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河南省实验中学高三学习成果评价理科数学试卷
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合4=[—1,1],B={x\lnx\},则臼[8=A.0,1B.0,1]C.-1,1D.[-1,1]
2.已知z的共胡复数是彳，且|z|=5+l-2边•为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知向量5=1,6，|5|=3,且M与3的夹角为三，则|2M+6|=3A.5B.A/37C.7D.
374.已知函数/x=,若./—/+1,则实数的取值范围是[-X--2x+l,x0A.[-2,1]B.[-1,2]C.-oo,-2]|J[1,+ooD.-00,-1]|J[2,+oo
5.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在42+12+产不中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值工,这可以通过方程产耳=x确定x=2,类比上述解决方法，则正数1+一『等于
6.已知函数/%=1sinx+等cosx,将函数/%的图象向左平移力根0个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称，则机的最小值是A.-B.-C.-
6437.如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是A.9B.10C.12D.18V
228.已知双曲线二—2=1（〉0/0）的左，右焦点分别为《，尸2,点P（2,G）在双曲线上,a~且|P片|,|大匕|,|Pg|成等差数列，则该双曲线的方程为（）22222A.x2-/=l B.2-匕=1C.犬_二=1D.2-匕=
12331649.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块2x-y+2・.
010.如果点P（x,y）满足vx-2y+l,,0,点在曲线£+（y+2）2=l上，则|PQ|的范围是（）x+y—2,,0V.A.[75-1,Vio-l]B.[V5-1,Vio+1]C.[M—1,5]D.[A/5-1,5]
11.在四面体ABCD中，AD,平面ABC,AB=AC=y/To,BC=2,若四面体ABCD的外接球的表面积为等，则四面体ASCD的体积为（）A.24B.12C.8D.
412.已知a0,曲线/（x）=3x2-4cix与g（x）=有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为（）A.0B.一二C.一±D.e e
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若圆f+y2=l与圆（x+4）2+（y—）2=25相切，则常数=.
14.在AA3C中，角A,B,所对的边分别为c,若a,b,c成等比数歹L且tan5=』,4则一^+―的值是tan Atan C
1215.已知x0,0,且一+—=1,则冲+x+y的最小值为
16.如图，已知过椭圆=l（abQ）的左顶点A（—卬0）作直线I交y轴于点P,交椭圆于点，若AAOP是等腰三角形，且网=23，则椭圆的离心率为.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题共60分.
17.（12分）已知等差数列｛4｝的公差dwO,若%+%=22,且%，/，小成等比数列・
（1）求数列｛“〃｝的通项公式；
（2）设V,求数列屹〃｝的前〃项和
18.（12分）记△ABC的内角A,B,的对边分别为〃，b,c已知廿=〃八点在边AC上，BDsinZABC=asin C.⑴证明BD=b;Q）若AD=2DC,求cosNABC
19.（12分）已知平面多边形B45CD中，PA=PD,AD=2DC=2BC=4,AD//BC,AP±PD,ADA.DC,E为PD的中点，现将AAPD沿AD折起，使PC=
20.
20.（12分）已知尸（1,2）在抛物线CV=2px上.
（1）求抛物线的方程；
（2）4,5是抛物线C上的两个动点，如果直线%的斜率与直线PB的斜率之和为2,证明:直线A3过定点.
21.（12分）已知函数/（x）=（x-l）2+Q（/HX-X+1）（Q2）.
（1）讨论/（x）的极值点的个数；
（2）若方程/（X）+Q+1=在（0,2］上有且只有一个实根，求〃的取值范围.二选考题共10分.请考生在第
22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.［选修4-4坐标系与参数方程］X—1-|-
2.
