函数的单调性与最值课件

函数的单调性与最值函数的单调性是指函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值的变化趋势最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值单调性的定义单调递增函数单调递减函数在函数定义域内，如果自变量的值增大，函数值也随之增大，则称该函数为在函数定义域内，如果自变量的值增大，函数值随之减小，则称该函数为单单调递增函数调递减函数单调递增函数与单调递减函数单调递增函数单调递减函数单调函数的图像在函数定义域内，如果自变量的值增在函数定义域内，如果自变量的值增单调递增函数的图像从左到右不断上大，函数的值也随之增大，则称该函数大，函数的值随之减小，则称该函数为升，单调递减函数的图像从左到右不断为单调递增函数单调递减函数下降单调性的判定方法定义法1利用定义直接判断函数在某个区间上的单调性导数法2利用函数的导数判断函数在某个区间上的单调性图像法3利用函数的图像直接观察函数在某个区间上的单调性这些方法各有优劣，需要根据具体问题选择合适的方法单调性与定义域定义域的重要性定义域的限制12定义域是函数存在的范围，也定义域的范围限制了函数的变是确定函数单调性的基础化趋势，影响着单调性的判定分段函数的定义域单调性与定义域的关系34分段函数的定义域需分别考虑单调性是指函数在定义域内变每个定义域区间的单调性化趋势，两者不可分割单调性与连续性连续性单调性单调性与连续性连续函数图像没有间断点，可以平滑地绘单调函数在定义域内，函数值随自变量的变连续函数的单调性可以通过观察其图像来判制化而单调变化断，在定义域内，函数值随自变量的变化而单调变化，图像没有间断点单调性与奇偶性奇函数与单调性偶函数与单调性应用奇函数关于原点对称，在定义域内若某区间偶函数关于y轴对称，在定义域内若某区间理解单调性与奇偶性的关系有助于分析函数上单调递增，则其关于原点对称的区间上单上单调递增，则其关于y轴对称的区间上也性质，并可应用于解题调递减，反之亦然单调递增，反之亦然单调性与最大值与最小值最大值最小值单调性与最值单调递增函数在定义域的右端点处取得最大单调递增函数在定义域的左端点处取得最小通过观察函数图像，可以直观地判断函数的值，单调递减函数在定义域的左端点处取得值，单调递减函数在定义域的右端点处取得单调性以及最大值和最小值最大值最小值极值的定义最大值最小值函数在某个区间内取得的最大值，称函数在某个区间内取得的最小值，称为函数在该区间的最大值为函数在该区间的最小值函数在某个区间内取得的最大值或最小值，称为该函数在该区间的极值极值的判定方法定义法1直接比较函数值导数法2利用导数判断函数的单调性图像法3通过函数图像识别极值点极值是指函数在某个点附近的最大值或最小值判定极值点的方法主要有三种定义法、导数法和图像法定义法比较简单，直接比较函数值即可导数法利用导数判断函数的单调性，当导数为零或不存在时，函数可能存在极值点图像法通过函数图像识别极值点，比较直观极值的几何意义函数的极值点对应着函数图像的最高点或最低点在图像上，极值点是函数图像从递增到递减或从递减到递增的转折点极值点是函数图像的转折点，也是函数图像切线的斜率为0的点函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值函数的最大值和最小值可能存在，也可能不存在如果函数在定义域内取得最大值和最小值，那么这两个值就是函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值可以用多种方法求解，例如用导数方法，用图像法，用代数方法等具体的求解方法取决于函数的形式和问题的要求最大值和最小值的确定方法定义域1确定函数定义域，即函数可以取值的范围求导2求函数的一阶导数，并找到导数为零或不存在的点判别3根据导数的正负号变化，判断函数的单调性，从而确定最大值和最小值单调递增递减函数的最大值与最小值/单调递增函数单调递减函数

11.

22.单调递增函数在定义域内，随着自变量的增大，函数值也随单调递减函数在定义域内，随着自变量的增大，函数值也随之增大之减小最大值最小值

33.

44.单调递增函数在定义域的右端点处取得最大值，单调递减函单调递增函数在定义域的左端点处取得最小值，单调递减函数在定义域的左端点处取得最大值数在定义域的右端点处取得最小值单调函数的最值问题单调递增函数单调递减函数当增大时，函数值也随之增大，当增大时，函数值也随之减小，x x在定义域内函数只有一个最小在定义域内函数只有一个最大值，即函数在定义域左端点的函值，即函数在定义域左端点的函数值数值单调性与最值单调性可以帮助我们快速确定函数的最值，简化解题过程几何最值问题最大面积最大体积最短距离固定周长情况下，求解最大面固定表面积情况下，求解最大求点到直线或点到平面的最短积的几何图形例如，给定一体积的几何图形例如，给定距离，以及点到曲线或点到曲个周长为C的长方形，求其最一个表面积为S的圆柱体，求面的最短距离等问题大面积其最大体积经济最值问题利润最大化成本最小化投资回报率最大化企业通过优化生产成本和销售策略，寻求利企业通过优化资源配置和采购策略，降低生投资者通过合理的投资组合和风险管理，追润最大化，从而实现可持续发展产成本，提高经济效益求投资回报率最大化，实现投资目标物理最值问题物理定律应用物理学中，许多问题可以用函数来描述，例如抛射运动的轨迹，电路中的电流变化等优化问题通过求解函数的最值，可以找到物理量最优状态，例如，最大射程、最小功耗、最短时间等物理模型物理最值问题通常涉及到建立物理模型，将实际问题转化为数学问题进行求解最值问题的解决步骤

