高等数学课件同济版泰勒公式

泰勒公式函数的导数导数的概念导数的几何意义导数的计算函数在某一点处的导数，表示函数在该点处导数是函数图像在该点处的切线的斜率可以通过求极限来计算函数的导数，也可以的变化率使用导数公式泰勒公式的定义定义1设fx在x=a的某个邻域内具有n阶导数，则称展开式2为fx在x=a处的泰勒公式余项3Rnx称为泰勒公式的余项泰勒展开式公式1将函数展开成无穷级数形式意义2用多项式逼近函数应用3计算积分、求解微分方程泰勒公式的几何意义泰勒公式可以用多项式来近似地表示一个函数从几何意义上来说，泰勒公式就是用一个多项式来逼近一个函数在某一点的局部行为，这个多项式的阶数越高，对函数的逼近就越精确泰勒公式的几何意义可以用图形来直观地表示，例如，在某一点处，泰勒公式的二阶展开式对应着函数在该点的切线，而泰勒公式的更高阶展开式则对应着函数在该点的更高阶的曲线泰勒公式的性质泰勒公式在满足一定条件下是唯一的泰勒公式可以用来逼近函数泰勒公式的收敛性取决于函数的导数泰勒公式的应用函数逼近求解微分方程12泰勒公式可以用多项式来近似泰勒公式可以用来近似地求解地表示一个函数，从而简化函一些微分方程的解，例如，可数的运算和分析以用来求解常微分方程的数值解函数的积分数值计算34泰勒公式可以用来近似地计算泰勒公式可以用来近似地计算函数的积分，从而得到函数的一些函数的值，例如，可以用数值积分来计算三角函数的值幂级数幂级数是无限项级数的一种特殊形式，其通项为xn的形式，其中n是自然数，x是一个变量幂级数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用定义收敛域12形如a0+a1x+a2x2+...+对于每个幂级数，都存在一个anxn+...的级数称为幂级数收敛域，在这个域内级数收敛性质3幂级数在收敛域内具有许多性质，例如可微性、可积性、可加性、可乘性等幂级数的概念定义举例形如∑n=0∞an x-x0n的无穷级数称为幂级数，其中an为例如，∑n=0∞xn=1+x+x2+...是一个以x0=0为中心的幂常数，称为幂级数的系数，x0为常数，称为幂级数的中心级数，其系数为an=1幂级数的收敛性12收敛半径收敛区间确定幂级数收敛的范围收敛半径确定的区间内，幂级数收敛3收敛域包含收敛区间和端点幂级数的性质收敛域连续性每个幂级数都有一个收敛域，在在收敛域内，幂级数表示的函数这个域内级数收敛，域外则发散是连续函数可微性可积性在收敛域内，幂级数可以逐项求在收敛域内，幂级数可以逐项积导，所得的级数仍是收敛的，且分，所得的级数仍是收敛的，且其和函数为原函数的导函数其和函数为原函数的积分指数函数的泰勒展开式公式性质应用ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+指数函数的泰勒展开式收敛于任何实数x可以用来近似计算指数函数的值，也可以xn/n!+oxn用来求解一些微分方程三角函数的泰勒展开式正弦函数1sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...余弦函数2cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...正切函数3tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+...对数函数的泰勒展开式ln1+x1x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...ln1-x2-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-...lnx3lna+x-a/a-x-a^2/2a^2+x-a^3/3a^3-...双曲函数的泰勒展开式双曲正弦sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...双曲余弦coshx=1+x2/2!+x4/4!+...双曲正切tanhx=x-x3/3+2x5/15-...双曲余切cothx=1/x+x/3-x3/45+...双曲正割sechx=1-x2/2+5x4/24-...双曲余割cschx=1/x-x/6+7x3/360-...示例用泰勒公式计算1:步骤一1确定函数和展开点步骤二2求出函数在展开点的各阶导数步骤三3将导数的值代入泰勒公式，得到展开式步骤四4根据需要，截取展开式的前几项作为近似值示例用泰勒公式计算2:计算e的近似值1利用泰勒公式计算e的近似值泰勒公式展开2将e的泰勒展开式展开到n阶误差估计3利用拉格朗日余项估计误差示例用泰勒公式计算3:计算sin

