圆锥曲线解题方法技巧归纳

锥曲线解题方法技巧归纳第

一、知识储备直线方程的形式

1.直线方程的形式有五件点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式1与直线相关的重要内容2

②点到直线的松巨离

③夹角公式d=

①倾斜角与斜率％=兀、tan°,a£[0,弦长公式3tana=中或阿二=+-[%+%2—42]直线+〃上两点区,为间的距离2y=4%»1,8|AB|=71+k1%,-x|2两条直线的位置关系41+p

②/|〃，且

①4_L4==-12==%24W

2、圆锥曲线方程及性质⑴、椭圆的方程的形式有几种？三种形式22标准方程—+—=且〃lm0,〃02w YIm n距离式方程2aJ%+c2+y2_|_Jx-c2+y2=参数方程x=a0,y=bsindcos⑵、双曲线的方程的形式有两种4%4-11---222+1,21-422-8公-2=2+1♦代入化简得.竺1,±2左+2与联立，消去左得y=ZQ_4+l2x+y_4x—4=

0.在中，由△=—左+〉解得弧人师,结合（）（）264Y+64240,2-2+344可求得师加16-216+29A9可＜可.故知点的轨迹方程为16-26+2Q2x+y-4=0点评由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几・何综合问题求解的一条有效通道.、求根公式法522例设直线/过点和椭圆+一=顺次交于、两点，（）5P0,3,1A By4AP试求碇的取值范围・rti分析本题中，绝大多数同学不难得到二但从此后却一PB xB筹莫展，问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.Ap Y分析从第一条想法入手，碇二已经是一个关系式，但由于1:PB xB有两个变量％同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第，A4,3个变量——直线的斜率上问题就转化为如何将以乙转化AB为关于左的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去得出关于y的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.X简解当直线/垂直于轴时，可求得二-！；1XPB5当/与轴不垂直时，设直线/的方程为:代入椭（）（，）x A%],y,8%2y2,y=kx+3,攵±攵-276,92解之得一5圆方程，消去得卜之（y9^+4+54^+45=0因为椭圆关于轴对称，点在轴上，所以只需考虑左的情形.＞y Py0当女时，贝20-27+6,-5,%=275女229k+492+4七公一_-92+219518%所以---------------------_______________-------------------------------------=-.———]々左+、PB92,9/—59k+29k2-5由左左解得（）（）A=_542_18092+420,综上所以_1,5AP1————PB~5分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定攵的取值-5-9范围，于是问题转化为如何将所求量与女联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于空=一上不是关于为，、的对称关系式.原因找到后，解决问题的PB x22方法自然也就有了，即我们可以构造关于和超的对称关系式・简解设直线/的方程为代入椭圆方程，消去得左卜2y=kx+3,y9+422攵+54x+45=0*_-54k―91+44529k+4令五=则，324K.%+,+2=攵X A45+2022在*中，由判别式可得2，ANO,k l9从而有«竺.所以322445+205解得242+-+2—,结合得A5|25,04«1综上，一”又」.PB5点评范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.第

三、推理训练数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系充分性、必要性、充要性等，做到思考缜密、推理严密通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力例椭圆长轴端点为为椭圆中心，/为椭圆的右焦点，且春.丽6=1,OF求椭圆的标准方程；=

1.I记椭圆的上顶点为直线/交椭圆于两点，问是否存在直线/,使点/恰n p,为的垂心？若存在，求出直线/的方程；APQM若不存在，请说明理由思维流程由赤•丽=丽I1J=1a+ca-c=1,c=1写出椭圆方程n2〃23x+4a+2m-2=0两根之和,得出关于解出m两根之积MP^FQ=O m的方程尤2＞人＞则2=10,c=l⑴如图建系，设椭圆方程为方解题过程:又•.即=・・〃・〃〃・Ab EB=l+c—1=2—//=2丫2故椭圆方程为------F y~=12（）假设存在直线/交椭圆于P,Q两点，且尸恰为APQM的垂心，则ny=x+m于是设直线/为由y=x+m,付，22x+2y=2设尸区，,）,（工』）,尸），故，），・（（％2%../01,PQ=1,223x+47nx+2m-2=0「又MP-FQ=0=x x-l+^^-1y=x+mi=1,2122z得即x x-1+x+mx+m-l=0]22l由韦达定理得22x^+%+x m-l+m-m=022之c2m—24m-----------------------244解得根=或（舍）经检验机=符合条件.m=1点石成金垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.例、已知椭圆£的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过

