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行列式矩阵ka”a12…aIn|aH a12…aln jka”kal2…ka,nka21a22…a2n wka2I…a2n ka21ka2…ka2n・・・••■・・・••・・•・・・・・・・•・・・•・・・・•••・・・、、、ka..,ka.A…ka....III Illi/III11^/III IXIUI/，a”+b”a12+bI2…aIn+bln Aail ai2…ain fbll3…a21+b21a线+b”…a2n+b2n a2la22…a2n+b2l b22…b2nA==・•・・・・♦・・♦・・・・•・♦・・•・・♦・・・•・・•♦・・・・・aml am2…amnJlbml bm2…bmnNml+bmi a1n2+tm2…3mn+bn,ny伴随矩阵n阶行列式中，共有n!项，其中正、负各二分之一，若负项个数为偶数，必有n24代an ai2a An A!|••・Am、…a数N%为的余子式，A”=—l2jM,j为a族的代数余子式a2i余子A=22加、…a2n nA=A]2A22…A II2A,j为%的代数余子式式定理t VakA=||A|I，k=0ikwi VJkJ,Ok aman2…aj\A・】・n・A2・n・♦…♦・♦Ann,・・・J\J▲*nrA=n克莱n元n阶非齐次线性线性方程组即AX=B当|A|wO有且仅有唯一解Xj=|Aj|/|A|1A*A=AA*=|A|E A可逆A-1=17r2rA t=.1rA=n-1姆-10rAn-l法则a11X,+al2x2+---+alnxn=b2an ai2瓦…aln〜b、a2lx,+a22x2+...+a2nxn=其中间=%322与…a2a•••・・♦・・・・5A=tCd;=A*=fd-bUA-«=-^[d-bl a、d--bc c^a-cJ a.bn♦・an内+2必+…+2内=ani an2bn…alin A*-=A|A|kA=knlA A*T=AT*AOf....fA-10=r|B|A*00M0BJ II\0B「AB*=B*A*n元n阶齐次线性线性方程组A**=|A|n2AallX1+al2x2+...+alnxn=a2|Xj0l齐次线性方程组有非零解的充足必要条件|A|=0转置矩阵及对称矩阵+a22x2+...+a2nxn=0=2假如|A|wO,齐次线性方程组只有唯一的零解ABT=BTAT,A为对称矩阵=AT=A；A为反对称矩阵=AT=A=阶数n为奇数时，|A|=00A和B均为对称矩阵，AB为对称矩阵的充要条件AB=BAanlXl+an2X2+---+annXn=
11...1A为正交矩阵时n A也为正交矩阵A为对称矩阵时n A”也为对称矩阵=n范德蒙行列式ai…an区aj-ajnA为反对称矩阵时nA’=-1^人’=八阶数1］为奇数,A为对称矩阵；n为偶数时，A♦为反对称矩阵A°=E A11=Oivjkl时不一定有A=0a；」ah…a丁逆准对角矩阵矩矩阵力为非奇异矩阵可逆矩阵一定是方阵IkS/nxn可逆的充阵足必要条件|A|wO Ax-/.\|ai⑴AlB=BA2K/电nAT可逆=AT尸=A»fA,、fA，
1..1di,A3A可j.=A=A21分块拓舞-A、.，a2=—A=AJ・a2A=ABA.n A=A」a,r A=A01A.,AJ0]a,oDJ、o oJI-sA1=A,J、7J_C DJ_1-D」CA“D\J00]\0o010,001AO,ka3}ZO A=A==A=9B/cn\0oY-k011Io10\00W10oV P00oDJ、oDJ=-lmn|A||B|[coj[B10010=X✓\=001,0k0=0,0A C..0/「|A||B|，B[k0\101oj100J0]\/0E、’a”
