激光束的自聚焦-自散焦与自调制

激光束的自聚焦、自散焦与相位调制引言在各向同性的非线性介质中，光场会引起介质极化率的实部发生变化，或者说光致折射率变化或产生非线性折射率光致折射率变化的效应有多种，这里只介绍光学克尔效应，它表述为介质某处折射率变化的大小与该处光强大小成正比本文介绍自作用自相位调制和互作用交叉相位调制两种光克尔效应还要讨论由于高斯光束横向分布的不均匀性，光束在传播过程中引起的自聚焦，自散焦效应的理论，以及相关的时间和空间自相位调制的现象一.光学克尔效应光克尔效应是指光电场直接引起的折射率变化即非线性折射率的效应，其折射率变化大小与光电场的平方成正比，即怛这种效应属于三阶非线性光学效应具有克尔效应的介质称为克尔介质光学克尔效应因其Anoc2|产生的非线性极化率的方式不同而被分为两种自作用光学克尔效应1利用频率为⑴的信号光自身的光强引起介质折射率变化，同时用一束信号光直接探测在该频率3下的非线性极化率实部或非线性折射率的大小互作用光学克尔效应2演示这种光克尔效应，需要两束光泵浦光一-引起折射率变化的强光；信号光一一探测介质折射率变化大小的弱光也就是用频率不同3或偏振方向不同的强泵浦光引起介质折射率变化，同时用频率为3的弱信号光探测介质非线性极化率实部或非线性折射率的大小图.给出了自作用克尔效应和互作用克尔效应的两个典型例子1自作用克尔效应互作用克尔效应a b图.两种光克尔效应1设信号光频率为3,泵浦光频率为3，忽略吸收，自作用克尔效应和互作用克尔效应的非线性极化强度分别表示为小-

32.⑶；P W=3£°x3G,_0,3Eco£co小•32叫,-；石“石⑷P3=6£/333在光波传播过程中，折射率的变化会引起光的相位的变化考虑一个沿方向传播的平面单色波后⑷，Z，，光从出发传至引起介质的折射率变化为传播常数变化为相应光波的相位变化为z=Eze“wz=L,An,Ak,z=0,32兀/、二人也=一八疝二一Ae A nL入c oKzf⑺=7P-

0.852^常数和临界功率都可以由实验测定K4由可见，在准稳态自聚焦中，焦点位置在介质中并不固定，而是随时间变动与的关系曲线如t Zt tr图所示从图中可看出，当激光入射至介质后，因为自聚焦要满足阈值条件，所以在时刻首先在Z处产7tD D生一个焦点然后它沿着形线分成两支运动焦点的运动速度由曲线的斜率确定沿一支向光束的前U DAE进方向运动，速度可大于沿另一支表示自聚焦焦点先是向后运动，在到达最短焦距后又返回，再c/n DBCZB向前运动与输入脉冲峰值功率相对应这一支焦点的运动速度始终小于光速，特别在处焦点的运动速ZB ZB度为零这种双焦点的运动图像在实验中已经得到证实图自聚焦焦点随时间变化曲线7a图入射激光脉冲功率波形7b Pt值得注意的是，自聚焦焦点的运动速度超过光速并不违背狭义相对论，因为不同时刻的焦点是来源于入射脉冲的超过自聚焦阈值的不同部分的自聚焦，因而焦点的运动并不代表整个光脉冲信号进入介质的能量传输过程，光脉冲的传播速度必须用群速度来描述，它不会超光速从自聚焦破坏的角度来讲，焦点运动由速度比较慢的地方即停留时间长的地方最易发生介质破坏，这相当于图中的几处确实在透明的液体中已经在这个区域观测到激光引起的气泡瞬态自聚焦当激光脉宽比介质的响应时间更短或接近时，自聚焦的过程就必须考虑随时间的变化了，必须An An考虑因的时间延迟引起的光脉冲的前沿部分如何影响其尾部的自聚焦，这就是瞬态自聚焦现象可以用图An8定性说明图激光脉冲在介质中形成喇叭形传播的瞬态自聚焦过程