1.确定定义域确定函数的定义域，即函数可以取值的范围

2.求导对函数进行求导，得到函数的一阶导数

3.寻找驻点将导数函数设置为零，求解方程，找到函数的驻点

4.确定单调性通过导数的符号判断函数的单调性，确定函数的单调递增或递减区间

5.检验端点检验函数定义域的端点，判断是否为函数的最大值或最小值

6.确定最值综合以上步骤，确定函数的最大值或最小值及其取值点一函数有多个极值点的情况极值点的出现极值点的判断12一个函数在定义域内可能存在我们可以通过函数导数的符号多个极值点，这些极值点可以变化来判断极值点的存在，并是最大值点或最小值点通过一阶导数为零或不存在的点来确定极值点极值点的分类求解多个极值点34极值点可以分为局部极值点和我们可以通过求解函数导数的全局极值点，局部极值点是在零点来确定极值点，然后通过某个邻域内的最大值或最小值比较各个极值点的函数值来确点，而全局极值点是在整个定定最大值和最小值义域内的最大值或最小值点极值点不在定义域内的情况定义域限制边界点分析函数的定义域决定了其取值范围，因此极在分析极值点时，需要考虑函数定义域的值点必须位于定义域内如果极值点不在边界点，因为它们可能是函数的极值点定义域内，则该点不是函数的极值点函数的图像与单调性和最值的关系函数图像的形态反映了函数的单调性和最值单调递增函数的图像向上倾斜，单调递减函数的图像向下倾斜函数的极值点对应图像的拐点通过观察函数图像，可以直观地判断函数的单调区间和极值点这对于理解函数性质和解决相关问题非常重要单调性和最值在数学分析中的应用函数性质分析优化问题单调性与最值是函数的重要性单调性与最值在求解优化问题中质，可用来分析函数的性质，例发挥重要作用，例如求函数的最如判断函数的增长趋势、确定函大值、最小值、最优解等数的取值范围、研究函数的极值等证明定理数学模型单调性与最值常用于证明数学定单调性和最值可用于建立数学模理，例如证明函数的连续性、可型，例如在经济学中用于分析成导性等本、收益、利润等问题单调性和最值在物理、经济等学科中的应用物理学经济学12单调性和最值可以应用于分析物理现象，比如研究物体的运例如，我们可以用单调性和最值来分析企业的成本、利润、动轨迹、能量变化等市场份额等经济变量的变化趋势工程学其他学科34在工程设计中，我们需要考虑材料强度、结构稳定性等问单调性和最值在其他学科领域，比如生物学、化学、计算机题，单调性和最值可以帮助我们找到最优设计方案科学等，也具有重要的应用价值单调性和最值的应用案例分析优化问题物理学经济学寻找最优解，例如优化生产成研究物理现象，例如力学、热分析经济现象，例如市场供本、最大化利润、最小化风险学、光学等应用单调性分析求、价格变动、投资回报率等应用单调性分析函数变化物理量变化规律，找到最值等应用单调性分析经济指标趋势，找到极值点，确定最优点，解释物理现象变化趋势，找到极值点，预测解经济走势单调性和最值的学习方法与技巧练习图像分析思考与总结与同学讨论多做练习可以巩固知识，掌握通过函数图像，更直观地理解思考函数的性质，总结规律，交流学习心得，互相启发，共解题技巧单调性、最值，加深理解提升分析问题的能力同进步本章知识要点总结函数的单调性单调递增函数单调性描述函数值随自变量变化自变量增大时，函数值也增大的趋势单调递减函数函数的最值自变量增大时，函数值减小函数在定义域内取得的最大值或最小值本章习题精讲典型例题解析易错题分析拓展练习习题答案解析精选本章核心知识点相关的例针对学生易错的题目进行详细提供扩展性的练习题，引导学对所有习题提供详细的答案解题，深入讲解解题思路和技分析，帮助学生识别错误原生深入思考，巩固所学知识，析，帮助学生理解解题过程，巧，帮助学生掌握解题方法因，避免类似错误再次发生提升解题能力并进行自我评价思考与探讨单调性与最值是函数的重要性质，在数学分析、物理、经济学等领域有着广泛的应用在学习过程中，要注重理解概念，掌握方法，并进行大量的练习在实际应用中，我们可能会遇到一些函数的最值问题，需要结合具体问题，灵活运用单调性和最值的知识来解决例如，我们可以使用单调性来判断函数在某个区间上的单调性，并以此来求得函数的最大值或最小值此外，我们还可以通过函数的图像来直观地理解单调性和最值之间的关系，并通过观察图像来判断函数的单调性、最值以及极值点的存在与否在学习过程中，要注重思考和探讨，积极提问，并与他人交流通过不断地思考和探讨，可以加深对单调性和最值的理解，提高解决问题的能力课后作业巩固练习拓展应用

11.

22.完成教材中的习题，巩固对单调性和最值的理解，并练习运尝试将单调性和最值应用到其他学科领域，例如物理、经济用相关知识解决问题等，并思考其应用方法和技巧思考与探讨查阅资料

33.

44.深入思考单调性和最值的相关概念和应用，并与同学进行讨查阅相关书籍或网站，了解单调性和最值在数学史上的发展论，共同提升学习效果和应用，拓展知识面。