函数的最值-课件

函数的最值函数的最值是指函数在某个区间上的最大值或最小值在实际应用中，函数的最值问题非常普遍，例如，求解一个产品的最大利润、最小成本等课程目标理解最值概念掌握导数求最值方法掌握函数最大值和最小值的定义运用导数知识，通过求导判断函，了解它们在实际问题中的应用数的最值，并进行相应的求解熟悉最值性质和应用练习最值相关问题了解最值的一些重要性质，并能通过大量的练习，巩固对最值概运用这些性质解决实际问题念和求解方法的理解什么是函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值最大值是指函数在定义域内取得的最大函数值，最小值是指函数在定义域内取得的最小函数值函数的最值在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如，寻找最佳的生产方案、设计最优的结构等最大值和最小值的定义最大值最小值在函数图像中，函数的最大值指的是函数取到的最高点，即y坐标函数的最小值指的是函数取到的最低点，即y坐标最小的点最大的点利用导数判断最值求导数1找到函数的一阶导数，表示函数的斜率令导数为零2找到导数为零的点，称为临界点求二阶导数3判断临界点的类型，是最大值还是最小值判断边界4考虑函数定义域的边界，检查是否有最值利用导数可以帮助我们找到函数的最值，无论是最大值还是最小值通过求导数，我们可以找到函数的临界点，这些点可能是最值点然后通过二阶导数判断临界点是最大值还是最小值最后还需要考虑函数定义域的边界，确保没有遗漏最值点最大值和最小值的性质最大值最小值12函数在定义域内所有值中最大函数在定义域内所有值中最小的值被称为最大值的值被称为最小值唯一性存在性34函数的最大值和最小值不一定并非所有函数都存在最大值和唯一，可能存在多个点取得相最小值，例如定义域为所有实同的最大值或最小值数的线性函数判断最值的步骤确定定义域1确定函数定义域求导数2求函数的一阶导数求驻点3解导数为零的方程判断最值4利用导数和函数的性质示例寻找最大值1:该示例展示了如何使用导数来寻找函数的最大值我们首先找到函数的导数，并令导数等于零然后求解方程，得到函数的临界点最后，我们比较函数在临界点和端点上的值，找到最大值在实际应用中，我们可以使用此方法来解决各种问题，例如寻找最优生产方案示例寻找最小值2:函数最小值导数判断求解函数最小值，可以使用导数方法找到函数的临界点，并判断通过导数判断函数的增减性，可以确定函数最小值点的位置其是否为最小值示例实际应用问题3:函数的最值在实际应用中有着广泛的应用例如，在生产管理中，需要确定最佳产量以最大化利润；在工程设计中，需要确定最佳参数以最小化材料消耗；在金融投资中，需要确定最佳投资组合以最大化收益率这些实际问题往往可以转化为求函数的最值问题，通过利用导数等工具来解决补充绝对值函数的最值:绝对值函数图像最值定义域为所有实数，值域为非负实数图像关于y轴对称，在x轴上方绝对值函数的最小值为0，没有最大值实操练习1练习1旨在帮助学生巩固函数最值的定义和求解方法学生需要根据题目中给出的函数表达式，运用导数求解函数的最大值或最小值练习题的设计涵盖不同类型的函数，例如一次函数、二次函数、三角函数等，以帮助学生全面掌握函数最值的知识实操练习2已知函数fx=x^3-3x^2+2，求该函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值实操练习3求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值实操练习4求函数fx=x3-3x2+2在区间[0,2]上的最大值和最小值实操练习5本题考察了利用导数求函数最值的知识点在实际问题中，我们需要先将问题转化为求函数最值的问题，再运用导数方法求解在求解过程中，要注意对函数定义域进行限制，以及判断最值是否存在练习求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最大值和最小值函数的局部最值定义举例局部最值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值例如，函数在某一点的左侧