8.图⑸激光功率随时间的变化曲线中a〜f表示满足阈值条件的各个时刻的功率当a部位脉冲输入时，由于介质来不及对场响应，八很小，因而它在传播时几乎是线性地衍射，到部位有稍微大一些的但还未n bAn,大到足够引起自聚焦，因此它依然是衍射，但较段脉冲的衍射要小当段脉冲输入时，由于先前、段a ca b脉冲产生的已经足够大，足以克服衍射效应使光线向中间会聚同样可分析段脉冲，它们的聚焦点一An d~f个比一个向前移，且聚焦后不发散这是因为虽然e〜f段的峰值功率变小，但由于以前引起介质折射率变化的累积使△n变得很大仍可形成自聚焦如果我们在同一时刻把a〜f各时刻输入脉冲的各时刻输入脉冲的各自波前连接起来，就得到如图喇叭型的脉冲激光的横向轮廓自聚焦的危害及消除非线性自聚焦具有非常大的危害性过去的几十年，人们一直对此进行着广泛深入的研究圆对称超高斯激光束在克尔介质中传输时也会由于非线性自聚焦效应而形成自聚焦环，自聚焦环在扰动的作用下将分裂成丝自聚焦环的形成及分裂是影响光束质量，甚至造成光学元件损伤的主要因素之一重庆文理学院物理与信息工程系的赵华君发表在《激光杂志》中的一篇论文指出可以采用具有负非线性折射率系数的非线性介质来补n0偿非线性自聚焦效应，从而抑制光束传输时的非线性增长他在实验中采用的是具有较大负折射系数的GaAso结果表明，圆对称超高斯光束在通过克尔介质时会出现明显的自聚焦环，然而当使用具有负折射率系数的非线性介质对自聚焦效应进行补偿，可以大大减小光束的累积积分，有效防止圆对称超高斯光束自聚焦环的产生B四川大学光电系和中国工程物理研究院高温高密度等离子体物理国防科技重点实验室的研究人员发表在《光学学报》上的一篇论文指出适当地选取圆对称超高斯光束的初始参量，如合理选取其阶数和宽度，可以降低自聚焦成环效应，从而降低因自聚焦环分裂在光束边缘出现的细光束对介质造成的成丝破坏三.自相位调制时间自相位调制实验发现一个线宽很窄的激光脉冲经过自聚焦后，从细丝区出射的光有很强的频谱展宽对纳秒~lcmT脉冲，展宽约数十个波数1而对皮秒脉冲，展宽可达几千个波数以对亚飞秒脉冲，甚至可展成白光连cm-,±o续谱这种自聚焦光的谱线自增宽效应是由自聚焦的相位自调制引起的以下用一个物理理论模型加以解释设入射激光脉冲的光电场表示为Ez,r=Eoz,re-%⑴式中；是光脉冲的群速度；光功率密度为⑴％光脉冲在自聚焦细丝中传播，使介质的折射率发生T=t-z/v v|E的变化为加=稔或光束通过长为的细丝，其相位被调制，发生如下的相位变化72L△帕=-即⑴L=纥Et2L2C C设入射光脉冲的中心频率为3，自相位调制引起的频移为△3在时刻相位变3=t化引起的频率增宽为鸿AW〜dt在频域中的光振幅是频率增宽的函数，可由傅里叶变换得到£A69,Z二Ez efdt相应的光强的频谱分布为/△包z oc但Ae z.假设入射脉冲为脉宽约为的高斯型光脉冲，因「，也应是高斯型对称的，用公式可5Ps A°oc|Ef A0算得随时间变化的波形，如图上部所示；按公式算得频移喟啾曲线，△的两个负的和正的峰分别A093t对应高斯型的两个拐点，如图中部所示；用和算得的光强频谱分布曲线如图下部所示可见功率谱相对99于激光的频率3也是对称的.频谱增宽约，如果入射功率引起的相位调制是上升比下降陡得多的，则功300cm率谱是不对称的如图所示b图上升和下降对称的相位调制△6及其对应的功率谱9a图上升比下降陡得多的相位调制△6及其对应的功率谱9b因为此处△有最大的斜率，因此谱振幅最大，它们处于频率谱上最远的两端-△即3在左边；△3即3=3-△3在右边靠近△曲线的中心部分斜率最小，因而谱振CO3=COo+A幅最小在△,⑴曲线上存在着许多频率相同，但位相不同的两对应点，这两个点相当于两个频率相同但位相不同的两个波发生干涉，是相长干涉还是相消干涉，由它们间的相位差决定,因此输出谱上出现峰和谷交替的半周期振荡结构每一边的峰数目由%的整数倍数决定由于曲线的峰顶较平坦，因此谱边沿的峰较宽由于不对称的goL/As t输出功率谱，因为响应的、太小，变化缓慢，使振荡数太少，且周期太长，故形成拖尾现象lAOk A

