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课时达标检测
（四十八）锥曲线中的最值、范围、证明问题.［一般难度题——全员必做］
1.已知椭圆氏:+1=13乂＞0）的一个焦点为b2（1,0）,且该椭圆过定点《1,啕.（）求椭圆E的标准方程；1⑵设点（）过点尸作直线/与椭圆交于两点，且瓦瓦幺£［一］2,0,2E A,B1=2S,2,-1,以为邻边作平行四边形不求对角线长度的最小值.Q4,Q4C QC解
（1）由题易知C=l,^+^2=1,又a2=b2+c29解得方层=2=1,2,故椭圆£的标准方程为;+产=
1.x=^j+l,（）设直线，x=ky+1,由2户5+
1.得/2+2）产+23—1=0,J=4*2+4（*2+2）=8（Jt2+1）＞
0.设A（X1,J1）,5（必,J2）,—2k—］则可得以+力=西？刈刈=再？QC=QA+QB山+以-2k\=xi+x2—4,41+1=「k2+29U+2/.12I2=\QA+~QB|2=16-^^+^,由此可知，|应F的大小与好的取值有关.fc222,-------------__Vi1V由b2A=2尸28可得1=勿2,2=39彳=1,y，2#
0.yi，y\工.」_1yi+22_2y72_6R_4n队向4十1—十一一“i,入yi y\y\yi le+2由幺£［—2,-1］得9+0^［一±—2，从而一［w解得OW幺W,.令，则，春之28f+16=8£—£2一*.,・当时’回，|min=
2.
2.2018•河南洛阳统考已知抛物线Cx2=2pyp0过焦点F的直线交C于A,b两点，9是抛物线的准线，与轴的交点.y1若A3〃/,且△A30的面积为1,求抛物线的方程；⑵设M为直线与抛物线相切.AN的中点，过作/的垂线，垂足为证明:解iy A3M MAB//l.\FD\=p\AB\=
2..S^ABD=P2=
1..p=l故抛物9f P9线的方程为/=2y.,G，/，B X,g.2证明显然直线的斜率存在，设其方程为履+§27=kxA v——由，消去整理得，x1—2kpx—p1=Q.2y^x2=2py即,•••XI+X2=2X1X2=p
2..Mkp一§.4Ap,9X£X£X,+p
2.X]X2♦74曾2〃+22〃+22P2P XiX\—kp十孙PX1*2XLXLX1222X一，一.，,•.y=一・」p••・抛物线x2=2py在点A处的切线斜率k=^.，直线与抛物线相切.4N•合肥模拟已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆其上一点尸到两个焦点
3.2018y C,的距离之和为离心率为罟.Fi,B4,求椭圆的方程；1⑵若直线》=履+1与曲线交于A,5两点，求△045面积的取值范围.22v x解1设椭圆的标准方程为%+k=1〃50,2〃=4,£小由条件知，解得a=2c=y[3b=le=a=2，999a2=b2+c29故椭圆的方程为9+%2=1・（）设力）,B（X22Ag）J2,9小白1，得优2+4谓+
2.3=,J=Ax+l2k故X1+X2=-处处=一/+12+44,由xixi=—知0,S=2^IX|xi—xz|=〃+4炉+3XI+X22—4X1X2=2俨+产4令无2+3=/,知£，3,.S=2t+-+2011F—1对函数y=，+7«,3,知=1—^2=-0•力=+；在［+8上单调递增，••+；》¥，££3,《心，〈、〈申.0----7----z+y+2故△0AB面积的取值范围为［中档难度题——学优生做］
1.2018•嘉兴模拟过离心率为害的椭圆C3+营=1360的右焦点尸1,0作直线与椭圆C交于不同的两点B,^\FA\=1\FB\与A,2,
0.9求椭圆的方程；1C2若1W2W2,求△45T中AB边上中线长的取值范围.血解e—,•\a=yf2b=l,1V,c=l,9即椭圆的方程为C5+2=
1.⑵
①当直线的斜率为时，显然不成立.0
②设直线/:x=my+l BxAX1,ji,jz,92f[x2+2y2—2=09得了雨[—m2+22+21=0,联立彳[x=my+l,—2m—1则以+以=扃岫=百,5由得以=一句|E4|=7|EB|,2,
1.J2一入yi yi]丁机01+2242—入Jij2m2345678+2,又边上的中线长为:\TA+^TB\TAB=^\l X1+X2-42+01+J22_卜/+9/+4加+-V22=喈］
2.•武昌调研已知椭圆的中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线201842,0,80,17=依伏＞与直线相交于点与椭圆相交于两点.0A3O,E,F若罚万亍，求女的值；1=6求四边形AEBF面积的最大值.2y=kx,痴Exi,kxi,kx2其中由得比Ixo,0,FX2,9xix2,*21+4•2=4,解1由题设条件可得，椭圆的方程为+y2=i,直线A3的方程为x+2y—2=
0.设2解得必=一修=石.
