高等数学课件同济版微积分基本公式

高等数学课件同济版微积分-基本公式函数的概念定义域值域12函数的定义域是所有允许输入函数的值域是所有可能的输出的自变量的值的集合值的集合对应关系3函数将定义域中的每个自变量值唯一地映射到值域中的一个输出值函数的性质单调性奇偶性函数在某个区间内，如果自变量如果函数满足，则f-x=fx的值增大，函数的值也随之增大称该函数为偶函数；如果函数满，则称该函数在该区间内单调递足，则称该函数为f-x=-fx增；反之，如果自变量的值增大奇函数，函数的值随之减小，则称该函数在该区间内单调递减周期性如果存在一个非零常数，使得对定义域内的任意，都有T x fx+T=，则称该函数为周期函数，称为该函数的周期fx T基本初等函数指数函数对数函数三角函数形如其中且，定形如，其中且包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切y=a^x,a0a≠1y=log_a xa0a≠1义域为，值域为，定义域为，值域为函数、正割函数、余割函数R0,+∞0,+∞R反函数定义性质设函数的定义域为，值域为如果对任意∈，在反函数的定义域为的值域，值域为的定义域反函数fx DE yE Dfx fx中存在唯一的使得，则称在上是单射的对的图像关于直线对称反函数的导数为原函数导数的倒数x fx=y fxD y=x于一个单射函数，我们可以定义一个新的函数，使得，即fx gyf-1x=1/ff-1x，称为的反函数，记为gfx=x gyfx f-1x复合函数复合函数是由多个函数组合而成的函求复合函数的导数需要使用链式法则数，例如，其中为内层函，即外层函数对内层函数求导，再乘fgx gx数，为外层函数以内层函数的导数fx例如，求的导数，可以y=sinx^2先求对求导，即sinx^2x^2，再乘以的导数，即cosx^2x^22x，最终得到y=2xcosx^2极限的概念定义当一个函数的输入值无限接近某个值时，函数的输出值无限接近某个特定值，这个特定值就是函数在这个点的极限符号函数在趋近于时的极限记为fx xa limx-afx重要性极限的概念是微积分的基础，它为导数、积分等概念奠定了理论基础极限的性质常数性质极限唯一性常数的极限等于它本身如果函数的极限存在，则该极限是唯一的加法和减法乘法和除法两个函数的极限的和（或差）等于它两个函数的极限的乘积（或商）等于们各自极限的和（或差）它们各自极限的乘积（或商）导数的概念定义1函数在某一点的导数定义为函数在该点处的变化率，即函数值的变化量与自变量的变化量的比值用公式表示为fx=limh-0[fx+h-fx]/h几何意义2导数代表了函数曲线在该点处的切线的斜率，反映了函数在该点处的变化趋势应用3导数在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如求函数的极值、计算物体运动的速度和加速度等导数的几何意义导数在几何上代表函数曲线在某一点的切线的斜率具体来说，对于函数在点处的导数等于曲线y=fx x=a fay=fx在点处的切线的斜率a,fa导数的性质常数函数幂函数和差法则积法则常数函数的导数为零幂函数的导数等于指数减一的两个函数和或差的导数等于每两个函数积的导数等于第一个幂乘以系数个函数导数的和或差函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数高阶导数二阶导数高阶导数函数的一阶导数的导数称为二阶函数的二阶导数的导数称为三阶导数，它反映了函数变化率的快导数，以此类推，称为函数的高慢程度阶导数物理意义应用二阶导数在物理学中用于描述加高阶导数在数学分析、物理学、速度，三阶导数用于描述加速度工程学等领域都有广泛的应用的变化率微分的概念定义1函数在一点处的微分是函数增量线性主部的部分.公式2dy=fxdx.意义3微分近似地刻画了函数在一点附近的局部变化.