复合函数求导课件

复合函数求导复合函数求导是微积分中的重要概念，它涉及求解由两个或多个函数组成的复合函数的导数什么是复合函数多层嵌套变量依赖

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2.12复合函数是指一个函数嵌套在外层函数的变量依赖于内层函另一个函数内部，形成多层嵌数的输出，内层函数的变量依套关系，例如赖于自变量fgx示例

3.3例如，函数中，是外层函数，是内层函数y=sinx^2sinx x^2复合函数的定义定义表达式复合函数是将两个或多个函数组合在一起复合函数的表达式通常用表示，fgx形成的新函数它将一个函数的输出作为其中是内层函数，是外层函gx fx另一个函数的输入，从而产生最终输出数复合函数的性质可导性连续性如果内层函数和外层函数都可复合函数的连续性取决于内层函导，则复合函数也一定可导数和外层函数的连续性单调性奇偶性复合函数的单调性与内层函数和复合函数的奇偶性取决于内层函外层函数的单调性有关，遵循同数和外层函数的奇偶性，遵循同““增异减原则奇异偶原则””复合函数的运算规则加法减法乘法除法两个复合函数相加，只需将它两个复合函数相减，只需将它两个复合函数相乘，需遵循分两个复合函数相除，需遵循除们的对应项相加即可们的对应项相减即可配律，将每个项分别相乘法法则，将分子除以分母复合函数求导的基本过程确定内层函数1找到复合函数的内部函数求内层函数的导数2对内层函数进行求导求外层函数的导数3对外层函数进行求导连锁求导法则4将内层函数的导数和外层函数的导数相乘复合函数求导的基本过程，首先要找到复合函数的内层函数和外层函数然后分别求解内层函数和外层函数的导数最后利用连锁求导法则将两个导数相乘，即可得到复合函数的导数内层函数求导确定内层函数1复合函数中，被嵌套在最里面的函数是内层函数寻找自变量2确定内层函数的自变量，即外层函数的输入运用求导法则3根据内层函数的类型，运用相应的求导法则进行求导外层函数求导求导时，先将复合函数分解成内外两个函数，其中外层函数指的是包含内层函数的函数识别外层函数1确定包含内层函数的函数部分求导外层函数2按照外层函数的求导规则进行求导保持内层函数3将内层函数保持不变，不进行求导例如，对于复合函数，外层函数是，内层函数是在求导过程中，先将外层函数进行求导，然后将内层函数fgx fxgx fxgx保持不变，最终得到fgx连锁求导法则链式法则求导步骤应用广泛链式法则，也称为复合函数求导法则，是微链式法则将复合函数的导数分解为外层函数链式法则在物理、经济、工程等领域广泛应积分中的重要概念，用于计算复合函数的导的导数乘以内层函数的导数，简单易懂用，帮助解决许多实际问题数例题双重复合函数求导1求函数的导数此题中，函数是关于的函数，但其内部包含y=2x+13y x一个关于的函数（），因此这是一个双重复合函数x2x+1首先，我们需要找到内层函数和外层函数内层函数是，外层函数是2x+1，其中u3u=2x+1接下来，分别对内层函数和外层函数求导内层函数的导数为，外层函数的2导数为3u2最后，根据连锁求导法则，将内层函数的导数乘以外层函数的导数，并将替u换回2x+1最终，函数的导数为y y=62x+12例题三重复合函数求导2本例题演示三层复合函数的求导过程函数表达式为y=，其中为内层函数，为中间层函数，sincosx^2x^2cosx^2为外层函数sincosx^2•求内层函数的导数dx^2/dx=2x•求中间层函数的导数dcosx^2/dx=-sinx^2*2x•求外层函数的导数dsincosx^2/dx=coscosx^2*-sinx^2*2x复合三角函数求导三角函数图像求导公式链式法则三角函数是周期函数，其图像在一定范围内对三角函数求导需要应用相应的公式，例如复合三角函数求导需要用到链式法则，将内重复出现的导数是层函数的导数与外层函数的导数相乘sinx cosx例题复合三角函数求导3例题求解函数的导数首先将函数分解为内层函数3y=sin2x+1u=和外层函数应用复合函数求导法则，求解内层函数和外层2x+1y=sin u函数的导数，然后将两个导数相乘得到复合函数的导数经过计算，最终得到y’=2cos2x+1隐函数的复合函数求导定义隐函数是指无法用显式形式表示的函数，例如y²+x²=1求导对隐函数等式两边同时求导，并应用链式法则，得到包含的表达式y解方程将分离出来，求解得到关于和的表达式y y x y例题隐函数的复合函数求导4求解隐函数的导数，其中是关于的隐函数，可以y=fx