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第五章习题答案
1.求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组1,2max ormin/x,y=xy3s.t.x2+y2=1x+y=1和解（i）首先写出拉格朗日函数回将团对号团和团分别求偏导数可得:L0=々一丸=xL=%]—4Z=0xL，=16—%4%2=0一解得团团此时团则点回为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格
（2）首先写出拉格朗日函数:回将团对囿团和团分别求偏导数可得L=2—4/lX]=0玉%x=0L——22X9k=3—2xj2—x2=02解得国团此时田；或者周周此时团;或者团团此时回；或者团团此时吼则点回、回、团和团为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格
（3）首先写出拉格朗日函数:回将团对段0,团和团分别求偏导数可得L=y~24x—4=0xL、—x—24y—4—0L4=1-x2-=04=1—x—y=解得团团此时回；或者团，团此时团则点团和点团为目标函数的驻点，且在这两点处约束条件满足约束规格
2.利用等式约束极值问题的二阶充分条件判断习题1中求得的点是否为极大值点或极小值点由于EP,Py,U=PjH+P、yHx21=P『u+PFu»—py yy=2PP、U、_Px y证毕
11.给定及，
（1）写出该问题的拉格朗日函数；
（2）求出最优消费束；
（3）在最优消费束处满足极大值的二阶充分条件吗
（4）问题
（2）的答案给出比较静态信息了吗？解
（1）
（2）回解得:回
（3）,加边元素所以，海赛加边行列式为:01-4\=10-6=480H-4-60因此，由定理
5.2最优值满足极大值的二阶充分条件
12.假设，但不为价格和收入参数设定具体数值
（1）写出拉格朗日函数；
（2）求，及（以参数，和表示）；
（3）检验极大值点处的二阶充分条件4令，及，检验你对习题8回答的正确性解设团的价格为回团的价格为囿收入为国则有max=x+2y+ls.t.xP+yP=Mx y十乙1…2PxL=y+1—XP—0x x2一阶条件为｛4,=尤+2—丸斗=0，解得均衡解为〈L=M-xP-yP=02P、A x yM2P P+x+y/L-2PR⑴—y+1+—x yPy_01-R⑶固=10-P2P/,〉0,则均衡解为极大值-P-P0xy4正确
13.习题10的解和能够产生比较静态信息吗？求出所有比较静态导数，确定其符号，并解释其经济意义参见习题
1014.给定消费者消费商品和的效用函数，和为商品和的消费量，和是商品和的价格，消费者的收入为1求消费者的效用极大值和相应两种商品的最优消费量x*,y*2收入增加一个单位时，对消费者的的极大效用有何影响？3求出比较静态函数，判断其符号，解释其经济学意义解极大化问题为:团团s.t.Px+Py=I}21L=x+1〉+1+〃/—Px-Py，一阶条件为i2舄/+6+---12[L=y+l-AP=0A1均衡解为]*=/+6+._2，二阶条件为L=x+l-AP=02P2Y2L=I-P-Py=0/+《+A lX2A--------------2PRo i10—£=20,|H|=《鸟〉均衡解为极大值0一片1+£du=-------扭号—=+4+—0,表示收入每增加一单位，大小用增加,++♦di di22Plp2枕个单位dx_1__/++.dx_1dx_1⑶丽一西，屈一可万一西2P^dy_1dy_1__/++_dy_1dP12P；dP-2P22P2，出一2P2l
15.考虑极大化问题max2吊入s.t.bx=a玉+2利用包络定理解决以下问题:1求目标函数的最优值在,力=16,4处分别关于a和b的偏导数2据1，估计当、由16变为
16.03时:目标函数的最优值的改变量为多少？估计新问题目标函数的最优值？3据1,估计当、由4变为
3.98时，目标函数的最优值的改变量为多少？估计新问题目标函数的最优值？4据1,估计由16变为
16.
03、由4变为
3.98时，目标函数的最优值的改变量为多少？估计新问题目标函数的最优值？解:⑴极大化问题为s.t.=16,%+4X2拉格朗日函数为，*一L=X-2=0%=8x*c…dudLx=2,24=M—42=0则——二——da dd2,8;2=2=2，均衡解为v%=2L入—16—X1——04X92—16,4Atz+—16,4AZ=2x
0.03+-4x0=
0.06u=
16.06da，则db3—16,
40.02=-
0.08u=
15.92dadbAQ+—16,4AZ=2XO+-4X，则4—16,4+—16,4AZ=2x
0.03+-4x
0.02=-
0.02，则u=15,98da db
16.设,效用函数,预算约束条件为o试求需求函数及间接效用函数解极大化问题为s.t.Pi%+px=m,22L-xx+2根一pg]-px1222*m%=%=%一即1=°2P2\L2=0=%-即，则需求函数为卜=——，则间接效用函数为X2一120=机_〃玉_〃々=木mA=---------.2Plp2m2m mpimp八TZ zV=-------------------m-------!-------4Plp22Plp22P22Pl23P2-P+P；-A224Pl〃
217.