微分是函数在一点处增量的线性近似，它反映了函数在该点附近的局部变化趋势微分公式为，其中为函数的微分，dy=fxdx dy为函数的导数，为自变量的增量微分的应用广泛，例如，在物理学中，它可以用来描述位移、速度和加速度之间的关系在经fx dx济学中，它可以用来描述利润、成本和收入之间的关系微分的性质线性近似可加性齐次性微分可以用来近似地表示一个函数在某个点两个函数之和的微分等于它们各自微分的和一个函数的微分乘以一个常数，等于该函数附近的变化的微分乘以该常数不定积分基本概念求解方法12不定积分是指求导数为已知函不定积分的求解方法通常使用数的函数，也称为原函数它积分公式和积分技巧表示一个函数的反导数“”应用场景3不定积分在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，例如计算面积、体积、力学等定积分积分上限积分下限12积分上限是定积分积分区域的积分下限是定积分积分区域的上限下限被积函数3被积函数是在积分符号下需要进行积分的函数牛顿莱布尼茨公式-定积分1用积分符号表示原函数2连续函数求导3求导数微积分基本定理牛顿莱布尼茨公式-1连接导数与积分之间的桥梁，它表明定积分的值等于原函数在积分区间的端点处的函数值之差微积分基本定理的意义2它揭示了微分与积分之间的相互联系，为解决许多数学问题提供了重要工具应用3应用于求解定积分，求解微分方程，以及解决许多工程和物理学问题广义积分无穷积分瑕积分积分区间包含无穷大或负无穷大积分区间内存在奇点，即被积函数在该点无定义或不连续计算方法利用极限、变量代换等方法计算广义积分函数的连续性定义分类若函数在点的某个邻域内有定义，并且第一类间断点左右极限存在，但不相等fx x0第二类间断点左右极限至少有一个不存在limx-x0fx=fx0则称函数在点处连续fx x0函数的连续性判定定义法性质法根据函数连续性的定义进行判定利用函数连续性的性质进行判定，即判断函数在点处左右极，例如基本初等函数的连续性、x0限是否存在且相等，并等于函数连续函数的和、差、积、商的连值续性等间断点法判断函数在点处是否存在间断点，若不存在间断点则函数在该点连续x0函数的可导性连续性导数存在可导函数必连续，但连续函数不一定可导函数在一点可导意味着该点存在导数，即函数在该点处的切线斜率存在罗尔定理前提条件结论12函数在闭区间上连续，在开区如果函数在闭区间端点的函数间上可导值相等，则在开区间内至少存在一点，使得函数的导数为零应用3证明函数的单调性、求解函数的极值、寻找函数的零点泰勒公式公式用途将函数展开成多项式形式，方便fx=fa+fax-a+研究函数的性质fax-a^2/2!+...+f^nax-a^n/n!+Rx应用近似计算函数值、求解方程、证明不等式最值问题寻找函数在给定区间上的最大值和最小值应用导数的概念，通过求导和分析函数的单在实际应用中，最值问题广泛存在于经济学调性、极值点和边界值来确定最值、物理学、工程学等领域，用于优化资源分配、确定最佳设计等曲线的性质凹凸性拐点渐近线判断曲线凹凸性，需要计算二阶导数并判拐点是指曲线凹凸性发生变化的点，即二渐近线是指当自变量趋于无穷大时，曲线断其符号阶导数等于零或不存在的点无限接近的一条直线曲面的性质曲率法线主曲率描述曲面弯曲程度的量，反映了曲面在某一在曲面上某一点处的法线是垂直于该点切平在曲面上某一点处，法截曲线的最大曲率和点处的弯曲程度面的直线最小曲率分别称为主曲率多元函数的概念定义图形应用多个自变量的函数，其输出值取决于所有自函数的图形需要在多维空间中表示，通常用广泛应用于物理、工程、经济等领域，用于变量的值三维坐标系或等高线图来展示描述多因素之间的相互关系偏导数定义符号偏导数是多元函数对其中一个变偏导数符号用表示，例如∂量的导数，其他变量视为常数表示函数对的偏导数∂f/∂xfx意义偏导数反映了多元函数在某一点沿着某个方向的变化率重积分重积分可以用来计算曲面面积、体积重积分的定义是通过将积分区域划分、质量、重心等物理量成小块，并对每个小块上的函数值进行求和，然后取极限重积分的计算方法包括累次积分法和二重积分法曲线积分定义分类应用曲线积分是用来计算曲线在某个向量场中曲线积分可以分为两类第一类曲线积分曲线积分在物理、工程等领域有着广泛的的积分值，它可以用来计算曲线长度、曲和第二类曲线积分应用，例如计算流体的流动、电场的强度.线面积、曲线上的功等、磁场的强度等..。