函数的极限-课件

函数的极限函数的极限是微积分中的一个重要概念它描述了当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于什么值

一、函数的极限概念直观理解数学定义当自变量无限接近于某个值函数的极限是通过极限符号时，函数值无限接近于一个来定义的，表示当自变量无常数，这个常数就是函数的限接近于某个值时，函数值极限无限接近于一个常数重要性函数的极限是微积分的基础，是研究函数变化趋势的关键概念极限的定义函数极限的定义图形化理解ε-δ定义函数极限的定义是描述当自变量无限函数图像上点的横坐标无限接近某一ε-δ定义是极限的精确定义，通过设置接近某一个值时，函数值无限接近一个值时，纵坐标无限接近一个特定值和，可以控制函数值与特定值之间εδ个特定值的趋势，即函数值无限接近该特定值的距离极限的性质加法性质乘法性质极限的和等于和的极限极限的积等于积的极限除法性质常数倍性质极限的商等于商的极限，但分母的极限不常数乘以极限等于极限乘以常数能为零极限的计算规则极限的加减法1两个函数的极限之和等于它们各自极限的和极限的乘除法2两个函数的极限之积等于它们各自极限的积，除法同理极限的复合函数3复合函数的极限可以通过先求内部函数的极限，再求外部函数的极限函数极限的性质函数极限的性质是数学分析中的重要概念它描述了函数在趋近于某个点的行为方式，并为我们提供了对函数行为的深入理解单侧极限

1.左极限

2.右极限

3.极限存在条件123当自变量x从左侧逼近点a时，函当自变量x从右侧逼近点a时，函当且仅当函数fx在点a的左极数值fx趋近于一个确定的值A，数值fx趋近于一个确定的值B，限和右极限都存在且相等时，函则称A为函数fx在点a的左极则称B为函数fx在点a的右极数fx在点a的极限才存在，即限，记作limx→a-fx=A限，记作limx→a+fx=B limx→a-fx=limx→a+fx=limx→afx无穷小量定义性质当自变量趋于某一个值时，函数的值无穷小量的和仍为无穷小量无限接近于零，则称该函数为该点的无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小无穷小量量简单来说，无穷小量就是当自变量趋无穷小量除以不为零的常数仍为无穷于某个值时，函数值无限接近于零，小量最终趋于零的量等价无穷小

1.定义

2.意义12当自变量趋于某个值时，等价无穷小可以简化函数两个无穷小量之比的极限的极限计算，在某些情况为1，则称这两个无穷小量下可以用等价无穷小替换为等价无穷小原函数，从而简化运算

3.应用

4.例子34等价无穷小的应用非常广例如，当x趋于0时，泛，例如求函数的极限、sinx和x是等价无穷小，求导数、求积分等因为limx-0sinx/x=1

三、函数连续性函数连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某个点或某个区间上的平滑程度连续函数的图像没有跳跃或断裂，可以连续地画出来连续函数的定义定义数学表达式在定义域内，函数的图像是对于定义域内的任意点x0，一条连续的曲线，没有间断当x趋近于x0时，函数值或跳跃fx也趋近于fx0，即极限limx-x0fx=fx0存在重要性连续函数在数学分析中扮演着重要的角色，许多重要的定理和结论都建立在连续函数的基础之上连续函数的性质连续性可微性积分性有界性连续函数的图像可以连续地连续函数在其定义域内可以连续函数可以在其定义域内连续函数在闭区间上是有界绘制求导进行积分的间断点第一类间断点跳跃间断点函数在该点的左右极限存在且相等，但函函数在该点的左右极限存在但不相等数值不存在或与左右极限不等无穷间断点振荡间断点函数在该点的左右极限至少有一个为无穷函数在该点的左右极限都不存在大