7、

3、、三点.求椭圆的方程4—2,052,0Cl,—I EI2J若点为椭圆£上不同于、的任意一点，当△厂”内nA82-1,0,L0,切圆的面积最大时，求内心的坐标；思维流程设方程为mx2+ny2=1由椭圆经过A、B、C三点》得到办〃的方程1----------------------------------------Dn由△W“内切圆面积最大转化为AT不”面积最大为椭圆短轴端点转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大周长场切圆ADE面积最大值为后、xbDFH-]X解出m.n土匚V3得出点坐标为0,3解题过程:设椭圆方程为22Irwc+ny=1m0,n

03、、代入椭圆石的方程，得4-2,052,0Cl,—加，4=11122解得=一,〃=-..椭圆的方程二十匕・・9m E=1m+—n=143434谓公边上的高为n\FH\=2,DFH SADFH=-x2xh=h2当点在椭圆的上顶点时，最大为6,所以臬小〃的最大值为设/的内切圆的半径为因为△/的周长为定值所以,AO/T R,7/

6.SADFH=/RX6所以的最大值为—.所以内切圆圆心的坐标为H0B33S点石成金:_1△的周长XQ的内切圆JA的内切圆一/X例、已知定点及椭过点的动直线与椭8-1,02+3/=5X相交于A3两点.I若线段A8中点的横坐标是-；，求直线的方程；乙n在％轴上是否存在点,使苏•而为常数？若存在，求出M点M的坐标；若不存在，请说明理由.思维流程解依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为将I A3A3y=4x+l,y=M%+D代入消去整理得代+，d+3y2=5,y342+1%2+643—5=

0.设，，，AG y,B%2%左A=36/—43/+132-50,1则

八、6k2%+々=-;.2122I3^+1由线段中点的横坐标是-《，得百芋=_/；=_；,解得AB乙N/v IX N土显符合题意k=3所以直线的方程为或AB x-V3y+1=0x+sfiy+i=

0.,解假设在％轴上存在点用帆使苏•标为常数.n,o,

①当直线口与轴不X垂直时，由知6k23k2—5I，X]+-■z XiX9=z121223^+13^+l=（攵+（左将⑶代入整理得））（）22）2+1%9-m Xj+x+Z:+m.21149左-+根ZZ；722/72—31―2m k---------------MA.MB=^-^—2―；1+9c16/n+14=m-+2m---------------------；-----333V+17注意到拓.瓦是与女无关的常数，从而有46m+14=0,此时m=--,—►—►49

②当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为A5x A B、当—时，亦有，1―17=]1—1,—7=],m=—MA•MB=—.、___7综上，在轴上存在定点,使苏.而为常数.x M--,0\3J上工出工或赤加一加一2146m-1^-5233/+1_22点石成金3八］+---------------------------------E-MA.MB=—+m2c16m+142-----------------------=m+2m333/+1例

9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M2,1,平行于OM的直线/在y轴上的截距为m m#0,/交椭圆于A、B两个不同点I求椭圆的方程;n求m的取值范围；IE求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.22思维流程解设椭圆方程为〃10+2=10a b~a=2b r2_«22则解制椭圆方程为『上|41廿=+=1b F

2..直线/平行于且在轴上的截距为・nOM,y m1/的方程为:・・・y=—x+m21y--x+m22222-x+2mx+2m-4=0二十j82;直线与椭圆交于、两个不同点，1A B加尸根解得—机且・・＞＜＜.A=2—422—40,22,w0设直线、的斜率分别为只需证明即可m MA MB kI,k kI+k2=02,设玉,,且玉2/1y1,BX2,y2+x2=-2m,x1x2=2m-4则、=-.....,晨=-------由2可得k X+2mx+2m-4=0X]-2%2—2x,+x+-2m.Xj x=2m2-422』+上=%一1一2-2+%—1玉—2%1-2%2-2-2X2-2+加—相一-X]2+―%+—122]12-尤尤七元n-2-20+122+玉2+x-4m-12%1-2X2-2之一2m-4+m-2-2m4w-1222m-4-2m+4m-4m+4区一故直线、与轴始终围成---------------------------2----X-2---------------二0MAMBx%]+屋=20%i—2%—2一个等腰三角形.点石成金:直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形=k+k=O]2°C22例、已知双曲线的离心率=工,过不的直〃100-==16A,O,BO,-b~3线到原点的距离是组.求双曲线的方程;1已知直线交双曲线于不同的点且都2y=Zx+5ZwO C,D G在以刀为圆心的圆上，求上的值.思维流程解*/三，原点到直线氏三—的，1£=242=i a3a bcibcib-x/3距离〃=J.+心=”=三二.b=1a=故所求双曲线方程为C_2=13V把代入中消去夕，整理得2y=Ax+5“2—3/=3女入攵%—（1—32）2—3078=

0.X.4-15k，=kx-h5=-rQ22y~1-3/t2―l-3k°、o+]=]BE（）x k设%的中点是£%则，，，，x1%,2%80%,（）ky+k=0,/.x+（）15k----------------HR工O,「・左？—H—k=7即-----------71—342故所求k=±V

