含参数的函数极限利用洛必达法则求极限函数的连续性一个函数在其定义域内所有点都连连续函数的图像在该点处没有断裂续称该函数为连续函数或跳跃能够在该点处被连续地画,.,“”出.函数在某个点的连续性可以通过极限来定义当自变量趋近于该点时:,函数的值也趋近于该点的函数值.连续函数的性质介值定理最大值最小值定理如果函数在闭区间上连如果函数在闭区间上连fx[a,b]fx[a,b]续，且，则对于与续，则在上一定存在最fa≠fb fafx[a,b]之间的任意实数，存在一大值和最小值fb y点∈，使得ξa,b fξ=y一致连续性如果函数在闭区间上连续，则在上一致连续fx[a,b]fx[a,b]连续函数的运算加减法两个连续函数的和、差仍是连续函数乘法两个连续函数的积仍是连续函数除法两个连续函数的商在分母不为零的点上仍是连续函数复合函数如果函数f在点x连续，函数g在点fx连续，那么复合函数gfx在点x连续一致连续函数图像连续函数变化一致函数图像连续意味着没有跳跃或间断点函数在整个定义域内的变化速率一致，不会出现局部波动剧烈的情况分段函数的连续性定义判断分段函数是指由不同函数在不同区间上定义的函数分段函数判断分段函数在连接点处的连续性，需要检查该点处左右极限的连续性取决于各段函数在连接点处的连续性是否相等，并且等于函数值利用极限研究函数性质单调性1利用极限判断函数的单调性奇偶性2利用极限判断函数的奇偶性有界性3利用极限判断函数的有界性函数的间断点定义分类重要性如果函数在某一点的极限不存在或间断点可分为三种类型可去间断理解函数的间断点对于分析函数的:不等于函数值，那么该点称为函数点、跳跃间断点和无穷间断点行为、求解方程和计算积分至关重的间断点要间断点的分类可去间断点极限存在但与函数值跳跃间断点左右极限都存在，但::不相等左右极限不相等无穷间断点左右极限至少有一个:是无穷大函数极限的应用物理学经济学函数极限可以用来描述物体在特定条件下的速度、加速度和位函数极限可以用来分析经济现象的趋势和变化规律例如，当移等物理量例如，当时间趋近于零时，物体的速度可以表示生产成本趋近于零时，公司的利润可以表示为其收入的极限为其位移的极限勒格朗定理及其应用定理内容几何意义如果函数在闭区间在曲线上取两点fx[a,b]y=fx Aa,上连续，在开区间上可和，则存在一点a,b faBb,fb导，则至少存在一点∈，使得曲线在点处ξa,b Cξ,fξC，使得的切线平行于直线fb-fa=fξb-a.AB.应用场景用于证明函数的单调性、求函数的极值、证明不等式、计算函数的积分等中值定理及其应用中值定理介绍应用范围12中值定理是微积分学中一个中值定理在数学分析、物理重要的定理，它揭示了函数学、工程学等领域都有广泛在闭区间上的性质与导数在应用，例如证明函数的单调该区间上的关系性、求函数的最大值和最小值关键概念3理解中值定理的关键在于理解函数的连续性和可导性罗尔定理条件结论几何意义连续函数，在闭区间上可导，端点值相存在一点，导数为函数曲线在区间内至少有一条水平切线0等拉格朗日定理定理描述几何意义应用123如果函数在闭区间上连拉格朗日定理描述了曲线上的某拉格朗日定理可以用来证明一些fx[a,b]续，在开区间上可导，则一点切线的斜率等于割线的斜率函数性质，例如单调性、极值a,b在上至少存在一点，使得、凹凸性等a,bξfb-fa=fξb-a洛必达法则求极限1适用于求解或型极限0/0∞/∞导数2利用函数的导数来简化计算条件3满足一定条件才能使用习题练习总结巩固知识发现问题提高能力通过练习习题，可以加深对函数与极限练习过程中遇到的问题，可以帮助你发持续的练习可以提升你对函数与极限问概念的理解，并掌握解题技巧现学习中的不足，并及时进行弥补题的分析和解决能力，为后续学习打下坚实基础答疑解惑欢迎大家提出问题，我会尽力解答，帮助大家更深入地理解函数与极限的概念和应用。