22.10分在直角坐标系中，曲线G的参数方程为，Q是参数，以坐标y=-2+，原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为P2=1求曲线c的普通方程和曲线G的直角坐标方程;Yf-2T2设曲线c经过伸缩变换得到曲线3，是曲线上任意一点，求点M到曲线G的距离的最大值.［选修4・5不等式选讲］10分
23.已知/x=|x+11,gx=2|x|+〃,1当=一1时，求不等式/%..gx的解集;2若存在不£/使得了%.送%成立，求的取值范围.河南省实验中学高三理科数学学习成果评价参考答案B DB AB.A AACD.C B.±2小或027+
463517.解1设等差数列｛见｝的首项为q,公差为ddwO,由生+%=22且%，%，小2«+10d=225/口14=1a=q+〃-1=1+2〃-1=2n-1；1,解得J1n%+7dy=q+4dq+12d[d=2成等比数列，得“2323522〃—12〃+l4/i24/_1+
11111、-------------------------=1H=1H-------------2〃一12〃+14n2-l2/i-l2/i+122n-\2〃+l=n+—1---------=n-\-------22〃+l2〃+l
18.解
（1）证明由正弦定理知,-——=2R,:.b=2RsinZABC,sin ZABCsin ZACBc=2RsinZACB,b1=ac:,b-2Asin ZABC=a-2/sin ZACB即Zsin ZABC=a sinC・.・BDsin ZABC=asm C,:,BD=b；
（2）由
（1）知BD=b,•/AD=2DC,/.AD=-b,DC=-b,由余弦定理知，cos ABDA=BD+AD~AB=-~M—-2BDAD b\3b2-9c23人…、丁田…10必_9〃i BD+CD~BCb3^2由余弦定理知，cos ZBDC=-----------------------=-------------------=------；—2BDCD21,6b22b♦-b313A23-9c210/2-9rz2・./BDA+/BDC=7V,..cosNBZM+cosNBDC=0,即----------------—+-------；—=0,得12〃6b2ll/2=3c2+6a2，、2,.・b2=ac,3c2-1lac+6a2=0,.\c=3a c=—a,在AABC中，由余弦定理知,323c2—1lac+6a2=0,/.c=3a或c=—a3i十一—,当c=3aH寸，cosZABC=-l（舍）；当C=2Q时,cosNA632ac2ac7cosZABC=—；127综上所述，cos AABC——12法二・.,点在边AC上且AO=2DC,^D=-BA+-BC./.BD=-4-+BD,1291）矢口BD=bb~=-bc-cos ZABD+—ab・cos ZCBD3h=c-cosZABD+2a-cos ACBD,/+〃」和22+02_/7-----——,/.11/72=3cl+6cr,・.•b2=ac,lab由余弦定理知3b=c-----------------+2Q•2bc，在AABC中，由余弦定理知，0nc Q-+C~_6矿+-CICcos ZABC=------2--a-c-----2ac7977当c=3a时，cos ZABC=—1（舍）；当c时,cos AABC——；综上所述9cos AABC——1212=—a法三在ABCD中，由正弦定理可知asinC=BDsinNBDC=bsinNBDC,而由题意可知ac=b2^asinC=ZsinZABC,于是sinZBDC=sinZABC,从而ZBDC=ZABC或ABDC+ZABC=TI.若/BDC=ZABC,贝I」ACSD^AC43,于是C82=CD-G4=Q2=—=Q:Z:C=163,3无法构成三角形，不合题意.若NBDC+/ABC=71,则NA/M=NABC=AABZ^AACB,于是AB2=AD-AC=c2==a;b:c=3:V6:2，满足题意，37〃2+2_因此由余弦定理可得cos ZABC==—.2ac12//1//
119.1证明取Q4中点尸，连接EF，则EF为\PAD的中位线,・•・EF=-AD，又BC=-AD,//:.EF=BC,・•・四边形BCE尸是平行四边形，:.CE//BF,又BEu平面BAB,CEQ平面..・石//平面弘
3.2解:取4的中点M,连接国0,♦PA=PD,..PM上AD,又DM=BC,AD±DC,CD=BC,・•・四边形BCDM是正方形,.\BM±AD,为二面角P-AD-B的平面角，设在底面ABCD上的射影为O,\-APA_PD,AP=DP,AD=4,.\PD=2y/2,又PC=2后，:.PD=PC,..O为的中点,・・・OC=+9=技/.0P=ylPC2-0C2=yj
3.设CD的中点为N,以为原点，以OB,ON,OP为坐标轴建立空间直角坐标系，则A—1,-2,0,B1,0,0,尸0,0,V3,E一一1,,.•・瓶=2,2,0,Q=l,2,V3,h.AB=0设平面Q4B的法向量为n.AP=02x+2y=0x+2y+V3z=0・・.cos〈万，理〉=上A/210£\n\\AE\35直线AE与平面ABP所成角的正弦值为|cos|=立地.