7.点石成金:都在以^为圆心的圆上oBC=BDoBELCD；例、已知椭圆CC,11的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为

1.I求椭圆C的标准方程;II若直线/:尸人与椭圆C相交于48两点A B不是左右顶点，且以48为直径的圆过椭圆的右顶点.求证直线/过定点，并求出该定点的坐标.22标准方程F-^―=1772,M0m n距禹式方程小〃|Jx+c2x-c22+y2—+y2|=、三种圆锥曲线的通径你记得吗？3椭圆:二；双曲线:二；抛物线〃2a a⑷、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？22如已知小尸是椭圆二+乙=的两个焦点，平面内一个动点满1M2I足闾则动点的轨迹是=2M、双曲线；、双曲线的一支；、两条射线；、一条射线A B C D°⑸、焦点三角形面积公式在椭圆上时，P SAFPF2=/72tan^°在双曲线上时，八P S“PF=/cot—2其中^PFJ:厄两笆2=e,cos M■=l11I cose14⑹、记住焦半径公式1椭圆焦点在轴上时为〃焦点在轴上时为〃X±6%;y±冲0,可简记为“左加右减，上加下减”双曲线焦点在轴上时为土〃2x e|x0|抛物线焦点在轴上时为|菁焦点在轴上时为3x|+5,y lx|+5⑹、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？_第

二、方法储备、点差法中点弦问题122设、网”为椭圆+—=的弦中点则有AXJ2,1A322思维流程解由题意设椭圆的标准方程%+方—,I由已知得〃+c=3,a-c-\「丫zy—O—12,2,工八；椭圆的标准方程为+《儿2=3y=kx+m,设必，联立，II AxBX2,y

2.f2—+—=

1.143得贝”2223+4Z:x+Smkx+4m-3=0,A=64加%2-163+4%2加-30,即3+4Z:2-/n20,Smk3+4/477-323m-4V22又=左依+根=氏〃my21+22+kX\+x2+m3+4/因为以为直径的圆过椭圆的右顶点A32,0,-----------，7%y+x x-2%+x+4=

0.=_]Rj—--—=-]2122/i/y IJU/I cc根尸八—-十2344/n-315mk2—A=--------二+--------4=

0.7+227m+16mk+4k=

0.左左3+43+43+4P22Dk解得町匕且均满足〃=-2g=——3+422—

0.5当叫=-左时，/的方程直线过点与已知矛盾;2y=/x-2,2,0,当加上时/的方程为,直线过定点—Q.y=Z x—；-7I7U「2\所以，直线/过定点，定点坐标为-，.点石成金以48为直径的圆过椭圆C的右顶点o CALCB;22例已知双曲线三-二=的左右两个焦点分别为《、尸〃12^10/0a bI2,点在双曲线右支上.P（）若当点的坐标为（邛）时，而，玩，求双曲线的方程；I PL（）若|所而求双曲线离心率的最值，并写出此时双曲线的渐II|=3|I,e进线方程.

374116.思维流程解（法一）由题意知，尸（）（I K=-c-下一，

7、—,3a16PF（2=C-——.•屈,丽，.屈.而岑）”岑分））（y+*X（1解得Y由双曲线定义得=25,「.C=

5.\~PF\\-\PF2\=2a,㈠一理碍当苜））（））2+42_2+2（）2（）2=7V41+3-7V41-3=6,.\a=3,b=422•所求双曲线的方程为/-言・・=1（法二）因的■区,由斜率之积为可得解.-1,J（n）设玩|=八,尾|=忆（法一）设的坐标为（儿,又），由焦半径公式得P八=\a+ex\=a+ex,r=\a-ex\=ex-ao o2o o〃〃2222・「八，+平（夕）------------）=36/.=3-a,x=//x a.6Z,.\2acQ occ的最大值为无最小值.此时£=上二/=必力=・・.e2,2,2=5a aa•此时双曲线的渐进线方程为土瓜・・y=（法二）设/片尸=/£（,加.2当时，.,八+々且勺々,々=八一々此时（）・）10—71=2c,=32c=42=2G e=—=^=

2.2a2G当万,由余弦定理得:2w0,2222；2c=f1+r-2r r cos0=10r-6rcos02x22----2c r•V10-6cos0V10-6cos0-22a2r,2,、£（综上,的最大值为但无最小值.（・・・，（）・）8S£-1,11,2,e2,e、、2222，22，22工+二+上=两式相减得；.f ff J1=1,1434343】-々工）_（必-为］必+为）―_（〃X K+23N==“R

4348、联立消元法你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套2路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式八以及根与系数的关系，代入弦长公式，设20,曲线上的两点七,必）将这两点代入曲线方程得到