0...0卜11n0…0}An A2…A\[A，2I…A]A、2AT22…AT ni2°a220=AR°=…°，分块矩阵转置A=ri…A2n••••••・・・・・♦A=・♦・•••・・・•・•・♦・・・・・•・Ajj为分块矩阵‘八A、A\…A•・・・・・・・・・・♦・・・I00ann\0°…^nnAmiA1n2…Am,求逆矩阵A,E行初等变化＞E,A-1求AX=B的解A,B行初等变化＞E,A B矩阵矩阵A=aijm*n存在一种K阶子式不为零，并且所有的K+1阶子式全为零，则称A的秩为K,记为rA=k的秩1矩阵A=ajj11Kli可逆的充足必要条件rA=n Z、al2任一矩阵每减少一行或列其秩减少不超过1a,由rABKmin{rA,rB}=若4人=1=A可分解为八二bi b2…bj,且AJah+a2b2+…+a也A⑶矩阵A=a,jm,n=rA Wmin{m,n}4设人二伯/加…BKaijm nrABKmin{rA,rB}kan5A.B均为n阶方阵=NAB2A A+rB-n；=A的特性值4=ah+a2b2+…+aMn,/^=0{当r1时，A2=6A其中仁Za“nAm=/mTA}6人为111乂11矩阵，B为nxs矩阵，当AB=O时，rA+rB n{n为A的列数}AB=O时，A和B可以不为方阵，rA+rBWn中的n为A的列数｛理解为AX=O中X的个数｝7rA+rBrA+B.当A+B=kE=rA+rB2n1rA=rAT=rATA{Ax=0和人T、=0同解AcrTAa=0=A«=0}2若AwO=rA2l；3若A可逆=rAB=rB,若B可逆nrAB=rAAB型%bl
2...现、等价A=BAB=3,%，…，/）*…（I）向量组与它的极大无关组等价
（2）向量组的任意两个极大无关组之间等价
4.人,…，舟可由向量组…，区线性L…bnk表达AB的列向量组可由A的列向量组线性表达nr（AB）r（A）表达，则r（综夕2,…，a）=，%，/，…，％）[nr（A）=r（B）nA=BAB=0表达B的列向量是齐次线性方程组AX=O的解/\6=0=/\3=人（4,四广・血）=（人才小4广.*氏）=（0,0「.,0）=人笈=0=凡是方程组心=0的解=44,河人.,四）《11-1（人）AB=O（A和B均非零矩阵）=r（A）+r（B）n=r（A）n,r（B）nA和B为任意两个非零矩阵，AB=O=A的列向量线性有关，B的行向量线性有关=A的列秩n｛A的列向量线性有关｝,B的行秩n｛B的行向量线性有关｝A为mxn矩阵，B为nx/〃矩阵，当AB=E=A的行向量线性无关，B的列向量:线性无关线性方程组■=8有解0«人』1AX=B,其中设人=（囚9,…,4），X=（X],X2,…,xjT,B=方程组有解=I）r（A）=r（A|B）等同r（%,4）=aj片,％…M）1rA=rA=r=n唯一解；2rA=rA=r n无穷多种解3rA*rA无解2）4，⑸,…,凡可由因，风线性表达（xrx2,---,xk类似系数k[,…,k,）齐次线性方程组AX=O设区,见，…，4线性无关，儿人,…，氏可以由四2,…，4线性表达，口（儿人，…，K）=（四，=2,=4，02，・一反线性无
（1）r（A）=r=n仅有零解
（2）r（A）=rn无穷多种解（包括零解）=假如方程的个数〈未知量的个数，即A的关的充要条件是|7工0行数列数=AX=0必有非零解假如名,…、是AX=O的基础解系，要使口，人，…,氏也是AX=O的基础解系u4，网，…,反线性无关，且夕A可由囚，A是mxn矩阵，人乂=0有非零解=「（人尸111OA的列向量线性有关2,…，4线性表达，即「（囚马,…0）=«囚2,…，a]*%…，尸、）A列向量组线性无关=AX=O只有零解向量£可以表为向量组区,2,…，氏的线性表达法唯一的充足必要条件%,4，…，见线性无关A行向量组线性无关=人丁列向量组线性无关=ATX=0只有零解r（A）=r（Ar）=r（AAr）,若AA列向量=r（A）=AArX=0只有零解向量组区,％，…，/线性无关，而向量组%2,…，％奸线性有关=向量S可以表为向量组四，%，…，4线性组合假如用,%,…，么为AX=O的解向量组的一种极大无关组，则称4,…,么为该方程组的一种基础解系只有当齐次
（1）向量组四,火，…，可由向量组以•色，…，以线性表达，且St线性方程组AX=O存在非零解时，才会存在基础解系=%,%「•,4的线性有关AX=O中系数矩阵A的秩r（A）=rn=方程组得解向量组的秩为n-r（三个向量可以由两个向量线性表达，则该三个向量必线性有关｝AX=O通解x=k17/l+k2；72+■•■+knr77nr；AX=B通解x=^+k1/71+k272+---+kn.^n.r
