《山财数学分析》课件

《山财数学分析》课程概览本课程为学生系统全面地学习数学分析的基础知识培养学生的抽象思维能力和,解决实际问题的能力从微分、积分、级数等核心概念入手深入浅出地讲解数,学分析的基本理论与应用课程背景和目标课程背景课程目标本课程是为帮助学生掌握数学分通过系统学习数学分析的主要概析的基础知识和思维方法而设计念、原理及其应用培养学生的,的数学建模和分析问题的能力核心内容包括函数、极限、连续性、导数、积分、级数等核心知识点的讲解与应用《数学分析》课程的重要性基础知识建立掌握数学分析的概念和技能为后续学习奠定坚实的基础,培养逻辑思维数学分析训练了学生的抽象思维能力和问题解决能力应用广泛数学分析知识广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等各领域基础知识回顾基础数学概念微积分导论回顾数集、运算、函数等基本概简要介绍极限、导数、积分等微念为后续内容奠定坚实基础积分的基本理论和应用为深入学,,习做好准备高等数学回顾重温一维、多维空间等高等数学内容确保学生掌握必备的数学工具,实数体系及其性质实数概念实数性质实数的分类实数的运算实数包括有理数和无理数构实数满足加法交换律、结合律实数可以分为有理数和无理数实数可进行加法、减法、乘法,成一个完备的数体系可用于和分配律乘法也满足交换律两大类有理数是可以表示为和除法四则运算并遵循相应,,,表示任意实际量实数具有代、结合律和分配律实数还具分数的数无理数是不能用分的运算律这些运算性质为后,数运算的完备性和序关系的完有良序性、密度性和完备性等数表示的数续数学分析提供基础备性重要特性集合的基本概念集合的定义集合的表示方法集合的性质集合是由具有共同特征的元素组成的整体集合可以用大括号来表示里面列出集合集合中的元素没有顺序关系{},•集合可以是有限的也可以是无限的每个元的元素还可以用描述集合特征的方式来表,集合中的元素互不相同•素在集合中互不相同示集合的大小由其包含的元素个数决定•常用集合运算并集交集补集差集两个集合中所有元素的组合，两个集合中共有的元素，表示集合中不属于集合的元素，属于但不属于的元素组成的A B A B表示为∪为表示为集合，表示为A B A∩BA\BA-B函数的概念及类型函数的定义函数的分类函数的几何意义函数是一种数学概念表示输入值与输出值函数可以根据定义域、值域、单双性等特点函数还可以以几何图形的形式直观表达如,,之间的对应关系它可以用数学语言精准描分为常见的线性函数、二次函数、指数函数直线、曲线等帮助理解函数的性质,述等类型函数的基本性质单值性单调性函数是一种确定输入对应唯一输函数可以是增函数、减函数或常出的数学关系每个自变量值只函数单调性决定了函数值随自能对应一个因变量值变量变化的趋势奇偶性周期性函数可以是奇函数、偶函数或既周期函数的图像能沿着某个固定非奇又非偶的函数奇偶性决定的周期重复出现周期函数在任了函数的对称性何区间上的图像都相同极限的概念与基本性质极限的定义基本性质计算技巧应用场景极限是数学分析中一个核心概极限具有唯一性、保号性、保通过掌握直接计算法、夹逼定极限在微积分、数列、级数等念它描述了函数或数列在某绝对值性等重要性质，这些性理、极限运算法则等技巧，可数学分析的核心概念中扮演重个点或无穷远处的值的渐近行质在数学分析中广泛应用以高效地计算各种类型的极限要角色，在自然科学和工程技为术中也有广泛应用极限的计算技巧代换法1通过巧妙的变量替换来简化极限运算等价无穷小比较2利用等价无穷小的性质简化极限计算分段讨论3针对函数的定义域进行分段分析在计算极限时需要运用各种灵活的技巧代换法通过巧妙地选择变量来简化表达式等价无穷小比较则利用无穷小的特征性质来推导极限,;值而分段讨论则针对函数的定义域进行深入分析这些方法为我们提供了高效而实用的极限计算路径;函数的连续性及其性质连续性定义连续函数的性质12函数在某点连续当且仅当函数连续函数具有诸如有界性、极,在该点的极限等于函数在该点值存在性等重要性质这些性质,的值这意味着函数在该点的使得连续函数在数学分析中有值可以任意逼近广泛的应用连续函数的分类连续性检验34函数可分为整体连续、局部连通过导数、极限等方法可以判续等类型不同类型的连续性对断函数在某点是否连续是分析,,应不同的应用场景函数性质的重要工具导数的概念及几何意义导数的定义导数的几何意义导数是函数在某点的瞬时变化率导数在几何上表示为函数图像在，表示函数在该点的斜率某点的切线斜率，反映了函数在该点的变化趋势导数的应用导数在优化分析、运动规划等领域中广泛应用，可以帮助我们更好地理解和预测函数的变化导数的基本运算法则求和差法则常数倍法则乘法法则除法法则/如果和都有导数则这说明如果如果和都有导数则fx gx,kfx=kfx fxgx,fx/gx=fxgx-这函数有导数那么它的常即商的fx±gx=fx±gx fx,fxgx=fxgx+fxgx