①由得即一kX2即££=6X1,Axo—X1=6X2—XO,—Xo,Xo—X1=6X2—Xo,/.、1“510=尹万不而Xo=,6X2+%122由O在AB上，得xo+2痴o—2=0,/.Xo=l+2fce2in化简，得•1+24=711+4*24N—254+6=0,23解得左=§或k=R⑵根据点到直线的距离公式和
①式可知，点户到的距离分别为E,45左卜|xi+2fcri-2|21+2+71+42山一下一751+
4、，仅履一卜2+22|2Q+243+42-2y[5yj51+4k9“2ll+4k2+4k I,4k21+20；游余软弋吞布=271+2=21+当且仅当必=依即时，等号成立.0,；•四边形AEBF的面积为［较高难度题——学霸做］
1.2018•石家庄市质量检测已知椭圆C盘+1=1〃»0的左、右顶点分别为A,B,3且长轴长为为椭圆上任意一点，直线的斜率之积为一本8,T AL,T3故四边形AEBF面积的最大值为⑴求椭圆的方程;⑵设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于P,Q两点，求正•而+M0,2CMP・Q的取值范围.解⑴设由题意知Tx,y,A—4,0,34,0,3由k#2=―不得x+4x—44设直线TA的斜率为直线TB的斜率为*,则怎=#^，黄了e=2整理得为=m+
1.工丫22故椭圆的方程为m+3=
1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=h+2,点、Q的坐标分别为打,2P,直线尸与椭圆方程联立，Jl,X2,J2,任+上=1得『消去》得谭+612’442+316h—32=
0.16k32所以X1+X2=—4〃+31必=-4支+3・[y=kx^29从而,0尸・OQ+MP・MQ=xiX2y i-2j2—2]=21+k2xiX2+2kxi++jij2+[X1X2+.-80——52,8必+4=必2+3=.20+.2+3・——»——»52所以一20Vop・2+MP-MQ W一三.当直线尸的斜率不存在时，苏•质+而？•磁的值为一20・综上，/•诙+标•磁的取值范围为［-20,-yj.
2.2018・沈阳质量监测已知椭圆，+方=130的左、右焦点分别为尸产2,且下建2|=6,直线与椭圆交于两点.y=fcr431若△ABB的周长为16,求椭圆的标准方程；若左=坐，且B,Fi,四点共圆，求椭圆离心率的值;2A,B e在⑵的条件下，设/为椭圆上一点，且直线总的斜率加仁一试求直线的3Pxo,2,-1,P6斜率心的取值范围.解1由题意得c=3,根据2〃+2c=16,得=
5.结合肥+解得次=b2=
16.2=2,25,“2y2所以椭圆的方程为夕十七=L23lo-02b2得a2b2=52+$2%2—
0.设所以XiX2=Axi,J1,3X2,J
2.X1+X2=O,j-,+才o由尸述互相平分且共圆，Ab,2易知，AF2±BF1因为F1B=X2~^12A=XL3,JI,J2,99所以FiA・FiB=xi—3x2—3+jij2肛+=1+319=
0.g A一层？即所以有xiX2=-8,:-=-8,加+铲2结合b2+9=a2,解得层=标=舍去，126所以离心率c=+.法二设修，又优入互相平分且共圆,所以优尸尸是圆的直径，所以+4ji,A6A12行=9,仔+济=9,又由椭圆及直线方程综合可得＜yi~4Xn由前两个方程解得贯=将其代入第三个方xj=8,1,程并结合b89=a2-c2=a2-9解得故e=乎.*=12,9由的结论知，椭圆方程为言+王=321,JL/J由题可设B—xi,A%i,ji,—ji,,JQ-J1,jo+jlAi_______A2],与一行所以kik=xi—xV X—XI x+xi产出噌-3131-m X§—X X§X即与，由一可知，即直线42=—42VA1V-1M的斜率近的取值范围是},1~4f。
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