（2）向盘组火,4，…，《线性无关，且可由向量组4,⑶，…，用线性表达nswt（名为AX=B的特解，小,〃2，…*ijn.T为其导出组AX=0的一种基础解系）n假如向量组四,田，…g可由向量组外网…,力线性表达，假如名,小是AX=B的两个解=功一%是其导出组AX=0的解则r（%,%，…a）42,…，〃）设7，％，…，/是AX=B的解，且k]+!+•••+K=1=k/7i+k2/72+…+k、/也是AX=B的解设/，小，…，（解%%,%，…，区中的极大线性无关组可由4,人，…，4中的极大线性无关组来表达，根据性质
（2））/是AX=B的解，且k1+k2+・・・+k,=0=1%+工%+・・・+k.z也是AX=0的解线性组合极大线性无关组正交化Rn的原则正交基^=bpb2,---,bnT a.=als,a2s,--,ansTs=l.2,.....假如一种向量组四,2,…，4中的部分向量组…，区（t»）
（2）向量组中的每一种向量都可以表为囚,心,…,名的线性组合向量内积性质（I）a0=，a（将向量组中的任意一种向量添加到部分组囚.2，一，4中，得到新的向量组都假如存在一组数KE，…,k,,使得尸=k«|+k2a2+…+kq线性有关）
（2）aTa0,且％=（）=0=向量:夕可以表为向量组四，%，…，4线性表达=四,%，…，a为该向量组的一-种极大线性无关组
（3）aT（/+/）=aT/+aT/零向量OwR,可山R中的任意向量组4线性表达向量a的长度（或模）为记为MH（自身内积）在R中任意向量/均可为々，㈢，…，4的线性表达向量长度性质向量组的秩线性有关:存在R中S个不全为零的数…,使得k«+12%+…+kq=0线性无关只有向量组四,2,…，a的极大无关组所含的向量个数，为该向量的秩，记Ka”见,…||a||0n||a||=0=a=0；||ka||=|胴|匕=卜=•••=k,=0时，k1/+k2a2+，-+k,a、=0才成立向量组区，2，.••，巴线性无关=«区，2，・.•，
0.）=$础网，且|a刈=网|网056线性有关单位向量组0,£2,…，J线性无关兰｛四,…,用=《四，2,…，《）=«口，62，
一、久）（两个向量组等价，则两个向量组的极大无关组所含向量个数相等）充非零向量化为单位向量或原则化向量的措施1rl aMl%,4,…可以表达任一种n维向量％与々，？,等价=«,%，…，4线性无关充足必要足必条件必，2,可表达任一种n维向量向量夕可以表为向量组的线性组合的充足必要要条件施密特正交化措施R”中的JL种向量外,心,…,4满足巴，•••，%中任意两个向量都条s元非齐次线性方程组有解件设即见，…，4是R中的一种线性无关的向量组，令1囚,正交向量组区.4，…，4线性有关Q§元齐次线性方程组有解向量组名,心，…，/线性无关O s元齐次线性方程组仅有•零解d=%，8-a-区2~8,民=见一色耳川一半■河⑵11%卜]=称4,4为R的一种原则正交基在R中向量组4,火，…,％的线性有关的充足必要条件即A=（囚，％,…，“），4中至少有一种向量可以表为其他向量的线性组合两个R=a_达0_.一丈一屋”/aAT=:T、/T TT\向量线性有关而充要条件对应元素成比例«1囚囚«2«n向量组…的线性无关（4=出出瞑…,anj）T）,若将该向量组的每一种向量都熠长m个分量，=用血，…血是一种正交向量组，且｛£],乐…，及｝黑｛.9,…,4｝；=ATA=*因0*20；4得到向量组a,线性无关a%=«nJ14囚a%a%,•••｛a；=（afj,a2j,•--,anj,an+1）j,•••,a（n+m）j）T）若或者线性有关，则前者也必然有关1J=%,二,,.••,%为原则正交基，A为正交矩阵向量组的个数不小于向量组的维数二此向量组线性有关（列〉行）0iHjR”中的任意n+l个向量一定线性有关矩阵特性值和特性向量相似矩阵与矩阵可对角化设A为n阶矩阵，假如对于数4）,存在非零列向量aw R”,使得Aa=4,则称4设A、B为n阶矩阵，假如存在一种n阶可逆矩阵P,使得P“AP=B=矩阵A与B相似，记A〜B性质为A的一种特性值，a为A的属于特性值4的特性向量（I）（反身性）A~A