fxgx/gx^2意味着对于和式或差式可以数倍也有导数且导数等于常即乘积的导数等于各项的导导数等于分子的导数乘以分母,,分别求各项的导数然后相加或数乘以原函数的导数数相乘后相加减去分子乘以分母的导数再,相减除以分母的平方高阶导数及其应用高阶导数的概念高阶导数是对一个函数进行多次求导得到的结果它能更准确地描述函数的变化情况应用最优化问题利用高阶导数可以判断函数极值点的性质从而解决实际中的最大化或最小化问题,应用函数图像分析高阶导数能帮助我们分析函数图像的变化趋势如拐点、凹凸性等特征,微分的概念及性质微分的定义微分的性质12微分是研究函数在某一点处的微分具有线性性、可加性、齐变化率，表示函数在该点的局次性等重要性质，可用于研究部线性逼近函数的变化趋势微分的应用3微分在物理、经济等领域广泛应用，可用于优化问题求解、误差分析等微分在实际中的应用设计与优化金融市场分析医疗诊断应用微分可用于分析和优化工程结构、机械设计微分在金融领域非常有用可用于预测股票微分在医学上的应用包括分析生理数据、建,等过程中的关键参数帮助工程师设计出更、期货等金融产品的价格走势为投资者提立病理模型、优化治疗方案等为医生诊断,,,高效、更可靠的产品供决策依据和治疗提供重要依据不定积分的概念及基本公式不定积分的定义基本积分公式12不定积分是一种反导数运算它可以求出函数的一个原函数包括常数项积分、幂函数积分、三角函数积分等常见的基本,不定积分用符号表示表示求积分积分公式这些是求解不定积分的基础∫,,积分的性质应用举例34不定积分满足线性性质、加法性质等基本性质这些性质可不定积分在工程、物理等领域有广泛应用如求位移、功率,,以简化不定积分的计算过程、流量等物理量常见积分方法换元法分部积分法有理函数积分通过适当的代换将复杂的积分转化为简单的将被积函数拆分为两个因子，一个对另一个通过拆分求和、代换等手段，将有理函数积标准形式，从而计算出原积分的值求导，另一个对前一个求积分分化简为标准形式进行求解定积分的概念及性质定积分的概念基本性质定积分是用来衡量平面区域下的定积分具有线性性、区间可加性曲线段的面积，是一种用数学方、单调性和连续性等重要性质，法量化连续物理量的方法可以用于计算曲线长度、旋转体的体积等积分的应用定积分在物理、工程、经济等领域广泛应用，是理解和描述连续变化过程的有力工具重要积分公式基本积分公式换元积分法部分积分法积分表包括幂函数积分、指数函数积利用合适的变换技巧将复杂积将积分函数拆分为两部分，一罗列常见函数的积分表格，为分、三角函数积分等常见类型分转化为简单积分的方法，可部分直接积分，另一部分再次积分运算提供快速查找参考的基础公式，形式简单易记，大幅提高积分运算效率积分的方法对于复杂函数很方便学生掌握和运用在积分计算中广泛应用有帮助定积分在实际中的应用物理应用定积分可以用于计算物体的质量、距离、功率等物理量例如计算导线的电阻、计算电场能量密度等工程应用定积分可以用于计算建筑结构的重心、截面面积、截面二阶矩等重要参数有助于工程设计和结构分析统计应用定积分可用于计算概率密度函数、期望值、方差等统计量在概率论、数理统计中有重要应用广义积分概念及性质定积分概念拓展广义积分是对定积分概念的拓展和推广适用于更广泛的函数类型它能够提供更灵活的积分,计算方式广义积分收敛性广义积分的收敛性要求更加严格需要满足特定的条件才能确保收敛这为积分计算带来了更,多挑战广义积分应用广义积分在数学分析、工程应用等领域有广泛用途为实际问题的分析和计算提供了更强大的,工具数列的概念及性质数列的定义数列的性质12数列是按照一定的规律排列的数列有有限项数列和无限项数数字序列通常用表示列之分可以分为等差数列和等,{a_n},比数列等数列的表示数列的运算34数列可以用通项公式、递推公数列的基本运算包括加、减、式或图形等方式来表示和描述乘、除等对数列的性质有重要,影响数列极限及其性质数列极限的定义收敛数列的性质发散数列的性质数列极限是指数列在无穷远处的取值接近某收敛数列的极限是唯一的发散数列的取值不会趋近于任何确定的常数•个确定的常数当数列的项数足够大时数而是在某个范围内游离这类数列没有极,收敛数列的极限具有连续性,•列的项值会无限接近该常数限收敛数列的极限可以进行基本运算•无穷级数的概念及性质无穷级数的概念级数收敛与发散无穷级数是无限个数项之和，是一种特殊类型的数列每一项都是级数收敛时，无限项之和是一个有限值；发散时，无限项之和是无一个数字或函数值穷大收敛性是级数最重要的性质级数的基本性质级数的应用包括交换律、结合律、乘除法则等，这些性质对于级数的运算和应无穷级数在数学分析、物理、工程等领域有广泛应用比如傅里叶级,用都很重要数、泰勒级数等常见无穷级数及其收敛性几何级数正项级数交替级数幂级数几何级数是最基础的无穷级数正项级数中的项都是正数它交替级数中的项符号交替变化幂级数是一类重要的无穷级数之一它有明确的收敛条件，们可以用比较判别法和积分判莱布尼茨准则可以用来判断，在数学分析中有广泛应用当公比小于时收敛，大于时别法来判断收敛性这类级数的收敛性它们的收敛域可以用半径判别11发散法来确定函数的幂级数展开幂级数表示展开条件12函数可以表示为无穷项的幂级函数需满足在附近具有无限x0数形式，即次可导性，才能进行幂级数展fx=a0+a1x-x0开+a2x-x0^2+...系数计算应用价值34可以通过求导和代入计算得幂级数展开可用于逼近复杂函x0到级数展开的各项系数、数、数值计算、逼近原函数及a0a

1、等积分等应用a2课程总结与展望经过一个学期的学习同学们已经掌握了数学分析的基础知识和核心概念下一,步我们将加深对这些知识的理解并将其应用到实际问题中课程的最后几讲将,,侧重于数学分析在工程、经济等领域的应用帮助同学们更好地将所学知识运用,在未来的工作和生活中。