yx使用复合函数求导法则进行求解此类题型需要先将对求导，然后运用复合函数求导法则对yx求导，最后将结果整理，得到隐函数的导数fx分段函数的复合函数求导识别分段函数首先，确认被求导的函数是分段函数，并找出分段点确定复合函数观察分段函数的表达式，判断是否存在复合函数结构，例如，一个函数作为另一个函数的自变量分段求导对每个分段函数进行求导，并根据分段点划分求导结果整合结果将分段函数的导数结果按照分段点整合起来，得到最终的导函数例题分段函数的复合函数5求导分段函数的复合函数求导，需要根据分段函数的定义域，分别对每个子函数进行求导例如，对于函数，其复合函数fx={x^2,x0;x,x=0}gx=fx^2的导数为gx={2x,x0;1,x=0}高阶复合函数求导链式法则应用多次应用高阶复合函数求导同样依赖于链需要多次应用链式法则，每次求式法则，通过逐层求导，最终得导都需要对内层函数进行求导，到复合函数的导数并乘以外层函数的导数符号简化可以使用符号简化，例如使用表示一次导数，使用表示二次导数，“”“”以此类推，简化求导过程例题高阶复合函数求导6高阶复合函数求导是指对一个复合函数进行多次求导例如，设函数是一个复合函数，则是其一阶导数，是其二fx fxfx阶导数，以此类推，是其阶导数高阶复合函数求导fnx n通常需要用到连锁求导法则，并结合其他求导技巧例题中，我们以一个具体的例子来说明高阶复合函数求导的步6骤和方法通过这个例子，我们可以更好地理解高阶复合函数求导的原理和应用应用实例最大最小值问题1函数极值优化问题复合函数应用通过求解导数为零的点，可以找到函数的极在实际问题中，常需要找到函数的最优解，复合函数求导可以用来求解含有复合函数的值点，从而确定函数的最大值或最小值例如生产成本最小化，利润最大化等最值问题，例如求解包含多层嵌套函数的极值应用实例相关速度问题2汽车速度飞机速度船只速度假设一辆汽车正在行驶，其速度为每小时飞机的飞行速度可以由飞机的航速和风速决船只在河流中航行时，其速度受水流速度的公里如果汽车的长度为米，那么定如果飞机的航速为公里每小时，影响假设船只在静水中的速度为公60450010汽车完全通过一个米长的隧道需要多风速为公里每小时，那么飞机的实际里每小时，水流速度为公里每小时，那100202长时间？速度是多少？么船只逆流而上的速度是多少？应用实例经济学中的问题3复合函数求导在经济学中有着广泛的应用，例如分析成本、收益和利润之间的关系，计算边际成本、边际收益和边际利润等经济指标通过复合函数求导，可以更准确地预测企业利润的变化趋势，帮助企业制定更合理的生产计划和营销策略总结复合函数求导的三个步骤找到内层函数求导内层函数应用连锁法则识别复合函数的结构，明确内层函数和外层对内层函数求导，得到内层函数的导数将内层函数的导数乘以外层函数的导数，得函数到复合函数的导数复合函数求导的注意事项链式法则应用求导顺序变量替换特殊情况在求导过程中，要时刻注意链求导顺序需严格按照复合函数为了简化求导过程，可以采用对于一些特殊情况，例如分段式法则的应用，特别是对于多的结构，从外层函数开始逐层变量替换法，将复合函数中的函数、隐函数等，需要根据具层复合函数求导，最后再乘以内层函数的内层函数用一个新的变量表体的函数形式进行求导，并注导数示，然后再进行求导意特殊情况的处理复合函数求导的技巧总结识别内层函数链式法则应用

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2.12首先要识别出复合函数中的内牢记链式法则，并将其应用于层函数，这是进行求导的关键求导过程中，将内层函数的导一步数乘以外层函数的导数简化表达练习巩固

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4.34在求导后，可以进行简化，将通过大量的练习，可以熟练掌结果化简成最简洁的形式握复合函数求导技巧，提升解题速度和准确率复习与思考题本节课内容涉及复合函数求导的各个方面，包括定义、性质、运算规则、求导过程、例题解析以及应用实例复习本节课内容，加深对复合函数求导的理解，并将知识运用到实际问题中思考以下问题•如何判断一个函数是否是复合函数？•复合函数求导有哪些需要注意的地方？•如何运用复合函数求导解决实际问题？通过思考和练习，巩固对复合函数求导的掌握，提升解题能力答疑与交流课堂上，我们会留下一些时间供大家提问有任何关于复合函数求导的疑问，请随时提问我们也会分享一些有趣的解题技巧，帮助大家更好地理解和运用复合函数求导。