函数的奇偶性和单调性-课件

函数的奇偶性和单调性函数的奇偶性和单调性是重要的函数性质，它们描述了函数图像的形状和对称性奇偶性描述了函数图像关于原点对称性，而单调性描述了函数图像的增长或下降趋势函数的奇偶性奇函数偶函数奇函数是指满足f-x=-fx的函偶函数是指满足f-x=fx的函数这意味着函数关于原点对称数这意味着函数关于y轴对称判断方法应用可以使用函数定义式或图像对称了解函数的奇偶性可以帮助简化性来判断函数的奇偶性计算并分析函数的性质奇函数的定义奇函数是指定义域关于原点对称，且满足f-x=-fx的函数简单来说，奇函数的图像关于原点对称奇函数的定义是函数性质研究的重要内容之一，对于理解和应用奇函数的性质至关重要偶函数的定义对于定义域关于原点对称的函数fx，如果对于定义域内的任意x，都有f-x=fx，那么称函数fx为偶函数偶函数的图像关于y轴对称偶函数的定义要求函数的定义域关于原点对称，并且对于定义域内的任意x，都有f-x=fx这意味着偶函数在x轴的正半轴和负半轴上的值相等一些常见函数的奇偶性线性函数二次函数正弦函数余弦函数线性函数通常是奇函数，例如y二次函数通常是偶函数，例如y正弦函数是奇函数，例如y=余弦函数是偶函数，例如y==x=x^2sinx cosx判断函数奇偶性的方法定义法1根据奇函数和偶函数的定义进行判断图像法2观察函数图像关于原点或y轴的对称性代入法3利用函数表达式进行代入验证判断函数奇偶性，首先需要了解奇函数和偶函数的定义其次，可以借助函数图像观察其对称性最后，可以通过代入法验证函数是否满足奇函数或偶函数的定义函数的单调性定义应用函数单调性描述了函数值随自变量变化的趋势若函数值随自变函数单调性是研究函数性质的重要工具，可以帮助我们理解函数量的增大而增大，则函数为单调递增函数；若函数值随自变量的的图像、求解方程和不等式，以及预测函数的变化趋势增大而减小，则函数为单调递减函数单调递增函数的定义在定义域内，如果函数的自变量增大时，函数的值也随之增大，那么这个函数就叫做单调递增函数单调递增函数的图形从左到右始终向上倾斜，这意味着当自变量的值越来越大时，函数的值也会越来越大例如，函数fx=x^2在x0的区间内就是一个单调递增函数当x的值逐渐增大时，fx的值也会逐渐增大单调递减函数的定义在函数定义域内，如果自变量的值增大，函数的值总是减小，那么这个函数叫做单调递减函数换句话说，对于函数定义域内的任意两个自变量x1和x2，如果x1x2，那么fx1fx2函数单调性的检验定义法1利用单调递增或递减的定义进行判断，比较函数值的大小关系导数法2对于可导函数，利用导数符号判断函数的单调性图形法3观察函数图像，判断函数在不同区间上的单调性函数单调性检验是数学分析中的重要概念，也是研究函数性质的基础通过三种方法定义法、导数法和图形法，我们可以准确地判断函数在特定区间的单调性一些常见函数的单调性一次函数二次函数12一次函数y=kx+b k≠0，当k0时，函数单调递增；当二次函数y=ax²+bx+c a≠0，当a0时，函数在对称k0时，函数单调递减轴右侧单调递增，在对称轴左侧单调递减；当a0时，函数在对称轴右侧单调递减，在对称轴左侧单调递增指数函数对数函数34指数函数y=a^x a0且a≠1，当a1时，函数单调递对数函数y=log ax a0且a≠1，当a1时，函数单调增；当0a1时，函数单调递减递增；当0a1时，函数单调递减函数的奇偶性和单调性研究的重要性函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质它们可以帮助我们更好地理解函数的行为，并能用于解决一些实际问题例如，在物理学中，我们可以用函数的奇偶性和单调性来描述物体的运动规律在经济学中，我们可以用函数的奇偶性和单调性来分析商品的价格变化规律函数的奇偶性和单调性是数学学习中重要的基础知识，也是后续学习微积分等高等数学知识的重要基础奇函数和偶函数的性质奇函数的对称性偶函数的对称性奇函数与积分偶函数与积分奇函数图像关于原点对称，即偶函数图像关于y轴对称，即奇函数在对称区间上的定积分偶函数在对称区间上的定积分图像关于y轴和x轴对称图像关于原点对称值为0值为定积分值的两倍奇函数和偶函数的运算奇函数的加减运算奇函数的乘法运算

1.

2.12奇函数的和、差仍然是奇函数.奇函数的积仍然是奇函数.偶函数的加减运算偶函数的乘法运算

3.