（1）商品和的边际效用递减假设意味着无差异曲线严格凸吗？
（2）无差异曲线的严格凸性意味着商品和的边际效用递减吗？解
（1）否，当效用函数为严格拟凹时，无差异曲线凸向远点，与边际效用递减无关
（2）否，边际替代率递减
18.有一个消费者，某商品价格上涨1000元时，其间接效用减少60个单位；而货币收入增加1000元时，其间接效用增加5个单位，问这个消费者对该商品的消费量是多少？解由解得故消费量为12个单位
19.假设消费者消费两种商品和，价格分别为，效用函数为,消费者的收入为
（1）求消费者的马歇尔需求函数咪5,〃2，/）和以（P],〃2，/），并验证它是零次齐次函数；
（2）求间接效用函数函（p”P21）;3求货币的边际效用解极大化问题为s.t.RM+px=I22a bal*x\二a+L-ax^x^—沏1=0xbPiL.=22=可晨后—沏，均衡解为vblLa=I_P\X\~Pix2=0a+b*_ax*2P2/L—b a-\PTal bl⑵间接效用函数为v=a+bp〃+21L=Xj x+2/-px-px2x x22八一1Id讣b-l jbap1b p、12Px PyPx
20.给定两种投入要素的生产函数为，这里和分别是两种要素的投入量假设两种要素投入价格分别为，每月费用支出不超过1000为使每月的产出极大化，应如何安排每月的两种投入量要求验证二阶充分条件解极大化问题为s.t.6=1000否+4X22\_100*1000-6A=03X]=--------502219xjxfa—42=0T,均衡解为
①£=50+^1000-6%1甲中-4X2L-1000-6xj-=0*5-4X22A=-x75039
②验证二阶条件|方卜o,则均衡解为极大值
21.给定两种要素投入的Cobb-Douglas生产函数为，这里和分别是两种要素的投入量;假设两种要素投入价格分别为；产品的销售价格为
（1）求要素需求函数斗（）,叫，叫）,％2（P，W，/）和产出供给函数/（P，叫，叫）；⑵求利润函数万（〃,叫，叫）解极小化问题为,1abs.t.y=k^x2a b
（1）L=出玉+wx+A,{kXy x-y）222L=w+a^\~xx^-0xL-w+b^kx^1-0x2i aayb w1kb%）⑵V=pkx^x；-W玉一w x，将均衡解代入即可22解
（1）对比团求偏导数可得比胤加边元素外队所以，海赛加边行列式为:01-1叫=10-4=80-1-40
（2）对，求偏导数可得，，加边元素所以，海赛加边行列式为:所以，由定理
5.2得，在回处函数取得极大值队当团团时，02-4止2-1-2=480-4-20所以，由定理
5.2得，在回处函数取得极大值队当团团时,02-4止212=-480-420所以，由定理
5.2得，在回处函数取得极小值机当一团时,0-24H\=-2-1-2=484-20所以，由定理
5.2得，在团处函数取得极大值队当一团时，0-24H\=-212=-480420
（3）对，求偏导数可得，，加边元素O所以，海赛加边行列式为:所以，由定理
5.2得，在回处函数取得极小值机—2%1—2x—11-22-2y-1—2-2y00-100当回回时,11-2—1_110—1H==4000-20—0当团，团时,101-240二〉-20-10所以，由定理
5.2得，在回或者回处函数取得极大值队
3.求函数在约束和下的可能的极值点解首先写出拉格朗日函数:将回对回,团团和团分别求偏导数可得:L=1—=0xL=1-24y-4=y L=2z—24]Z=074--y2-z2=0=—y=°X.，解得该方程无实解，存在虚数解:团团此时回
4.利用海赛加边行列式确定下面每一小题的值是极大值还是极小值1Z=A^满足约束x+2y=2；2z=xy+4满足约束x+y=8；3z=x-3y-xy满足约束x+y=6；4z=%2一y+7满足约束x+y=0解1首先写出拉格朗日函数:将团对囿团和团分别求偏导数可得L=y—%=0v L=x—2A=0L=2—x—2y=0;x*=1,^*=A*=~,2解得对团团求偏导数可得团团加边元素团,队所以，海赛加边行列式为:01-1H\=10-2=40-1-20所以，由定理
5.2得力为目标函数的极大值
（2）首先写出拉格朗日函数将取寸团团和团分别求偏导数可得L=y+4—1=0v L=X—A=0yL[=8—x—y=0JL4£=6,y*=2,r=6,解得对团团求偏导数可得团团加边元素回所以，海赛加边行列式为01-1\=10-1=20H—1—10所以，由定理
5.2得曾为目标函数的极大值
（3）首先写出拉格朗日函数:团将因对囿团和团分别求偏导数可得4=1—y—4=0L=-x-3-2=0yL=6-x-y=0AX*=l,y*=5,/T=—4,解得对团团求偏导数可得段团加边元素回所以，海赛加边行列式为:0—1—1\=-10-1=-20H—1—10所以，由定理
