函数的单调性与导数课件新人教A版选修

函数的单调性与导数函数的单调性是函数变化趋势的重要特征导数是描述函数变化率的工具本节课将探讨函数的单调性与导数之间的关系，并介绍如何利用导数判断函数的单调性函数单调性的概念单调递增单调递减常函数在某个区间内，函数图像始终向上倾斜，即在某个区间内，函数图像始终向下倾斜，即在整个定义域内，函数图像始终为一条水平随着自变量的增大，函数值也随之增大随着自变量的增大，函数值也随之减小线，即函数值保持不变函数单调性的判定条件单调递增函数定义域内任意两个自变量，若较大者对应的函数值也较大，则称函数在该定义域内单调递增单调递减函数定义域内任意两个自变量，若较大者对应的函数值也较小，则称函数在该定义域内单调递减单调性判定条件利用函数的导数可以判断函数的单调性如果函数在某个区间内导数恒大于零，则函数在该区间内单调递增；如果导数恒小于零，则函数在该区间内单调递减函数单调性性质传递性局部性质如果函数在区间上单调递增，那函数的单调性只与函数在该区间I么它在的任何子区间上也单调递内的变化趋势有关，与函数在该I增同样的，单调递减也是如区间外的变化无关此唯一性可加性如果函数在区间上既单调递增又如果两个函数在同一区间上都单I单调递减，那么函数在区间上为调递增（或递减），那么它们的I常数函数和函数也单调递增（或递减）函数单调性的应用函数的单调性在数学、物理、经济等领域都有广泛应用例如，在物理学中，可以利用函数的单调性分析物体的运动轨迹，在经济学中，可以利用函数的单调性分析商品的价格变化趋势通过函数单调性的应用，可以解决很多实际问题，例如，求函数的最值，判断函数的增减性，以及分析函数的图像等函数导数的概念函数导数导数定义12函数导数是指函数在某一点的函数在处导数定义fx x=x0变化率，反映了函数在该点处为△△lim x→0[fx0+x-的变化趋势△fx0]/x几何意义3函数导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线的斜率导数的几何意义导数在几何上代表了函数曲线在某一点的切线的斜率切线的斜率反映了函数在该点变化的快慢程度，也即函数在该点的瞬时变化率导数的性质导数的加减法性质导数的乘法性质导数的除法性质导数的链式法则设函数和在点处设函数和在点处设函数和在点处设函数在点处可fx gx x fx gx xfxgxx u=gxx可导，则fx±gx在点x处可导，则fxgx在点x处也可导，且gx≠0，则导，函数y=fu在点u处可也可导，且fx±gx=fx可导，且fxgx=fxgx fx/gx在点x处也可导，且导，则复合函数y=fgx在±gx+fxgx fx/gx=fxgx-点x处可导，且y=fugxfxgx/gx²导数的计算基本公式法1利用基本导数公式，直接求导•常数函数的导数为0•幂函数的导数•指数函数的导数•对数函数的导数•三角函数的导数导数运算法则2利用导数的四则运算性质，求导•和差法则•积法则•商法则•链式法则其他方法3利用隐函数求导、参数方程求导等方法复合函数的导数复合函数是指由两个或多个函数复合而成的函数例如，函数y=x^2+1^3，其中x^2+1和x^3都是函数，它们复合在一起形成了复合函数y复合函数的导数是指复合函数的导数，它可以用来求解复合函数的极值、单调性等问题例如，我们可以用复合函数的导数来求解函数y=x^2+1^3的极值链式法则1复合函数的导数等于内层函数的导数乘以外层函数的导数求解步骤

