构造函数法在高等数学中的若干应用

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文构造函数法在高等数学中的若干应用Some applicationsof structuralfunction method in higher mathematics题目含中文题目、外文题目学生基本信息学生姓名、学号、所在学院、所学专业指导教师基本信息指导教师姓名及职称完成时间毕业设计（论文）定稿时间姓名*学号数学与信息科学学院数学与应用数学院学专业指导老师***（副教授）完成时间20**年*月*日所以球的唯一驻点％；⑼=/］=1,尺=击，击和1是/X在［0,1］上的极小值和极大值.所以；Wx〃+l+xl.构强函数在证明方程根的应用3构造函数用零点定理证明

3.1论证方程根的题目，主要有两类，一类是结合闭区间上连续函数的零点定理去思考；另一类是在已知函数的基础上论证导函数方程根的情况，此时就要考虑罗尔定理了.例6«⑸设为、/、、…册为满足%+幺+竺+.・・+江=*的实.23n+1数.证明方程〃0+〃1尤+2无+…=0在，1内至少有一根.分析函数/%=旬+…+4%虽然在1］上连续，但却难以验证了%在1］上的某个子区间的端点处的函数值是否异号.但是经分析了%的原函数Fx=a x+—%2+—x3Hb a,1x〃”,Q23n+1在犬=1处的函数值/1恰好是式子*的左边，因此该命题可利用罗尔定理证明构造函数FX=6Z X+—X2x向，显然函数尸⑴在幺O+”+.・・+/^=0,［0,1］上连续，在0,1内可导，又因为F0=0,Fl=+2371+1由罗尔定理，存在一个J£0,1,使得/C=0,即4+，苫+出产+…+a=0,来证.命题得证.构造辅助函数用中值定理证明

3.2“构造函数法”是微积分学里经常用来证明一些重要定理的重要方法.许多文献中，/ag的ge中值定理、罗尔定理和ChMc/zy中值定理的证明都运用到了构造辅助函数，其推理过程简单明了.具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足Ferms引理的辅助函数，进而推导出了结果；而lagrange中值定理和Cauchy中值定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果.微分中值定理的证明实现了函数与其导数之间的沟通，是利用导数的局部性质研究函数整体性质.处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔定理，/agszge中值定理和中值定理条件的辅助函数.下面以举例的形式介绍几种常用的辅助函数的构造方法.

3.

2.1凑导数法原函数法例7⑸119设函数/X在［久力上连续，在〃例内可导，证明:存在伊£心力,使空/⑷］=面—证明证明一将欲证明的结论变形得F八二//aJ9222G，7b-a将等式中的自变量g记为新的自变量％,即fb fal-^然后积分有~f{x=.X2+c函,其中C为任意的常数，得到的辅助数为尸%=/%—/一夕*忆,b-a~显然F%在［q,加上连续，月

①二尸〃=在氏与内可导，又因为ys一〃，满足罗尔b——cr定理的条件，所以存在£〃/，使得尸©=0,故我们可将上述过程归纳总结为将结论通过恒等变换，化为容易积分的函数形式，在结论积分不是很复杂的情况下，常用的方法是移项将等式一端变为常数0；用％替换变换后等式中的自变量；用观察法或者凑微分法求出原函数，则原函数即为所要构造的辅助函数；最后结合微分中值定理，推导出结论来.证明证明二将要证明的等式中的变量4记为了,然后积分得x2fb-fa=b2-a2fx,得到的辅助函数为Fx=x2fb-fa_//%,可知，Fb=Fd，故由罗尔定理可得，存在Jwa,5,使得/C=0,即有2夕/勿一/〃］=〃—//j•

3.

2.2常数左值法此法适用于常数已分离出来的命题，具体作法为将常数部分定作左，恒等变形，使等式一端为及/，另一端为及/S构成的代数式；然后分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，如把端点改为％,相应的/5改为/%，则变换后的端点表达式就是所求的辅助函数.例8⑹设/%在［a,切上连续，在5向内可导，证明在a,6内至少存在一点使得1f⑷=/©+—©.分析令^^-----------纣

①=卜,恒等变形为1〃一姐=4a-左a对称式.证明作辅助函赢尸%=加工一心，即有/%:*于_/也―于%,显然方x在［a,？句上连续，在〃/内可导，又Fa=Fb=妣8~1，故由罗尔定理知，在a,勿内至少存在一点，使得*0=0,即“吗一叭=/6+《

6.b-a

3.