和右侧都比该点小，则该点是函数的局部最小值利用一阶导数判断局部最值导数为零或不存在1函数的局部最值点可能出现在导数为零或不存在的点上导数符号变化2如果函数的导数在最值点附近从正变负，则该点为局部最大值点反之，则该点为局部最小值点验证最值3需要进一步验证最值点是否为局部最值点，可以使用二阶导数或其他方法利用二阶导数判断局部最值二阶导数符号如果函数在某点处的二阶导数大于零，则该点为局部最小值二阶导数符号如果函数在某点处的二阶导数小于零，则该点为局部最大值二阶导数为零如果函数在某点处的二阶导数为零，则该点可能为局部最值，也可能不是无法判断需要进一步判断函数在该点附近的单调性才能确定最值示例求局部最值4利用导数判断函数的局部最值，需要先找到导数为零的点，即驻点这些点可能是局部最值点，也可能不是我们需要利用二阶导数或者其他方法来判断驻点是否为局部最值点例如，函数fx=x³-3x²+2在x=0和x=2处有驻点但只有在x=0处为局部最大值，在x=2处为局部最小值因为二阶导数在x=0处为负数，在x=2处为正数示例应用实例5:函数的最值在实际应用中非常常见例如，在经济学中，我们可以使用函数来描述利润、成本和收入我们可以使用函数的最值来找到最大利润或最小成本在物理学中，我们可以使用函数来描述运动轨迹，我们可以使用函数的最值来找到最高点或最低点实操练习6请根据函数的导数和二阶导数来判断函数的局部最值在解题时，需要先求出函数的一阶导数和二阶导数，然后利用导数的符号变化来判断函数的单调性如果函数的一阶导数在某点为0，则该点可能是函数的极值点利用二阶导数的符号来判断该点是极大值点还是极小值点实操练习7求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,2]上的全局最大值和最小值首先，求函数的一阶导数，并令其等于零，求出驻点然后，计算函数在驻点和区间端点的值，并比较大小，从而确定全局最大值和最小值实操练习8本练习旨在巩固函数局部最值的概念和判断方法通过求解给定函数的局部最值，加深对相关理论的理解和应用练习内容包含求解函数的临界点，并运用一阶和二阶导数判定这些临界点是否是局部最值，以及判断局部最值的类型，例如是局部最大值还是局部最小值通过完成本练习，学生可以掌握识别和判断函数局部最值的方法，并培养解决实际问题的能力，例如在经济学和工程学中，寻找最佳方案通常需要找到函数的局部最值函数的全局最值定义寻找方法在函数定义域内，函数取得的最可以通过比较函数在极值点和边大值或最小值称为函数的全局最界点处的函数值来找到函数的全值，也称为绝对最值局最值应用在实际问题中，全局最值常用来解决优化问题，例如寻找生产成本最低或利润最高时的产量全局最大值和最小值的性质全局最大值全局最小值在函数定义域内，如果存在一个点，使得在函数定义域内，如果存在一个点，使得函数值大于等于其他所有点的函数值，那函数值小于等于其他所有点的函数值，那么该点对应的函数值为全局最大值么该点对应的函数值为全局最小值示例求全局最值6:全局最值示例全局最值求解步骤假设函数fx在区间[a,b]上连续，并已知其在该区间内存在极值点c要确定全局最值，需要比较函数在区间端点和极值点的函数值，并则函数fx在区间[a,b]上的全局最大值或最小值可能出现在以下选取其中最大或最小的值位置*区间端点a或b*极值点c实操练习9求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的全局最值首先，求函数的一阶导数，并令其等于0，得到临界点x=0和x=2然后，将临界点和区间端点代入函数fx中，比较函数值的大小f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2因此，函数fx在区间[-1,3]上的全局最大值为2，全局最小值为-2实操练习10请找到函数fx=x^3-3x^2+2的全局最值您需要使用本节课所学的知识，包括求导、判断最值、比较大小等，来解决此问题请您仔细分析函数的性质，并在练习过程中记录您的思路和步骤，以便更好地理解和掌握求函数最值的技巧本章小结本节课我们学习了函数的最值问题掌握了利用导数求解最大值和最小值的方法了解了全局最值和局部最值的定义及求解方法。