①②两个（，）41%2%,式子，然后

①-

993、设而不求法例、如图，已知梯形中，点分有向线段恁所成的比为）2ABCD|AB|=2|CZ|E9y2+9/—32y—16=0双曲线过、、三点，且以、为焦点当泊时,求双曲线离心率C DE A B1e的取值范围分析本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力建/\22v v1y+Xy4-9XyX4立直角坐标系g,如图，若设,力代入二一七二求得人，，c i,…12J crb~22进而求得•,再代入与—，建立目标函数整理x=■•,y=••=13—0,/e,4=0,E E此运算量可见是难上加难.我们对〃可采取设而不求的解题策略，建立目标函数整理/=化繁为简.4=0,0,解法一如图，以为垂直平分线为轴，直线为％轴，建立直AB y AB角坐标系宜内，则轴因为双曲线经过点、且以、为焦点，由双CDj_y CD,A B曲线的对称性知、关于轴对称CDy依题意，记三,其中为双，A-c,0,C h,E%o yo,c=|A3|\72曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得/Z-C+2A_U-2C0--1+222+11+A22设双曲线的方程为-方=则离心率・1,6=]由点、在双曲线上，将点、的坐标和代入双曲线方C EC Ee=£程得了一5j2A\h由

①式得将

③式代入

②式，整理得2（）-^4-42=l+2A,故2=1—~/+1由题设得，2-i-^--343e+24解得V7eV10所以双曲线的离心率的取值范围为即，亚］分析考虑为焦半径，可用焦半径公式，|的,|用的横坐|A£|,|AC|4|E,c标表示，回避的计算，达到设而不求的解题策略.母=告,代入整理.告,由题又解法E二1+A建2系2+同1解法一（〃，|AE|=-a+exQ,|AC|=+£%二几丹2/1/3233〃343+24解得所以双曲线的离心率的取值范围为卜乙雨］

4、判别式法例已知双曲线巨,直线/过点（叵斜率为左,当女时，）3c zi_=1A0,01双曲线的上支上有且仅有一点到直线/的距离为后，试求人的值及此时点B B的坐标分析解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形1结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到过点作与/平行的直线，必与双曲线相切.而相切的BC代数表现形式是所构造方程的判别式由此出发，可设计如下解题思路A=

0.I:y=kx-60A:1直线「在/的上方且到直线/的距离为V2V一叵r y=kx+k2+2把直线「的方程代入双曲线方程，消去y,令判别式△=V解得人的值分析如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即2:所谓“有且仅有一点到直线/的距离为行”，相当于化归的方程有唯一解.B据此设计出如下解题思路问题kx—V2+x~—关于X的方程yp2k--=V20左1有唯一0转化为一元二次方程根的问题求解简解设点为双曲线上支上任一点，则点到直线/的距离为c M一百一网_£kx0^1*于是，问题即可转化为如上关于犬的方程.由于左所以国,从而有，01,2+—，kx-2+Jr—=—kx+V2++A/2^.于是关于的方程*x=_丘+2V2+J+42k=^2k+1「=一叵+腐口一岳+京

0.2+J2r+12,

2.2+1o卜心公+岳｝+攵缶『=,2_]2+221_022+1__2=0,

2.2+]--\[2,k+kx

0.由可知0v Zv1方程仅卜矛心+伏亚的二根同正故—I+24/2+1-6722+1-R—2=023222-后恒成立,于是*等价于+1Z+0卜京卜伏2k—1+22—+D-42k\c+22+1-421^

0.2-2=由如上关于的方程有唯一解，判别式△=,就可解得生.X k=点评上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例已知椭圆和点过作直线交椭圆于4P4,1,PAp An、两点，在线段上取点使初=-若，求动点的轨迹所在曲线的方程.A BAB Q,Q分析这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何人手其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到Q解题的目的.由于点的变化是由直线的变化引起的，自然可选择直线的斜Q%,yAB AB率上作为参数，如何将与女联系起来？一方面利用点在QAp An直线上；另一方面就是运用题目条件碇=-三来转化.由、、ABABFb QB、四点共线，不难得到,要建立与的关系，只需P Q^4（X+X）-2X XX Z=A8AB八）8-+4将直线的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理即可.AB C通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.在得到工=/（之后，如果能够从整体上把握，认识到所谓消参，目的不过是得到关于％,的方程（不含左），则可由解得（）y y=Z%-4+l攵二』，直接代入工=/（即可得到轨迹方程从而简化消去参的过x-4程简解设（匹,必）,），阿，则由丝=-丝可得:土AB（X2，%QQ,3=3L,PB QBx-A x-x22解之得.「区+々）―2X环2

（1）七（）8-+x2设直线的方程为代入椭圆的方程，消去（）AB y=k x-4+l,C y得出关于的一元二次方程x左222k+1b2+4kl-4x+21-4k-8=02。