（2）（传递性）A-B,B~C=A〜C设A=（a”）为n阶矩阵，则4为A的特性值，a为A的属于特性值4的特性向量的充足必A-B=AT-BT,Am-Bm；|A|=|B|,rA=rB；当A可逆时,44〜勿｛u=84要条件A~B”｛相似矩阵都可逆或都不可逆｝:A,B具有相似特性值｛|/IE-A|=UE-B|｝[A、B有相似特性值,A和B不一定相似]（I）4为特性方程»E-A|=O根
（2）为齐次线性方程组（4E-A）X=O非零解fA-fB,|fA|=|fB|其中fA为n阶方阵A的多项式相
（1）设％是A的一种特性值=似「A O]「B O1矩A〜B.C〜D〜阵O COD行是A的•种特性值———实4对应的特性向量与其他特性位（I）A是实对称矩阵.B为对角矩阵，若A~B=A=B；
（2）A-B.且B是实对称矩阵=A与B有相似秩和特性值,且A也毡实对称矩阵对是A的一种特性值时应的特性向珏也相似称
（2）A通过行的初等变换变为B.则A的行向量组与B的行向量组等价（B=PA｝矩1/4是A”的一种特性值注A01的特性向量不一定是A的阵A通过列的初等变换变为B,则A的列向量组与B的列向量组等价｛B=AQ｝i A和B行列向量组都等价=A3B特性向量
（3）同型矩阵A和B等价的充足必要条件r（A）=r（B）｛矩阵A和B等价表明A经初等变化可得到B｝|A|/4是A的一种特性值
（1）实对称矩阵A的属于不一样特性值的特性向量互相正交；实对成矩阵对先化措施
（2）实对称矩阵必可对角化，即A~A
（1）求特性方程|/IE—A|=O的根4，4,…，4
（2）设A是n阶矩阵=A与AT有相似的特性值=特性向量不一定相似
（3）n阶实对称矩阵A,则存在正交矩阵Q,2）每个特性值4,解齐次线性方程组（4E-A）X=0的基础解系:
（3）相似矩阵的特性向量是不一样样的，若a为A的特性向量,A-B使得Q“AQ成为对角矩阵=QAQ=QTAQ
（3）将基础解系向量组正交化，再单位化=正交矩阵Q=B的特性向量是假如/夕=0=向量0,尸正交假如一种非零向量组4,%，…，区中的向量两两正交，则称囚,为一种正交向量组=与自身正交的向量只能是零向量；2-一，4为正交向量组=囚，，，…，4线性无关
（4）n阶矩阵A可逆的充足必要条件它的任•特性值不等于零正设A为一种n阶实矩阵，假如ATA=E,则称A为一种n阶正交矩阵n假如A是正交矩阵=A-1为正交矩阵=A为正交矩阵假如A,B交阶实矩阵A为正交矩阵的充足必要条件是A可逆,且A」二A「n阶实是n阶正交矩阵=AB、BA是n阶正交矩阵假如A是正交矩设A是n阶矩阵，4广,
4、是A的m个不一样的特性值，阵矩阵A为正交矩阵的充足必要条件是ATA=E矩阵=|A|±1四,…Tm分别是A的属于4,…4的特性向量=%,…线性无关特性值和特性向量求矩阵:A（«,%，…，）=（4a，4a2，…,4%）=n阶矩阵A相似于n阶对角矩阵A的充足必要条件A有n个线性无关的特性向坡（BP r（/lE-A）=O）n阶矩阵A有n个互不相似的特性值4,冬,•••,4nA与对角矩阵A相似（A-A）矩n阵其中对角矩阵A=1,（但n阶矩阵A可对角化，不能断定A必有n个互不相似特性值）矩阵A的所有特性值之和等于4+4+…+4,=an+a2+•••+anni=l可4J对矩阵A的所有特性值之积等于|A|44…4=|A]角A=（4%,4%,…,4%）3,%，,••，%）[nA=（a],，…，《）八（必2,…，4尸=PAP-1（若A不可逆=0是A的特性向量）（n阶矩阵A可逆的充足必要条件它的任一特性（A通过其特性向量构成的可逆矩阵P的左乘右乘相似于对角矩阵A）值不等于零）n阶矩阵A相似于对角矩阵的充足必要条件对A的\重特性值q,r（4E-A户n-%即特性矩阵方程4E-A有明个解。
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