5.2得方为目标函数的极小值
（4）首先写出拉格朗日函数:回将团对囿团和团分别求偏导数可得L=2x—2=0L=—1—2=0y——x—y=0x*y*=[,解得=-匕丸*=一],22对团,团求偏导数可得团团加边元素回所以，海赛加边行列式为:20-1\=00-1=-20H—1—10所以，由定理
5.2得曾为目标函数的极小值
5.求原点到椭圆的最大和最小距离（提示目标函数取为可简化运算解由题意知，解决如下最优化问题，max（min）z=x2+y2s.t.x2+xy+y2=3首先写出拉格朗日函数:回将团对囿团和团分别求偏导数可得L=2x-22x=0x L=2y-2Ay-Ax=0yL入=3-—xy—y~—0解得团或者团则团为最小距离,团为最大距离
6.绘出有如下特征的曲线
（1）拟凹的，
（2）拟凸的，
（3）既拟凹又拟凸的解1拟凹3既拟凹又拟凸
7.运用海赛加边行列式检验下列函数的拟凹性和拟凸性:1z=-%2一2x,y02z=—x+l2—y+22x,y0解10-2x—2y-2-2=8x-y20-12|C X|=-2X2_2y-2-2所以，由定理
5.7得，该函数为拟凹函数20,0,00—2x—2—2y—4-202-2y-42+2-2x-20-12|C X|=-2X-22—2y—40-2所以，由定理
5.7得，该函数为拟凹函数
8.判断下列命题的正误，并给予说明1设是单变量递增函数，则为拟凹函数2设是单变量递减函数，则为拟凹函数3设是单变量函数，存在一个实数使得在区间上递减，在区间上递增时，为拟凹函数解1命题正确，对于一元递增函数定义域凸集中任意点，有，则对任意，有；则为拟凹的2命题错误，对于一元递减函数回定义域凸集中任意点丽，有0,则对任意段有0;则回为拟凸的3命题错误，用反证法证明，假设命题成立，则在区间团上与该题2相同，则该函数为拟凸函数，与命题结论矛盾，故命题错误
9.已知极大化问题max fx,y.z=x+y+zs.t.x+y+z=3的均衡解为试估计以下目标函数的最优值，并说明理由1,2max y,z=x+
1.02y+z32+
1.01y2+z2=
3.05解根据
1、
2、3小问中目标函数与约束条件变动项构造拉格朗日函数，将代入极大化问题，在约束条件下目标函数的极大值点为，乘子为从而有根据包络定理,,则1当等式约束改为时，目标函数最优值改变分量为/1,3,1x
0.05=
0.025人名」da~221+1+1+
0.025=
3.025极大化问题的目标函数最优值分别是2当目标函数改为团等式约束改为团时，目标函数最优值改变分量为:1,31Aq+1,31△
③=1x
0.02+1x
0.05=
0.045久工da2丽21+1+1+
0.045=
3.045极大化问题的目标函数最优值是3当目标函数改为，等式约束改为时，目标函数最优值改变分量为:1,3,1Aq+1,3,11,33=1x
0.02+-x
0.05+--x
0.01工工△氏+/』八=
0.04da da-da22]231+1+1+
0.04=
3.04极大化问题的目标函数最优值是
10.一个消费者具有效用函数，其中和是两种商品的数量，它们的价格分别是和消费者的预算约束是，因此消费者的拉格朗日函数是Lx,y=xy+1+-Px-Pyx y1从一阶条件中找出需求函数的表达式说明商品是哪种商品？尤其当的时候，会出现哪种情况？2通过检查二阶充分条件来证明这是一个极大值把和代入到效用函数中，找出间接效用函数的表达式，并推导出支出函数的表达式Min Px+Pyx v3s.t.xy+1=U*求出这个最小化问题的和的解，并证明和的解值等于支出函数的偏导数和解1根据拉格朗日函数得出一阶必要条件为4=y+1-AP=0X4=x-=0L,=M-Px-Py=0x yM-P2Px—一xxM2PV_M-P、2PR其中，是消费者的马歇尔需求函数由，可知，商品的价格增加，数量减少；货币收入增加，数量增加，因此为正常商品当时,01-RH\=10~P=2PR0y一心一尸、02,,加边元素所以，海赛加边行列式为:因此，由定理
5.2最优值为极大值把和代入目标函数中，得出间接效用函数为:**M-P M—P、M—Pj2vU=U=-------^-------^=-------U2Px4PPv支出函数表达式为3构造拉格朗日函数一阶必要条件为4=R_〃y+D=o Ly=Py4％=o一4=U*-%y+l=0求解这个方程组的和，得到均衡解为其中是消费者的希克斯需求函数检验二阶充分条件:一〃0-y-l771=-//0-x--2xy+\/0J-y-l—x0因此均衡解是模型的极小值点把代入初始目标函数，得到支出函数为。
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