二项式定理知识点总结 2

二项〃一式定理44---------〃・〃A.4Bo34C D.〃13o

一、二项式定理:（+〃；优・・・；・・〃（〃£）等号右边的多项式叫做（+幼〃的二项展开式，其中6=C+C“b++C/—A4+.+c ZN*各项的系数；（攵=0,1,2,3・・・〃）叫做二项式系数对二项式定理的理解（）二项展开式有〃+项11（）字母〃按降事排列，从第一项开始，次数由〃逐项减到；字母人按升幕排列，从第一项开始，次数由210逐项力口到〃1（）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题31/,的解决带来方便在定理中假设=则（）〃・・・・・・；（）1,b=x,1+x=cy+C[x++++C£neN（）要注意二项式定理的双向功能一方面可将二项式（+〃展开，得到一个多项式；另一方面，也可4/0将展开式合并成二项式（）n4+b

二、二项展开式的通项k nk kT=C a-bk+l n二项展开式的通项=C〃-％（左=0,1,2,3・・・〃）是二项展开式的第女+1项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幕的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项小=k k）的理解Cy-b*=04,2,3-ri（）字母的次数和组合数的上标相同1b（）与的次数之和为〃2（）在通项公式中共含有这个元素，知道个元素便可求第个元素3a/,,/.]545例；〃一匕；等于

1.C+3C+9C/+…+3例（）求（）的展开式的第四项的系数；

2.1l+2x7（）求（的展开式中的系数及二项式系数.2x-Ly dx

三、二项展开式系数的性质『,

①对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；；a=c:,C=C C=C2,…c=c i,…

②增减性与最大值在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值n如果二项式的基指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即〃偶数（G）max=U；n-\〃+1如果二项式的累指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即（G）max=CF=G7

③二项展开式的各系数的和等于〃，令即+=（）〃〃；2=1,1C+C+…1+1=2

④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令］即=1,b=-・・・；・・・〃C+C+=C+C+=2T例题写出（）的展开式中x-y”（）二项式系数最大的项；1（）项的系数绝对值最大的项；2（）项的系数最大的项和系数最小的项；3（）二项式系数的和；4（）各项系数的和5

四、多项式的展开式及展开式中的特定项（）求多项式（的+…+）的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展16+开例题求多项式（）的展开式/+4-23X（）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析2例题求（1+工）2・（1一%）5的展开式中/的系数、〃/1例题（）如果在十—的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项16划I2x求」-的展开式的常数项2x+2I W【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定后

五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题已知尤2・，求1-2y=4+a x+a x+..+%/12+凡+,,,+%；；1q2Q]+3|6Z|+|6Zj|+••,+|6Z|.7

六、二项式定理的应用、二项式定理还应用与以下几方面1进行近似计算1证明某些整除性问题或求余数2证明有关的等式和不等式如证明〃〉〃〃取〃〃的展开式中的四项即可322M N3,£N2=l+l、各种问题的常用处理方法2近似计算的处理方法1当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求n的近似值n|x|1+x例题的计算结果精确到的近似值是

1.

0560.01A.

1.23B,

1.24C.

1.33D.

1.34整除性问题或求余数的处理方法2

①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式

②用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除数的倍数与某数攵的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的左通常为若人为其他数，则需对累的底数人再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面或±1,者是某项

一、二项就可以了

③要注意余数的范围，对给定的整数有确定的一对整数夕和人满足+其中〃为a/gwO,a=除数，厂为余数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数例题求除以所得的余数2013637例题若〃为奇数，则〃+；〃+丁被除得的余数是771+7-2+379A.0Bo2Co7D.8例题当〃且〃〉求证〃EN1,21+!3【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试

一、选择题本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中,合题.12560只有一项是符目要求的.在『的展开式中，，的系数为

1.x-6XA.-27C oB.27CC・-9CD.9C已知的展开式按的降幕排列，其中第，项与第项相等，那么正

2.a+b0,b=4a,a+bn an n+1整数等于nA.4B.C.10D.11已知

3.JZ+〃的展开式的第三项与第二项的系数的比为则〃是112,A.10B.11C.12D.13］被除的余数是

4.538A.1B.2C.D.的计算结果精确到的近似值是

5.

1.056o.oiA.

1.23B.

1.24C.

1.33D.

1.34二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项

6.2V7+n£N数是・A.1B.D,4\_设展开式的各项系数之和为其二项式系数之和为3x§+x5n t,h,若则展开式的项的

7.t+h=

2.72,X2系数是A.1B.1C.2D.2在的展开式中/的系数为

8.1+X—/6A.4B.5C.6D.痣+把〃展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是

9.A.330B.462C.680D.790的展开式中，/的系数为

10.J7+l4X—l5A.-40B.10C.40D.45且系数最大的一项的值为』，则在［x0,2二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为

11.l+sinxn7,2兀］内的值为「「一或——7157171271D.36一或一一或——B.C.6633第项第项第项第项A.2B.11C.20D.24在的展开式中，含4项的系数是等差数列行的

12.l+x5+l+x6+l+x7X3—5

二、填空题本大题满分分，每小题分，各题只要求直接写出结果.164展开式中/的系数是_____________________.

13.—--I,2x若［・・・，，贝的值为

14.2x+G4=a0+a x++a4X Ma+a+aj2-®+@3若〃的展开式中只有第项的系数最大，则展开式中的常数项是

15./+%-261000999

①展开式中二XT io一C1999对于二项式,有下列四个命题:

16.1-X-999

②展开式中非常数项的系数和是；1

③展开式中系数最大的项是第项和第项;10001001

④当时，二产除以的余数是x=

200019920001.其中正确命题的序号是.把你认为正确的命题序号都填上

三、解答题本大题满分分.74。