20.解⑴解将P点坐标代入抛物线方程尸=2X，得4=2p,即p=
2.所以抛物线C的方程为V=4x.2证明设AB x=my-Yt,将AB的方程与y2=4x联立得y2-4my—4=0,zi0=16m2+16z0=m2+zL0,_h.》一2L24%=国_]=必_=正,设Axi，y,8x2，竺，则yi+，2=4机,同理kpB414由题意知识+竺+2=2,即46+丁2+4=28竺+
2、+2y2+4,解得yi，2=4,故-4f=4,4”+2即=—L故直线A3工=町一1恒过定点一1,
0.1Y—IV X—2X-1X-1n
21.解1f\x=2x-1+a--l=x-12--——-------------------------=----------------X XX Xca ia2,1；2
①若jo,即知时，则由r*o得xi或舍，此时函数为增函数，由/x得SX1，此时VX1，此时函数为减函数，即当x=l时，函数/%取得极小值，此时无极大值，即极值点有1个，
②若刊0,即Ovov2H寸，则由「幻0得X1或0xq,此时函数为增函数，由rx得@xi,此时函数为减函数，即当％=i时，函数.“x取得极小值，当1=4时，函数/X取得极大值，即极值点有2个，综上％0时，/幻在x=l取得极小值，极值点只有1个，012时，/X有两个极值点.2fx+Q+1=x—1+ci^lnx—X+1+Q+1,当avO时，由1知，/x+a+l在0,1］上是减函数，在1,2］上是增函数；lim［x-l2+alnx-x+1+a+1］=+x,/l+a+l=a+l,f2+a+l=1+a/〃2—1+a+l；A-0+、、2故a+1=0或1+aln2一1+々+10；故Q=-1或Q---；ln2当a=O时，/x+a+l=x-l2+10,故不成立；当0vav2时,由1知,fx+a+l在0,马上是增函数，在q,1］上是减函数，在1,2]上是增函数；且lim[x-12+〃—X+1+Q+1]=-OO,f1+a+i=a+i0,10+故方程/%++1=0在X£O,2］上有且只有一个实根，7x=1+2,
22.解1・.•曲线G的参数方程为是参数，.•・曲线G的普通方程为y=—2+/x-2y-5=0,・・•曲线G的极坐标方程为夕・・・・夕？+3夕2豆112=4,.•.曲线6的2=1+3新夕综上，所求实数〃的取值范围是a=-l或QV-上或0vav
2.ln2直角坐标方程为上+y2=i.42x丫=2丫丫22曲线:+y2=1经过伸缩变换■得到曲线G，，曲线G的方程为上+9=1,V=y16设M4cos/sina,根据点到直线的距离公式得:14cos二一2sina-51|2sina-4cosa+51|2百sina-7+5145与,,|25|=2+6,其中，tan/=2,・•・点M到曲线C的距离的最大值为2+
6.
23.解1当Q=—1时，gx=2\x\-l,若/%..gx,即|x+l|..2|x|—1,即当x..0时，X+
1..2X-1,即工，2,此时噫!k2,当一IvxvO时，不等式等价为％+L..一2x—1,
79..即尤…——，此时一一,,x0,当用，一1时，不等式一%-上.一2%-1,得x..O,此时无解，33综上-2领k2,即不等式的解集为［—2,2］532若存在玉£尺使得了%o..gXo成立,即|x+l|..2|x|+a，则
④|x+l|-2|x|有解即可，-x+1,x.O设/zx=|x+l|-2|x|,则〃x=43x+l,-1x0,作出函数X—1,X,—1//X的图象如图则函数以幻的最大值为/20=1,要使
④|x+l I-2|x|有解即可则Q,,1即可....=l+-l--+l+----+...+1+-—。
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