2.3乘积因子法例9⑻33若/幻在［〃,句上连续，在〃涉内可导，且/a=/S=0,证明:对WXwH，梏ea,b,使得/©=歹©.分析是个恒为正的因子，所证明的等式或不等式的两端都乘以或除以这样的一个因子，等式或不等式任然成立，于是想到是个理想的乘积因子.证明引入辅助函数2%=*〃/%,由题设知尸⑷=尸=0,尸%在出,切上连续，在〃,力内可导，满足罗尔定理条件，故在3加内至少存在一点，使得尸0=0,即e收/©—助一0=0,所以/©=歹C.注对于某些关于函数的导数与函数之间关系的证明，直接构造函数往往比较困难，将所证结论的两端都乘以或除以一个恒正或恒负的函数，证明的结论往往不受影响，e芥X为常数是常用的乘积因子.构造辅助函数用连续函数性质证明

3.3论证方程根的题目，主要有两类，一类是结合闭区间上连续函数的零点定理去思考；另一类是在已知函数的基础上论证导函数方程根的情况，此时就要考虑罗尔定理了.［］例6451设劭、％、

2、…%为满足/+幺++…+卫=0*的实23n+1数.证明方程〃0+〃1%+2%2+…+%无〃=0在°，1内至少有一根.分析函数/尤=0+…+虽然在［0,1］上连续，但却难以验证“%在［0,1］上的某个子区间的端点处的函数值是否异号.但是经分析了%的原函数Fx=a^x+—%2+—J;3Hb a,t xn+i,23zi+1在X=1处的函数值尸⑴恰好是式子*的左边，因此该命题可利用罗尔定理来证.证明构造函数bx=%x+幺/+竺/+…+」工］用，显然函数月⑴在23几十1a an［0』上连续，在0,1内可导，又因为/0=0,尸⑴=+幺++・・・+人=0,23n+\由罗尔定理，存在一个e0,1,使得/C=,即%+ag+%+…+%旨〃=0,命题得证.构造函数法在求极限中的应用4构造函数法是数学解题中最富有活力的数学转换方法.如能恰当的运用，不仅能把问题变繁为易、变抽象为具体，达到难题巧解的目的，而且能大大丰富学生的想象能力，培养学生解题的整体意识和创造性思维能力.例5⑶210求山.8解构鸿辅助函数f%=,J_!皿i而/=炉=［=6三，则当尤f+8时，也是艺型的不定式.由罗必X00达法则，有lim-------=lim—=0,XT0x I*Hm皿又由e是关于〃的连续函数，得lim.fx=lime x=ex^x=e°=l,由此lim yfn=lim fn=