四、函数极限的应用函数极限在数学、物理、工程等领域具有广泛应用函数极限可以用来解决许多实际问题，例如求解曲线的切线斜率、计算面积和体积等洛必达法则求极限的工具应用条件步骤洛必达法则提供了一种求洛必达法则仅适用于当函洛必达法则要求对分子和解极限的工具，尤其适用数的分子和分母都趋向于分母分别求导，然后取极于当函数趋向于无穷大或0或无穷大时，并且满足限，即求解导数的极限无穷小的情况导数存在的条件重要极限计算函数极限计算对于理解和应用微积分至关重要许多函数的极限可以通过简单的代数操作或使用重要极限来求解一些常见的极限，例如函数的性质和图像函数的性质和图像之间存在着密切的联系通过图像可以直观地反映函数的性质，例如函数的单调性、奇偶性、周期性等例如，函数的图像可以帮助我们判断函数的单调性如果函数的图像在某一区间上是上升的，则该函数在该区间上是单调递增的如果函数的图像在某一区间上是下降的，则该函数在该区间上是单调递减的除了单调性，函数的图像还可以帮助我们判断函数的奇偶性和周期性奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，周期函数的图像具有周期性

五、无穷小和无穷大的比较无穷小和无穷大是微积分中重要的概念，它们描述了函数在自变量趋于某个值时函数值的变化趋势无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值也趋于零的函数无穷大是指当自变量趋于某个值时，函数值无限增大的函数等阶无穷小无穷小比较比较两个无穷小量在趋近于零时的增长速度阶数用两个无穷小量的比值在趋近于零时的极限来描述增长速度等阶如果两个无穷小量的比值的极限为非零常数，则称它们是等阶无穷小比较无穷小定义方法比较无穷小是指当自变量趋于极限点时，两个无穷小量的常用方法包括利用等价无穷小替换、利用洛必达法则、比值趋于一个非零的常数此常数称为这两个无穷小的等利用函数的单调性等价关系等价无穷小定义重要性当自变量趋近于某一值时，等价无穷小可以简化极限计两个无穷小量之比的极限为1算，将复杂的无穷小量替换，则称这两个无穷小量为等为更简单的等价无穷小量，价无穷小从而简化计算过程例子•x趋近于0时，sin x与x等价•x趋近于0时，tan x与x等价

六、函数的单调性与极值函数的单调性是指函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值的变化趋势，而极值则是函数在某个点取得的最大值或最小值单调函数

1.定义

2.判定12在某个区间内，函数的图可以通过函数的一阶导数像始终保持上升或下降趋判断函数的单调性导数势，称为单调函数大于零时单调递增，导数小于零时单调递减

3.意义3单调性是描述函数变化趋势的重要性质，有助于分析函数图像的形状和性质极值点的定义峰值谷值鞍点函数在某点取得最大值，称为峰值点函数在某点取得最小值，称为谷值点函数在某点附近既有上升趋势也有下降趋势，称为鞍点极值点的求法函数的极值点是函数取得极值时的自变量的值求极值点的方法主要有两种导数法和函数图像法导数法1利用函数的导数信息函数图像法2利用函数图像的形状极值点判断3验证导数符号的变化

七、函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性描述了函数图形的弯曲程度拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点凹凸性的定义

1.凹函数

2.凸函数12函数图像在定义域内，任函数图像在定义域内，任意两点连线都在函数图像意两点连线都在函数图像下方上方

3.凹凸性的判别

4.凹凸性的判别34若函数二阶导数在定义域若函数二阶导数在定义域内恒大于零，则函数为凸内恒小于零，则函数为凹函数函数拐点的定义凹凸性变化切线斜率变化函数图像从凹到凸或从凸到凹的转变拐点处函数切线的斜率达到极值，即点称为拐点二阶导数等于零或不存在拐点处函数的二阶导数为零或不存在拐点处的切线可能与函数图像相交，也可能与函数图像相切拐点的求法求二阶导数1计算函数的二阶导数令二阶导数为零2找到二阶导数为零的点判断符号变化3检查二阶导数在这些点附近的符号变化如果二阶导数在某个点附近由正变负，则该点为拐点相反，如果二阶导数在某个点附近由负变正，则该点也为拐点通过这些步骤，可以准确地找到函数的拐点函数极限总结本节内容学习了函数极限的概念、性质、计算规则以及应用函数极限是微积分的核心概念之一，是理解导数、积分等重要概念的基础。