微积分函数的极值最值及其应用） 课件

微积分（函数的极值最值及其应用）精品课件课程目标深入理解函数的极值与最值概念掌握函数极值与最值的求解方法运用极值与最值解决实际应用问题函数的概念及其性质函数是数学中重要的基本概念之一，它描述了两个变量之间的一种对应关系简单来说，函数就是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则例如，y=x^2就是一个函数，它将实数域中的每一个数x映射到其平方x^2函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等这些性质描述了函数的具体特征，并可以用来分析和研究函数的性质初等函数的定义及特性基本函数初等函数的定义初等函数的特性基本函数包括常数函数、幂函数、指数由基本函数经过有限次四则运算和复合初等函数具有连续性、可导性、可积性函数、对数函数、三角函数和反三角函运算得到的函数称为初等函数等重要特性数基本初等函数的图像和性质了解基本初等函数的图像和性质对于理解和应用微积分至关重要这些函数的图像和性质为我们提供了对函数行为的直观理解，并为我们提供了分析和求解相关问题的基础例如，**指数函数**的图像通常呈现出**单调递增**的趋势，并具有**无界性**，这表明随着自变量的增大，函数值也会不断增大，且函数值可以无限大函数的操作与性质函数图像变换函数复合运算函数的反函数函数图像变换包括平移、伸缩、对称等操函数复合运算是指将一个函数的输出作为另函数的反函数是指与原函数互为逆运算的函作，通过改变函数的表达式，可以得到新的一个函数的输入，通过复合运算可以构造更数，反函数的存在条件是原函数必须是单调函数图像复杂的函数函数函数的极值问题极值极大值极小值函数在某一点取得最大值或最小值，称为函数在某一点取得的局部最大值，称为函函数在某一点取得的局部最小值，称为函函数的极值数的极大值数的极小值函数极值的概念及求法极值点极值12函数在其定义域内取得最大值函数在极值点取得的值称为极或最小值的点称为极值点值求法3利用导数求函数的极值函数最大值和最小值的求法求导法1求导并令导数为零，找到所有极值点闭区间法2求出函数在闭区间的端点和极值点处的函数值，最大值和最小值即为其中最大和最小的值单调性法3利用函数的单调性，确定函数的最大值和最小值相关应用问题函数的极值最值在实际生活中有着广泛的应用，例如

1.**优化问题**:在生产生活中，我们经常需要求解某些指标的最佳值，例如求解某工厂生产某种产品的最大利润或最小成本，求解某船舶航行的最短时间等这类问题都可以用函数的极值最值来解决