1.〃一8〃一8Xf8Xf8思路总结构造恰当的辅助函数；化离散变量为连续变量，而且还必须考虑连续变量相应的极限过程X T0或％f+00,如本例中用到罗必达法则的过程；求解的关键在于考虑辅助函数极限的求得.构造函数法在计算积分中的应用5例12Cauchy-schwards设/x、gx在区间上均连续，证明91J/%g%相f2xdx^g2xdx.鬲种常用的证明方条.方法一利用一元二次函数至多有一个零点，所以其判别式必定非正，由/x+^x20,其中;I为任意实数，从而有%+.刈2dx20,Ja即J[尸⑴+2/加幻+^g\x]dx0,点上式左端看作是;I的一元二次函数，那么上述不等式成立就意味着4的一元二次函数至多有一个零点，所以其判别式必定非正，从而Cwc/iy-sc/nds不等式成立.方法二用二重积分的方法证明由于[尸⑴公fg2xdx=1,f2xdx『g2ydy=jj/2©g2ydb,JaJa Ja J a J J其中，积分区域={乂丁|《工〃,4p《〃},°ff2xdxfbg2xdx=[f\ydyihg2{x}dx=JJf\yg\xdy,Ja J a Ja JaJ Jrb2,b fbCC[J fxgxdx]=]fygydy-\gxfxdx=fJ fxgy-fygxda,Ja JaJaJJ又因=JJ/2xg2ydb,JJ/%gy•/ygxdb“D%r+yg%]2dbD从而Cauchy-sc/zward，不等式成立.新证法1,01234利用变上限积分函数构造辅助函数，令X=[[7«g⑺因2—「尸⑺力Ja Ja1gtdt,则显然方a=0,所要求证明的Ca〃c%y-sc/zwaMs不等式，也即要证明Fb0=Fa,从而可以转化为证明厂x在上为单调不增的函数即可.由于Fx、g在区间[〃,勿上均连续，所以由变上限的积分函数的性质可以知道Fx在以切上可导，并且可以由求导法则计算得到尸x=2fxgxXftgtdt-g2xPf2tdt-f2x\Xg2tdt,JaJaJci/%=[[2/%g%/⑺g⑺-g2%/2⑺一2c，F x=-£%g⑺一力，所以当历时，F1x0,故尸幻在[〃,切上为单调不增，从而Fb0=Fa.小结本文主要介绍了构造辅助函数在一些数学问题中求解、证明的巧妙应用，从而体现了构造辅助函数法的重要性此论文分别从构造函数法在解、证等式、不等式中的应用、求极限和求解方程方面的应用、微分中值定理证明中辅助函数的构造及其应用、一些具体问题中应用构造函数法证题的新解这四方面举例说明辅助函数的巧妙之处，然而构造函数的内涵是非常丰富，没有固定的模式和方法，是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力构造函数法的中心思路是针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，从而使论证过程简洁明了构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与划归等思想.相信通过构造辅助函数法的运用，既能使大家熟练掌握有关定理、提高解题能力，又能开阔思路、锻炼思维，从而提高数学素质，培养数学能力参考文献［1］杨柳.高等数学中拉格朗日中值定理的教学处理［J］.教育教学论坛，201734171-

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99.构造函数法在高等数学中的若干应用【摘要】证明等式和不等式是高等数学中的常见问题，证明方法也多种多样论文通过几个例子，从研究题目的条件和结论人手，巧妙构造适当的辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学生的创新思维能力构造辅助函数是数学解题的一个很好的工具，辅助函数是使问题转化的桥梁，通过恰当的构造辅助函数可以帮助我们解决很多数学问题，使问题简单化，构造辅助函数的方法是多种多样的，有时需要巧妙的灵活运用，构造辅助函数法还需要进一步探索和总结如何构造辅助函数是高等数学解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律文章通过详尽的实例讲明了辅助函数在中值问题不等式恒等式函数求极限讨论方程的根及计算积分求函数值中的运用【关键词】构造辅助函数中值定理恒等式与不等式Some applicationsof structuralfunctionmethodin higher mathematics[Abstract]It isproved thatequality andinequality arecommon problems inhighermathematics.This paper,through severalexamples,from thestudy of the conditionsandconclusions ofthe staffscleverly constructappropriate auxiliary fiinction tosolve problems,not onlycan simplify the proofsbut alsocan cultivate studentsinnovative thinkingability.Constructing auxiliary fiinction isa goodtool tosolve mathsproblem,and auxiliaryfiinction isthebridge ofsolvi ngproblems,through properconstruction of auxiliary functioncan helpussolv emany mathematicalproblems,simplifytheproblem,and constructauxiliaryfunction invariousways,sometimes needclever andflexible use,The construction ofauxiliary functionmethodneeds tofiirther exploreand summarizehow to constructauxiliaryfiinctionis thedifficultyin solvingproblemsinhighermathematics,seemingly withoutchapters,butcarefully studythe basicmethod and generallaw Thearticle illustratesthe applicationofauxiliary fiinctionto theroot ofthe equationand thecalculation ofthe functionvalue oftheintegral function insolving theproblem ofinequality ofthe inequalities ofthe mean-val ueproblemsby meansofadetailed exarrple.[Key words]constructing theidentities andinequalitiesofthemeanvalue theorem ofauxiliaryfunctions目录弓I言11构造函数法在证明等式中的应用12构造函数法在证明不等式中的应用