4.34偶函数的和、差仍然是偶函数.偶函数的积仍然是偶函数.奇函数与坐标变换奇函数关于原点对称，如果将奇函数的图像沿y轴翻转，再沿x轴翻转，图像重合奇函数的图像可以看作是关于原点对称的两个部分偶函数与坐标变换对称性坐标变换平移变换偶函数的图像关于y轴对称对称性体现了通过坐标变换，可以将偶函数的图像变换到将偶函数的图像沿y轴平移，其对称性保持偶函数的重要性质其他位置坐标变换可以帮助我们更好地理不变平移变换不会改变函数的奇偶性解函数的性质单调函数的性质唯一性反函数的存在性单调函数在定义域内，每个自变量值对应唯一函数值，即“一值对单调函数在定义域内，存在唯一反函数，满足反函数的自变量是应一值”原函数的函数值，反函数的函数值是原函数的自变量单调函数的运算加减运算乘除运算两个单调函数的加减运算结果仍然是单调函数，但需要注意的是，两个单调函数的乘除运算结果的单调性与函数的单调性以及正负号单调性可能发生改变相关联，需要仔细分析判断复合运算求反函数两个单调函数复合后的单调性取决于两个函数的单调性和复合的顺单调函数存在反函数，反函数的单调性与其原函数的单调性相反序单调函数与坐标变换单调函数与坐标变换密切相关通过坐标变换可以直观地观察单调函数的变化规律例如，对于一个单调递增函数，当我们对自变量进行平移或伸缩变换时，函数图像也会随之变化，但其单调性不会改变函数图像的分析函数图像的分析可以帮助我们更直观地理解函数的性质通过观察函数图像，我们可以确定函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、最大值、最小值以及拐点等重要信息利用这些信息，我们可以更好地分析函数的性质，并解决一些实际问题例如，我们可以利用函数图像来判断函数的单调区间和极值点同时，也可以根据函数图像来求解函数的方程和不等式此外，函数图像的分析还可以应用于物理、化学、生物等领域函数单调区间的确定定义法1根据单调函数的定义，判断函数在某个区间上是否满足单调性，从而确定单调区间导数法2利用导数的符号判断函数的单调性，从而确定函数的单调区间导数大于零，函数单调递增；导数小于零，函数单调递减图像法3通过观察函数图像，直观地判断函数的单调区间函数图像上升，函数单调递增；函数图像下降，函数单调递减函数奇偶性的判断定义法利用函数奇偶性的定义进行判断，即判断f-x与fx的关系图像法观察函数图像关于y轴或原点对称性来判断，对称于y轴的为偶函数，对称于原点的为奇函数表达式法通过函数表达式直接判断，观察函数表达式中是否只包含偶次项或只包含奇次项函数单调性的应用优化问题图像分析方程求解在许多实际问题中，我们需要找到函数的最单调性可以帮助我们分析函数图像的形状，单调性可以帮助我们判断方程的解的个数和大值或最小值，单调性可以帮助我们确定函例如确定函数的拐点、凹凸性等范围，例如用二分法求解方程数的极值点函数图像的绘制确定函数定义域根据函数表达式判断函数的定义域，这是一个关键步骤，确保图像只绘制在定义域范围内确定函数的奇偶性奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称判断奇偶性可以帮助我们更快地绘制图像确定函数的单调性通过求导或其他方法，判断函数的单调递增或递减区间，以便准确地描绘图像的走势找到关键点例如，函数的零点，极值点，拐点等，这些关键点可以帮助我们更准确地绘制图像连接关键点根据函数的性质和关键点，将关键点用平滑的曲线连接起来，绘制出完整的函数图像综合应用题1例1已知函数fx=x^2-1/x+1，求fx的定义域、奇偶性、单调性、值域，并画出函数图像解

1.定义域x+1≠0，所以定义域为{x|x≠-1}

2.奇偶性f-x=-x^2-1/-x+1=x^2-1/x-1≠fx或-fx，所以fx既不是奇函数也不是偶函数

3.单调性令y=x^2-1/x+1，则yx+1=x^2-1，所以x^2-xy-y-1=0，即x-y/2^2=y^2/4+y+1当y=0时，x=-1，所以fx在x=-1处有间断点，且x≠-1时，y^2/4+y+10，所以x=y/2±√y^2/4+y+1，可以看出fx在x≠-1处单调递增

4.值域由fx的表达式可以看出，当x-1时，fx0，当x-1时，fx0，且fx在x=-1处有间断点，所以fx的值域为-∞,0∪0,+∞

5.图像由于fx在x=-1处有间断点，且fx在x≠-1处单调递增，所以fx的图像为一条开口向上的抛物线，且在x=-1处有间断点综合应用题2设函数fx=ax^3+bx^2+cx+d是奇函数，且在区间0,1上单调递增求a，b，c，d的取值范围先利用奇函数的性质f-x=-fx求出b和d的关系再利用单调递增函数的性质fx0求出a，b，c的关系最后结合题目条件求出a，b，c，d的取值范围通过分析函数的奇偶性和单调性，可以得到函数的性质和图像信息，从而解决实际问题函数奇偶性和单调性的重要性图像分析方程求解应用题解决理解函数的奇偶性和单调性可以帮助我们更奇偶性和单调性可以帮助我们简化方程的求许多数学应用问题中涉及到函数的奇偶性和好地分析函数图像，例如，确定函数的单调解过程，例如，利用奇函数的对称性，可以单调性，例如，用函数模型来描述实际问题区间、对称轴等，从而更深入地了解函数的将方程转化为更简单的方程，需要根据问题的实际情况判断函数的奇偶性质性和单调性本课重点总结奇函数偶函数单调函数应用定义f-x=-fx定义f-x=fx定义在定义域内，函数值随函数奇偶性和单调性可以用来自变量的增大而增大或减小判断函数图像的形状、求解函性质图像关于原点对称性质图像关于y轴对称数的极值、判断函数的单调区间运算奇函数的和、差、积仍运算偶函数的和、差、积仍性质单调递增函数的图像向为奇函数为偶函数上倾斜，单调递减函数的图像向下倾斜课后思考题

1.如何将奇函数和偶函数的定义推广到多变量函数？

2.单调函数在实际生活中的应用有哪些？

3.如何利用函数的奇偶性和单调性来分析函数图像？参考资料教材网站视频•高等数学•数学教育网站•在线数学课程•数学分析•大学课程网站•教学视频。