2.**物理问题**:函数的极值最值在物理学中也有着重要的应用，例如求解物体的最大高度或最小距离，求解某个物理量的最大值或最小值等

3.**经济问题**:在经济学中，函数的极值最值可以用来分析市场供求关系，预测价格变化趋势，制定最佳的生产或消费计划等相关应用问题求解应用问题时，需要根据实际情况建立函数模型，并利用函数的极值、最值、单调性等性质来解决问题例如，在工程设计中，需要确定最佳的尺寸、材料等参数，以达到最佳的效率、安全性、经济效益等指标这些问题都可以通过函数模型和微积分方法来解决函数的单调性递增递减单调区间当自变量增大时，函数值也随之增大，称当自变量增大时，函数值随之减小，称为函数单调递增或单调递减的区间，称为函为函数在该区间上是递增的函数在该区间上是递减的数的单调区间函数的单调性判定利用导数判断函数的单调性当导数例如，函数fx=x^2的导数为大于0时，函数单调递增；当导数小于fx=2x，当x0时，fx0，函数单0时，函数单调递减调递增；当x0时，fx0，函数单调递减求函数的导数，并分析导数的符号变化，从而判断函数的单调性单调性与极值的关系极值点1函数单调性变化点单调区间2函数单调递增或递减的区间极值3函数在极值点取得的函数值相关应用问题单调性是函数的一个重要性质,在很多实际问题中都有着广泛的应用.例如,在经济学中,可以利用单调性来分析商品价格的变化趋势.在物理学中,可以利用单调性来分析物体的运动速度变化.在工程学中,可以利用单调性来分析结构的稳定性.凹凸性及拐点凹函数凸函数拐点函数图像上任意两点连线的线段都在函数图函数图像上任意两点连线的线段都在函数图函数凹凸性发生变化的点像下方像上方函数凹凸性的判定二阶导数正值12函数的凹凸性由其二阶导数的如果二阶导数在某区间内恒为符号决定正，则函数在该区间内是凹的负值零值34如果二阶导数在某区间内恒为如果二阶导数在某点为零，则负，则函数在该区间内是凸该点可能为拐点，但并非所有的拐点都对应二阶导数为零的点拐点的确定一阶导数符号变化二阶导数不存在若函数在某点处二阶导数为零或不存在，且该点左右两侧的二阶导数符号若函数在某点处二阶导数不存在，则该点也可能为拐点，需要进一步判断不同，则该点为拐点左右两侧的二阶导数符号是否相同123二阶导数为零若函数在某点处二阶导数为零，且该点左右两侧的二阶导数符号相同，则该点不为拐点相关应用问题函数的凹凸性和拐点在实际问题中有着广泛的应用，例如:•在经济学中，可以用来分析生产成本、利润等函数的变化趋势，并预测其最大值或最小值•在物理学中，可以用来分析物体的运动轨迹、速度和加速度等函数的变化规律•在工程学中，可以用来设计桥梁、建筑等结构，确保其安全性和稳定性曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线当x趋于正负无穷时，函数的值无当x趋于某个值时，函数的值无限限接近于一个常数，则该常数对增大或减小，则该值对应的直线应的直线称为水平渐近线称为垂直渐近线斜渐近线当x趋于正负无穷时，函数的值无限接近于一条斜直线，则该直线称为斜渐近线水平渐近线和垂直渐近线水平渐近线垂直渐近线当自变量趋于正无穷或负无穷时，函数的值无限接近于一个常当自变量趋于某个有限值时，函数的值无限增大或无限减小，则数，则该常数所代表的直线称为函数的水平渐近线.该有限值所代表的直线称为函数的垂直渐近线.斜渐近线线性函数斜渐近线公式当x趋于正负无穷时，函数图像无限接近于一条直线，这条直线称斜渐近线的方程为y=kx+b，其中k=limx-无穷fx/x，b=limx-为斜渐近线无穷fx-kx相关应用问题函数的渐近线在现实生活中有很多应用，比如-在建筑设计中，工程师会使用渐近线来确定建筑物的形状和尺寸，以确保建筑物的稳定性和安全性-在航空航天领域，设计师会使用渐近线来设计飞机的机翼，以提高飞机的升力和效率-在物理学中，渐近线可以用来描述物体的运动轨迹，例如，行星绕太阳运动的轨迹-在经济学中，渐近线可以用来分析经济增长趋势，例如，国民生产总值的增长趋势函数的图像与性质综合分析通过综合分析函数的图像和性质，我们可以更好地理解函数的行为，并解决实际问题例如，我们可以利用函数的单调性、极值、凹凸性等性质来确定函数的极值点、拐点、渐近线等关键信息，进而描绘出函数的图像此外，我们可以通过函数图像的形状来判断函数的性质，例如，函数图像在某个区间内是上升还是下降，函数图像是否具有对称性，函数图像是否存在拐点等函数性质的综合应用应用场景优化问题建模问题通过对函数的图像、单调性、凹凸性等性例如，求最大利润、最小成本、最佳生产运用函数的性质建立数学模型，解决实际质的综合分析，可以解决许多实际问题方案等问题问题课程总结与拓展本课程讲解了函数的极值最值及其应用，包括函数的概念、性质、极值求解、单调性、凹凸性、渐近线等通过学习，我们掌握了函数的性质分析和应用方法，能够解决实际问题。