12.1构造函数利用单调性证明不等式

12.2构造函数利用拉格郎日定理证明不等式

22.3构造函数利用凹凸证明不等式

32.4构造函数利用最大值（最小值）证明53构造函数在证明方程根的应用

63.1构造函数用零点定理证明

63.2构造辅助函数用中值定理证明

63.3构造辅助函数用连续函数性质证明84构造函数法在求极限中的应用85构造函数法在计算积分中的应用9小结10参考文献11引言在解题过程中，如果用思维定势来探求解题途径比较困难时，我们不妨换一下思维角度，从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证明本文通过对高等数学中中值问题、不等式的证明、恒等式的证明、函数求极限问题、讨论方程的根及计算积分求函数值这几类问题，应用构造辅助函数进行求解，从不同题型总结归纳了辅助函数的思想和具体的方法构造函数法在证明等式中的应用1例V已知X+jx2+l.y+Jy2+l=],求证兀+二.分析由％+7711丁+庐工=1,可联想到三角函数中的关系式tan8・cote=l,若令光+Jd+1=tan®,则y++1=cot9E0,乙，此时用tan、cot表示％、y,再计算％+y的值是否为0就行.证明设尤++1=tang,贝1J y+J/+1=cot6^e0,—,由上面的两式分别得tan62-l cotOf—1x-,y-,、碎,,tan62_]cot02tpn^Q一t0+Z6P tan3八an co故x+y=+-------=---=

0.构造函数走揩正明木挛中的婚胪,夕2t构造函数利用单调性证明不等式

2.1例2川设〃、b、c是AABC的三条边，证明2+於+或/+/2+

02.分析根据不等式的结构特征，经过等价变形，从一个含多元的数学问题里,选定合适的主要变元，从而把问题转化为研究函数的性质.证明由题意不妨设0aZca+b,令fc——2Q+bc+a-+h~—2ab,原不等式等价于/c0,由函数y=/c的图像是一条开口向上的抛物线,知函数/c在屹,a+勿上单调递减.又cwg,a+b],要证明/c0,只须证明/b0即可，而fb=b2-2+bb+a2+b2-lab=aa-4Z,又a〈b,则一4Z0,即故命题得证.,|d+|Z|\a+b例3求证11———亓・1+^1+\b1d分析此题有多升曲晚，这电介结一种颇具新意的、用构造函数求导数的证题思路.导数的一个重要应用是能快速的判断函数的增减性.证明先构造函数/x=—匚X0,再求出其导数/%=———.1+X.....1+X因/x0,则当X之时，/X为增函数，又因4+424+Z,所以有/同+网/|+4即例4[米证1+11+—・・・1+v3n+l ne N.分析可以尝试用数学今纳法3缸与较繁琐，注意到原数列不等式等价于1+11+-i•••1+,1,3启发我们初造数歹胪词做保j M单调性去探寻.又f*与i,4智尤之/⑴〉构超函数利用拉格郎日定理证明不等式

2.2定理6拉格朗日中值定理若函数/满足如下条件

①/在闭区间[见勿上连续；

②/在凡份内可导，则在〃/内至少存在一点4，使得u—a与拉格朗日公式等价的还有以下几种形式f⑻-fa=/OS-a,a^b-/+=幺吐改称为拉格朗日公式.贝广⑹=于3-fa=f-a+0b-ab-a,O0l;fa+b~于a=fa+3hh,O0\.拉格朗日中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，虽然它的结构形式似乎是一个等式,但由于4乩因此fC将有一个取值范围,于是就可将等式转化为不等式.证明区间上的不等式，特别是含有两个不等号的，可考虑利用拉格朗日中值定理.具体证明时通过对不等式结构的分析，构造某特定区间的函数,满足定理的条件,达到证明的目的.用拉格郎日中值定理证明不等式的具体思路:首先，构造函数,即把所要证明的等式或不等式看作某个函数在某点的函数值;其次,把所构造的函1+%数应用于某个区间,即找一个区间，验证函数在该区间上证明作函数fx=arctan x,则满足中值定理条件，利用中值定理及相应不等式放大知识即可证得.例8证明当%0时，一arctan%%成立.1+£应用拉格朗日中值公式得arctan x=/%-f0=:Cx-0=，其中，0v Jx,因为Y所以X------arctanx x.1+x综上所述,此结论成立.例9证明不等式生工为2上工、b aa淇中，证明设/x=lnxe[a,b]则/x=—x e.x函数满足定理6的条件，所以存在aib b-aIn—=ln一ln4=ln.aJ由于b-a b-a b-ab Ja得b-a,b b-a ln—.b aa综上所述,此结论成立.例10⑹证明lnl+xx x