0.11使用泰勒公式展开sinx至三阶项展开结果2sin

0.1≈

0.1-

0.1^3/6计算近似值3sin

0.1≈

0.09983示例用泰勒公式计算4:泰勒展开式根据泰勒公式，我们可以将sinx展开成一个无穷级数求导对sinx进行求导，可以得到cos x，再继续求导，可以得到-sinx，再继续求导，可以得到-cosx，最后回到sinx，形成一个循环代入将x=0代入上述求导结果，可以得到sinx在x=0处的泰勒展开式，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...计算利用上述泰勒展开式，我们可以计算sinx在x=

0.1处的近似值，即sin

0.1=

0.1-

0.1^3/3!+

0.1^5/5!-

0.1^7/7!+...≈

0.099833示例用泰勒公式计算5:计算1使用泰勒公式计算函数在某点处的近似值，如计算sin

0.1的近似值误差估计2计算泰勒公式的余项，以评估近似值的精度分析结果3分析计算结果，并比较与实际值的误差泰勒公式的误差估计泰勒公式的误差估计拉格朗日余项公式误差的度量余项公式误差大小与阶数的关系阶数越高，误差越小误差与区间长度的关系区间长度越长，误差越大泰勒公式的应用举例近似计算求解方程函数逼近123泰勒公式可以用来近似计算函数值，泰勒公式可以用来近似求解某些类型泰勒公式可以用来用多项式函数逼近尤其当函数的精确值难以计算时的方程，例如超越方程一个给定的函数，从而简化计算或分析一维泰勒公式一元函数1一个变量的函数多项式2用泰勒公式展开近似3用多项式近似函数一维泰勒公式用于近似表示一元函数，将函数用多项式来表示，以方便计算和分析多元泰勒公式多元函数展开1将多元函数展开成多项式形式高阶偏导数2利用多元函数的高阶偏导数误差估计3估算展开式与原函数之间的误差多元泰勒公式将多元函数在某一点附近展开成一个多项式，该多项式由函数在该点的值和高阶偏导数决定它类似于一元泰勒公式，但需要考虑多个变量的偏导数，并引入多项式中的混合偏导数项多元泰勒公式在多元函数的逼近、优化、数值积分等领域具有广泛的应用多元函数的泰勒展开式二阶展开式fx+h,y+k=fx,y+∂f/∂x*h+∂f/∂y*k+1/2*∂²f/∂x²*h²+2*∂²f/∂x∂y*1h*k+∂²f/∂y²*k²+R₂x,y,h,k三阶展开式fx+h,y+k=fx,y+∂f/∂x*h+∂f/∂y*k+1/2!*∂²f/∂x²*h²+2*2∂²f/∂x∂y*h*k+∂²f/∂y²*k²+1/3!*∂³f/∂x³*h³+3*∂³f/∂x²∂y*h²*k+3*∂³f/∂x∂y²*h*k²+∂³f/∂y³*k³+R₃x,y,h,kn阶展开式3fx+h,y+k=fx,y+∑i=1to n1/i!*∑j=0to iiCj*∂f/∂x^i-j∂y^j*h^i-j*k^j+Rnx,y,h,kⁱ多元函数泰勒公式的应用优化问题近似计算误差分析可以用来寻找函数的极值点，例如求解非可以用来近似计算复杂函数的值，例如计可以用来分析函数近似的误差，例如估计线性规划问题算积分或求解微分方程数值计算的精度总结及思考题泰勒公式的应用泰勒公式的局限性泰勒公式在数学、物理、工程等泰勒公式的应用也有一些局限性领域都有广泛的应用，例如近似，例如当函数在展开点附近不光计算函数值、求解微分方程、分滑时，泰勒展开式可能不收敛或析函数的性质等收敛速度很慢思考题尝试用泰勒公式近似计算一些常见的函数，例如sinx、cosx、expx等分析泰勒展开式的收敛性及误差估计参考文献同济大学数学系.高等数学第七版.华东师范大学数学系.数学分析第四北京:高等教育出版社,

2014.版.北京:高等教育出版社,

2009.陈纪修,谢惠民,恽自强.高等数学第六版.北京:高等教育出版社,

2010.。