21.确定内层函数和外层函数

2.求解内层函数的导数

3.求解外层函数的导数

4.将内层函数的导数和外层函数的导数相乘实际应用3复合函数的导数在物理、化学、经济学等领域有广泛的应用，例如，可以用来求解物体的速度、加速度等问题隐函数的导数隐函数是指无法用显式表达式表示的函数，通常用方程的形式表示例如，圆的方程，其中是的隐函数y=fx x²+y²=1y x方程两边求导1对隐函数方程两边同时求导，注意是的函数，因此要使用链式法则y x整理2将导数整理成的表达式y求解3根据需要解出的值，得到隐函数的导数表达式y隐函数求导的关键在于将看作的函数，并应用链式法则进行求导，最后整理得到的表达式y xy高阶导数定义求法符号应用函数的阶导数是其阶导对函数进行多次求导，每次求用表示函数的阶高阶导数在物理、化学、工程n n-1f^nx fxn数的导数，也称为高阶导数导的阶数增加，即阶导导数等领域都有应用，例如在计算1n数运动轨迹、分析曲线性质等函数的最值问题最大值最小值极值最值问题在函数定义域内，函数取得的在函数定义域内，函数取得的函数在定义域的某个邻域内取求函数在给定区间上的最大值最大值最小值得的最大值或最小值，称为函或最小值，是数学中一个重要数的极值的应用问题函数的单调性和极值单调性与极值的关系极值的概念函数的单调性与极值之间存在密切联系当函数在某点取得极值函数的极值是指函数在某点取得的最大值或最小值，称为该点的时，其单调性会发生改变极大值或极小值例如，函数在极大值点处，单调性由增变为减，而在极小值点函数的极值点是指函数取得极值的点处，单调性由减变为增函数图像的描绘利用函数的单调性、极值、凹凸性、拐点等性质，可以描绘函数的图像通过图像可以直观地了解函数的性质，例如函数的单调区间、极值点、拐点等利用图像可以发现函数的某些规律，例如函数的周期性、对称性等在实际应用中，函数图像的描绘可以帮助我们理解和分析函数的行为函数的凹凸性凹函数凸函数凹凸性判定图形向上弯曲图形向下弯曲通过二阶导数的符号来判断•二阶导数小于0•二阶导数大于0点的极值性质极大值点极小值点12函数在极大值点处，其导数为函数在极小值点处，其导数也零，或导数不存在为零，或导数不存在导数与极值的关系应用34函数的极值点可能是导数为零利用导数的性质，可以帮助我的点，但也可能是导数不存在们找到函数的极值点，从而判的点断函数的极值拐点及其判定拐点的定义1拐点是指函数图像上曲线的凹凸性发生改变的点，它表示函数的二阶导数从正变负或从负变正拐点判定的条件2•二阶导数在拐点处等于零或不存在•二阶导数在拐点处变号拐点判定的方法3通过求解函数的二阶导数，找到二阶导数等于零或不存在的点，并判断二阶导数在这些点附近的符号变化来确定拐点微分中值定理基本概念重要性微分中值定理描述了可导函数在它是微积分学中一个重要的定闭区间上的平均变化率与该函数理，是许多其他定理的基础，例在该区间内某一点处的导数之间如泰勒公式和积分中值定理的关系应用微分中值定理在许多数学领域都有应用，例如证明函数的性质、求函数的最值和估计函数的值罗尔定理定理条件定理结论几何解释在一个闭区间上连续，在开区间上可导，并在开区间内至少存在一点，使函数在该点的罗尔定理表明，如果一个函数在两个端点处且函数在区间端点处取值相等导数为零取值相等，则在函数图像的两个端点之间至少存在一个点，该点的切线平行于轴x中值定理Lagrange定理内容如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那fx[a,b]a,b么在内至少存在一点，使得a,bξfb-fa=fξb-a几何意义直观上，中值定理表明，在一段连续的曲线上的某一点Lagrange中值定理的几何意义是，在函数图象上任意两点Lagrange Aa,处，切线的斜率等于该曲线两端点连线的斜率和之间，存在一点，使得过点的切线平fa Bb,fb Cξ,fξC行于过、两点的割线A B导数的应用求解函数的最值研究函数的单调性与凹凸性利用导数求解函数的最值，可以应用于优化问题，如求解最优生导数可以帮助我们分析函数的单产方案、最大利润、最小成本调性和凹凸性，从而描绘函数图等像，并预测函数在特定区间内的行为解决实际问题探索函数的性质导数可以应用于物理学、经济导数可以揭示函数的性质，例如学、工程学等领域，解决诸如运函数的连续性、可导性、极值动学、经济增长、材料强度等实点、拐点等，帮助我们深入理解际问题函数的本质常用初等函数导数公式幂函数指数函数对于任何实数，n x^n=nx^n-1a^x=a^x*lna对数函数三角函数log_ax=1/x*lna sinx=cosx,cosx=-sinx,tanx=sec^2x导数的实际应用导数在物理学、经济学、工程学等领域有着广泛的应用例如，物理学中用导数来描述速度、加速度、动量等物理量经济学中用导数来分析成本、利润、需求等经济问题在工程学中，导数可以用来优化设计、控制系统、预测结果等导数的应用使我们能够更深入地理解和解决实际问题导数的应用实例速度与加速度最优化问题

11.

22.导数可用于计算物体的速度和导数可用于找到函数的最大值加速度，这是物理学中的重要和最小值，例如，在经济学概念中，可以使用导数来找到利润最大化或成本最小化的生产水平经济学其他领域

33.

44.导数可用于分析经济模型，例导数在许多其他领域都有应如，可以用于计算边际成本、用，例如工程学、计算机科边际收益和边际利润学、生物学和化学函数的优化问题函数优化问题解决优化问题函数优化问题是指在给定条件下寻找函数的最值问题利用导数的性质和极值概念解决函数优化问题函数优化问题在工程、经济、管理等领域都有广泛应用通过求函数的导数和极值，可以找到函数的最值优化问题的解决思路建立目标函数

1.根据实际问题，确定要优化的量，并将其表示为一个函数，称为目标函数确定约束条件

2.根据实际问题，确定目标函数的定义域，即自变量的取值范围，以及其他限制条件求解目标函数

3.利用导数等数学方法，求出目标函数的最值，即最大值或最小值验证解的合理性

4.将求得的最值代入实际问题中，检验其是否满足所有约束条件，并判断其是否符合实际意义函数图像描绘综合案例函数图像描绘需要综合运用函数单调性、极值、凹凸性、拐点等知识，这是一个非常重要的应用领域通过结合实际案例，我们可以更深入地理解和运用这些知识函数图像描绘可以帮助我们更好地理解函数的性质，并能将其应用到实际问题中函数单调性与导数知识总结函数单调性导数

11.

22.函数单调性描述函数值随自变导数是函数变化率，反映函数量变化趋势单调递增函数值在某一点的变化趋势导数的随自变量增大而增大，单调递正负决定函数的单调性，导数减函数值随自变量增大而减为零的点可能是极值点小应用

33.利用导数可以求函数的单调区间、极值、最值，以及函数图像的凹凸性、拐点等，广泛应用于实际问题求解中复习与思考本节课学习了函数的单调性和导数，它们是微积分的基础，在理解函数的性质和应用中起着至关重要的作用通过学习，我们了解了函数单调性的概念和判定条件，以及如何利用导数来判断函数的单调性我们还学习了导数的几何意义和性质，以及如何计算导数通过学习，我们可以更好地理解函数的性质和应用，并能够利用这些知识解决实际问题课堂练习函数单调性导数与极值函数图像描绘优化问题判断函数的单调区间并进行相利用导数求函数的极值，并确利用单调性、极值、凹凸性等利用导数解决实际问题中的优关计算定极值点的坐标信息描绘函数图像化问题。