0.\+x证明设fx=lnl+X，则在区间幻上，/x显然满足拉格朗日中值定理的条件,由公式有/x-/0=/x—0,J£0,X.因为/0=0x=’,则上式即为}\+xlnl+x=,又由0有X X-------------X・1+X1+4所以—5—lnl+xx.1+X综上所述，结论成立.构造函数利用凹凸证明不等式

2.3定义1设/为定义在区间/上的函数，若对/上的任意两点%和任意实数XeO,l,总有/^,+l-A X2/X,+1-2/X,22则称/为/上的凸函数.反之，如果总有/.+i-团%22孙a+a-♦//，则称/为/上的凹函数.定理5设/为区间/上的二阶可导函数，则/上/为凸凹函数的充要条件rxOrxO,xeI.利用函数的凹凸性证明不等式的思路根据曲线凹凸性定义，设/%在区间/内二阶可导，对/内的任意不同的两点X1和4；1°若广⑴则/%在/内上凹，有AAp剑再+/%2].12°若/〃%O,xw/,则/%在/内下凹，有/土芋；再+/巧].例6对任何非负实数机，孔有2arctan[]arctan m+arctan n.证明

①若机=则等号成立.2

②若设〃2加20,取fx=arctan x,x e0+oo则2r,9f\x=—-『WO,l+x~~所以/x是0,+8上的凸函数.若记2=,则1—丸=±可以推出2211〃如+心川㈤+”㈤%=寸明+寸〃;即f入m+1—An g/m+g fn综上所述,结论成例7I5]利用函数的凹凸性证明当x0,y0时，11/Mx+yxmx+yln yx+yIn.分析不等式等价于3%Inx+yin，且也£±

2.不等式两边含有相同222“形式”Hn/,可作辅助函数=/

0.因此原不等式可化为要证/亨.只要证明，⑺在0,+8上为凹函数，即证了%在%»内/%0即可.证明设/«=Hn，,00有/⑺=hw+1〃⑺」

00.t/x+/y、x+yf y则/⑺在0,+8为凹函数.任意2八2xO,y Oxwy,有因此i iM工+丁xmx+ym yx+yIn综上所述，命题成立.构造函数利用最大值最小值证明

2.4定理3极值的第一充分条件设了%在点/处连续，在某领域°%»内可导.

①若当工£%0-2/0时，当X£Xo，Xo+b时/尤20,则/%在点/取得极小值.

②若当xex-^x时八九20,当%£%0，%+5时—%0,则fx在点%0取得极大值.00定理4极值的第二充分条件设/%在/的某领域U%»内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且八%=0,/〃%wo.

①若//,则/%在%处取得极大值.

②若广九0〉0,则/幻在/处取得极小值.因为极值、最值本身就是不等式，所以若函数在某邻域可取得极大值、极小值;若在某区间内可取得最大值、最小值;利用这些性质可以用来证明不等式.例4⑶当0cx2时，4xlnx-x2-2x+

40.证明令/x=4xlnx-x2-2x+40%2由于/x=41nx-2x+2,/〃%=上生=22T,JQ JQ当/Vo=0时,%=1且/〃/〉0;故X=1是唯一极值点./I=1是fx在0,2内的最小值，从而/x/l=l0,由此证得,当0x2时4xlnx-%2-2%+

40.综上所述,此结论成立.例5⑷设证明:击工犬+1+%1,〃1证明令/冗=/+1+%匕%\[0,1],有八%=〃-1卡-，1-%尸=0,得。