发散性思维在中学数学解题中的应用

贵州师范大学求是学院毕业论文（设计）模板学科代码:0501贵州师范大学求是学院（本科）毕业论文发散性思维在中学数学解题中的应用系另h求是学院专业数学与应用数学班级2014级学号1020010100XX学生姓名陈飘指导教师刘群（教授）完成时间201年月1+b+c=l得—I1—99在

2.22式中令a b c

2.

242.4利用发散性思维解决相交直线与平行线的问题及判定发散思维是指从同一来源材料探求不同答案的思维过程，思维发散于不同的方向，即从不同的方面进行思考.在数学学习中，发散思维表现为依据定义、定理、公式和已知条件，思维朝着各种可能的方向扩散前进，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的各种途径.在“相交线与平行线”的教学中，可采取以下教学策略培养学生的发散思维能力在数学教学中，对典型例题、习题采用“一题多解”教学，启迪思维、开阔视野，引导学生全方位思考问题、分析问题.可以通过纵横发散，使知识串联、综合，达到举一反

三、融会贯通的目的，起到事半功倍的效果案例如图，已知NA=ND,NC=NF,那么CE与BF平行吗？为什么？对于此题，首先引导学生分析题目中要判断的是CE与BF是否平行的问题，可从问题的结论出发，思考学习过的判断两条直线平行的方法有哪些，让学生回想学过的4种方法，以培养学生思维的流畅性，并渗透分析法.其中利用平行的传递性，显然无法证得此题，因此可通过以下3种方法.方法1利用同位角相等说明CE〃BF.方法2利用内错角相等说明CE〃BF.方法3利用同旁内角互补说明CE〃BF

3.5在实际问题中的应用，应对生活中的问题创造性思维就是指发散性思维，这种思维方式，遇到问题时，能从多角度、多侧面、多层次、多结构去思考，去寻找答案既不受现有知识的限制，也不受传统方法的束缚，思维路线是开放性、扩散性的它解决问题的方法不是单一的，而是在多种方案、多种途径中去探索，去选择创造性思维具有广阔性，深刻性、独特性、批判性、敏捷性和灵活性等特点一个小主意，往往会赢得无尽的胜券在人类进步的历史长河里，人类利用创造性思维推进世界文明的例子举不胜举，牛顿在苹果树下的想象，爱因斯坦十六岁时的大胆想象导致相对论的产生，阿基米德在浴盆中凭直觉悟出浮力定律,，”小学阶段是人们形成良好思维方式的基础阶段，小学老师必须担起培养学生良好思维方式的责任，老师应当教会学生获取知识的方法和应用知识的能力，这要求老师为思维而教，触发学生的直觉，丰富学生的想象，激发学生的灵感，从而达到培养学生创造性思维的目的第三章发散性思维的培养

3.1一题多解通过一题多变，拓展了思维空间，培养了学生的创造性思维，可使一些基础较差的学生也感到数学并非枯燥无味，让更多的学生在参与一题多解、一题多变的教学活动中获得学习的成就感，从面对数学这门学科产生更加浓厚的学习兴趣由此可见，在高中数学教学中，发展创造性思维是能力培养的核心，教师要善于引导学生变换题型，灵活运用启发式，让学生善于提出问题和发现问题，以激发学生积极思维和求知兴趣，达到举一反

三、触类旁通的效果，从而培养学生思维的灵活性和创造性

3.2多元变换10a+c=l，则1-a=b+c2y[bc\-b-a+c2y[ac—―-1--Zl-cSab}-c=a+b2y[ab

3.111由

2.20式推广到一般式，得a1+a\a+tzH------F2ma a a--a223123ni

3.212由

2.16式推广到一般式，得

22223.3+a；++,,%[之—I-a,”]♦13由

2.18式推广到一般式，得

3.4a；+1^2+1+,,,+%+122〃%生3，，进一步利用某些附加条件，还可以作其他变换14令2+〃2=1,/+/=],贝口由

2.]式可得ax+by l,ay+bxl

3.5]5令2+/=1,结合sin2x+cos2x=1I,6zcosx+Zsinx1asmx+bcosx则由

2.1式得

3.616令〃g…见〃=1,则由

2.4式可推广为a1+1+1+,,,++

1223.717令X；+X；+...+X=1,y+y；+...+y；=1,由

2.29式可推广得七必+々为+…

3.8由上面可以看出，由3一”产所展开的发散思维，具有联想的广阔性，有利于充分发挥数学知识的横向拓宽，促进学生认识数学内容的本质，培养发散思维能力

3.3数形结合数形结合思想满足学生思维发展的需要，有利于学生系统的掌握广泛而复杂的教学内容在导入新课、引导学生探索式发现学习、培养学生系统逻辑的解题思路时，开发学生创新性、发散性思维等方面有重要意义单纯的说教和复杂抽象的数学符号让学生很头痛，学习过程枯燥乏味，数形结合思想可以有效激发学生的想象力和热情，培养学生对数学的兴趣因此,高中数学教学要重视学生对数形结合思想的理解和运用

4.4链接生活培养学生的创造性既要靠老师，也要靠家长要善于从教学和生活中捕捉能激发学生创造欲望、为他们提供一个能充分发挥想象力的空间与契机，让他们也有机会“异想天开”，心驰神往要知道，奇思妙想是产生创造力的不竭源泉第三章结束语在教学简便方法时，加强对一题多解的训练，可以有效克服学生的思维狭窄通过对某一问题的多角度讨论，可以启迪学生思维，拓宽学生的视野既丰富了学生的知识面，又培养了学生的发散思维能力同时在教学过程中，教师不能只重视问题计算的结果，要对学生练习题目的选取上进行仔细研究，设置有层次、有梯度，题型多变的题目，选取有多种解题方法的题目，拓展学生思维使学生通过训练，拓宽解题思路，不断探究解题的方法，从而提高学生综合能力第四章致谢本论文是在XXX老师的谆谆教诲和指导下完成的，论文从选题、构思到定稿无不渗透着导师的心血和汗水；教授渊博的知识和严谨的学风使我受益终身，在此表示深深的敬意和感谢我还要感谢含辛茹苦、任劳任怨、望子成龙、不图回报的父母的养育之恩，他们给予我的爱和支持让我顺利地完成了自己的学业最后，因本人水平有限，在文中难免有不足之处，恳请各位老师批评指正参考文献［］周霞，水莉莉.数学发散性思维培养的实践研究［］阜阳师范学院学报自然科学版，1J.2014,310182-86+

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1.1-1-发散性思维的引用

1.2-1-发散性思维的特点

1.3-1-第二章发散性思维的应用及举例-

2.1-1-解决方程问题

2.2-2-解决在不等式与不等式组问题

2.3-3-利用发散性思维解决相交直线与平行线的问题及判定

2.4-5-在实际问题中的应用，应对生活中的问题

2.5-5-第三章发散性思维的培养-

3.

3.2-6-数形结合

3.3-6-链接生活

3.4-7-第三章结束语-

1.1发散性思维的内涵发散思维Divergent Thinking,又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状如“一题多解”、“一事多写”、“一物多用”等方式，培养发散思维能力不少心理学家认为，发散思维是创造性思维的最主要的特点，是测定创造力的主要标志之一

1.2发散性思维的引用思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括和间接反映.以新颖独特的思维活动揭示客观事物本质及内在联系并指引人去获得对问题的新的解释，从而产生前所未有的思维成果称为创意思维，也称创造性思维.它给人带来新的具有社会意义的成果，是一个人智力水平高度发展的产物.创意思维与创造性活动相关联，是多种思维活动的统一，但发散思维和灵感在其中起重要作用.创意思维一般经历准备期，酝酿期，豁朗期和验证期四个阶段吉尔福特Guilford在研究智力的三维结构模型时，对创造力所涉及的思维能力进行了实证研究，指出训练人的发散思维能力是培养创造力的一种方法

1.3发散性思维的特点流畅性流畅性就是观念的自由发挥指在尽可能短的时间内生成并表达出尽可能多的思维观念以及较快地适应、消化新的思想概念机智与流畅性密切相关流畅性反映的是发散思维的速度和数量特征变通性变通性就是克服人们头脑中某种自己设置的僵化的思维框架，按照某一新的方向来思索问题的过程变通性需要借助横向类比、跨域转化、触类旁通，使发散思维沿着不同的方面和方向扩散，表现出极其丰富的多样性和多面性独特性特性指人们在发散思维中做出不同寻常的异于他人的新奇反应的能力独特性是发散思维的最高目标第二章发散性思维的应用及举例

2.1解决函数问题高中数学发散思维题的设计，应注重对数学知识的考查，离开基础知识，发散思维题犹如空中楼阁，无源之水高考数学试题已形成“重基础、出活题、考能力”的格局，新课教学要重视定理的产生、形成、发展和深化的过程，高考复习要弄清各知识的内部结构和内在联系，形成诸如函数、不等式、数列、三角、圆锥曲线、排列组合、概率统计与导数等知识板块，尤其注重对各知识板块进行纵横联系，寻找共同点，发散点，从学科整体意义上建构知识的发散网络在这些知识发散点，交汇点设计题目，要体现对高中数学知识的整体把握与交叉综合，力求避免“单元割裂，专题独立”和“只见树木，不见森林”的不良现象例1函数f|1,2,31fli,2,3|满足f（f（x））=f（x）,则这样的函数个数共有（D）（浙江2006年理数）（A）l个（B）4个（08个（D）10个【说明】映射与函数的概念是一脉相承的，本题给学生以知识交汇发散的视觉，使相应的数学语言和表达形式更加灵活多样，结合运用排列组合知识，能体现思维能力和分类讨论的思想，需要有一定的思维填密性对于例1的映射与函数的概念，结合新定义的线性变换知识，可命制如下试题例2设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射力Vf VZeV,记五的象为了

①）若映射了v-v满足对所有扇BeV及任意实数都有/（而+跟）=/3）+©（坂），则/称为平面M上的线性变换现有下列命题

①设/是平面M上的线性变换，则〃°）=°w,w.w,k,s,5,u.c.o.m

②对5e V设f0=25,则f是平面M上的线性变换;w.w.w.k.s.

5.u.c.o.m

③若）是平面”上的单位向量，对五e丫设人口=万一3，则/是平面”上的线性变换；

④设/是平面加上的线性变换，痴eV,若原在共线，则/3）,/（杨也共线其中真命题是

①②④（写出所有真命题的序号）（四川2009年理数）【说明】从学科的内在联系出发，在知识的发散点设计试题是命题方向本题将新定义的线性变换，与平面向量和映射的概念结合在一起，既体现了课改精神，又考查了综合运用知识解决问题的能力题型载体是填空中的多重选择更有利于数学知识的交汇与融合，能考查学生多方面知识的运用水平

2.2解决方程问题信息迁移发散题已是备受关注的创新题型，此类题目的编制一般是将较为陌生的数学情境展现出来，要求考生在阅读理解的基础上及时捕捉和利用题设中的信息，结合原有所学知识做出判断、推理、类比等发散思维的新题型近年来，具有高等数学背景的一些数学信息迁移题频频出现，也是进行迁移发散思维训练的一种有效形式•246•sin x,x xx sinx八-11-F-----------------------0X22X土肛±2肛…土.肛…，贝！）1卜5!7!22TT21一前…，有无究个根3!例5已知展开式13!5!7!对且xwO恒成立，方程x1H—yH-~+1乃2比较两边x的系数可以推得2-3------=---------/

6.设代数方程〃°4九21-%厂+出工-+-1〃〃=有2n个不同的根±%，±々，±Z,类比上述方法可得11122•••I

2.〃・办％4用不玉表示龙岩市2011年一级达标校联考【说明】解答本题需要敏锐的观察、猜想和类比逻辑推理能力思维发散到初中学过的/x=ax2+bx+c=ax-x^x—%,问题不难解决

2.3解决在不等式与不等式组问题例如在不等式教学中，把一部分常见不等式题，以为出发点，用代换的方法，推出若干个证明题1由一切220基本公式/+〃之

22.1直接代换⑶设〉0,b〉u用日，加代换a,b得a+bN14ah

22.

32.2又令b=i得〃+122Vz

2.

42.3中令人:得a+—2a

42.5b Q、小-+-

22.

32.6，得a b式中令=得e-

22.

52.7式中令a=tanx得tanx+cotxN

22.

52.8式中令=logJ b=log,,a得log b+log,,a

22.3a

2.9式中用〃/代换〃/，得3+力之2后否3,

2.

32.

102.10式中用一+1代换得x2+2Vx2+

12.

112.8式中用贮炫2y代换得lg2%+lg2y221gxMgy

2.

122.12式中令Igy=1得lg+1221gx

2.13由（

2.1）式与片+/=（“+〃）（合一〃〃+/）推得a3+b3a+bab

2.14此外，（

2.5）（

2.2）（

2.8）式中J1,tanx还可以用“〃，泮，tan〃x代替，也可以利用几个不等式相加，相乘做变换如（

2.3）式中分别用油+〃与农+4代换〃，”得ab+cd+ac+bd4abed

2.15a2+b22abb2+c22bc,c2+a22ca由a2+Z72+c2ab+be+ca相加

2.16a b-+-2b a、，-+-2c b a+b a+c a+b相加i------------------------------6£+建2++a c

2.17a2+l2ab2+\2b c2+/2+*2+32Ca+b+c相加6+l2c

2.18a2+\2ab2+\2bc2■6Z2+1+Z2+1+/+18abe+l2c

2.19a+b2y[abh+c2y[cb--a+bb+cc+a8abec+a2y[ca

52.20210得a+b[2+人2+人

3262.1x

2.3x Q38Q3J

32.21a+Z+c—i--1—N

72.17式两边加3得

92.22b+c-aa+c-ba+h-c++

382.17式两边减3得

2.23。