0.空间自相位调制2空间自相位调制是光束横截面上产生的自相位调制对于高斯光束，沿径向呈高斯分布在中心A6r rr=0处光最强，对应的△力最大如果|△跳比兀大得多，那么在横向输出功率谱上等处出现中心对称的峰或谷，因2r而远场的投影以亮暗相间的环形结构出现，如图所示这是同倾角、不同半径不同相位的光环间的光干涉的结10果亮暗环数接近，比数接近跳皿/乃的整数最外面的直径由高斯型拐点处得最大斜率确定在液晶薄|A4@r膜中已观察到约个干涉环如图是我们用有机溶液演示的一张自散焦空间环照片10010图自散焦空间环照片列举自相位调制的一个应用

10.北京邮电大学光通信与光波技术教育部重点实验的工作人员报道了利用自相位调制效应测量微结构光纤的非线性系数下面我们简要介绍一下实验原理考虑入射脉冲光强的影响，光纤的折射率可表示为式中，是介质的线性折射率，|@为光纤中的光强，是与三阶电极化率;⑶有关的非线性折射系数光n112r纤的112值在

2.2〜34X10-20加2/w的范围内由于光强对折射率的调制，使得光强大的地方折射率变大，这样相对于原来的线性传输，光场传输的相移有了变化，可表示为式中，％万”，是光纤长度，其中源是由光场自身引起的非线性相移，所以称为自相位调制=2L SPMo当忽略色散的影响时，由效应引起的最大的非线性相移为SPM其中，/为非线性系数，也.为输入脉冲峰值功率，%为光纤的有效长度，可由下式表示其中，为光纤的损耗系数，为光纤的长度由上式可知，只要准确测量落…以必和”,就可以得到光纤的L非线性系数在上述的参量中，参量落，可通过光纤中的效应测出由于光纤脉冲在光纤中传输时，所7,SPM SPM致的频谱展宽在整个频率范围内伴随着振荡结构通常，频谱由许多峰组成，且最外层峰强度最大，峰数目与落_集有关，且随着心,线性增加峰的数目近似由以下关系决定M因此可得，该测量方法简单、准确，实验测量值与光纤的标称值误差小于适宜测量小色散值光纤的非线性系数1%,上式表明光致折射率变化调制了相位，对自作用光克尔效应和互作用光克尔效应，相应地存在自相位调制（）和交叉相位调制（）两种SPM XPM自相位调制光克尔效应为讨论自作用光克尔效应中折射率与光场的关系，设频率为川的强激光入射各向同性介质，仅考虑一阶和三阶效应，其中一阶极化率/⑴=%⑴⑴”和三阶极化率力⑶=/⑶+匕⑶”皆取实部,则总极化强度为+i/（）⑶1•）））P3=P W+P W（）2）姆（叫）E（））⑷）=WEW+3£o3,-3,3G E根据和=，并定义有效三阶极化率心以=力⑶，，由（）得O=/E+P e£32£=£（）⑼）（）1+/+4式中£是总介电系数，为实数利用线性介电系数的关系%=历？和£=（⑴），得到喏⑴，将它代入式£o l+x’=l+x（）得到2；）））（）£=£o5+/fEW利用（），得总折射率为n（〃=（£/%严=%1+举归⑷『严X八+《归⑷）/（）叫）Z几°式中，考虑到等式右边圆括号中的后一项比小得多式（）的前项为线性折射率，后项为非线性折射率，1n即为△八=■归（）可见非线性折射率与场振幅平方成正比，比例系数为非线性折射系数，即二一〃（）24它与有效三阶非线性极化率实部成正比（）变为-2二九A n,EW12利用/=—），由式得£0C%E33,（r—n2/△二n可见非线性折射率与光强成正比，比例系数也称为非线性折射系数，它与三阶极化率实部的关系“3n—2总之克尔介质的总折射率包括线性和非线性两部分，它与光强成线性关系，即〃=〃（）+△〃=%+n I2光克尔效应引起的光致折射率变化的物理机制很多，例如电子极化，电致伸缩，热效应等克尔介质的非线性折射系数越大，介质的响应速度越慢，响应时间越长当光束传播一定距离时，因为克尔效应引起介质折射率的变化，而产生光束的非线性相位差为LA i）=-^A nL=H E2L（）2入入交叉相位调制光克尔效应考虑一种特殊的互作用光克尔效应频率为的单色信号光与频率为的单色泵浦光同沿方向传播，但两者3oZ的偏振方向不同泵浦光沿方向偏振；信号光沿平面内的某任意方向偏振,如图所示y x-y2图.信号光（/）与泵浦光（3’）的传播方向和偏振方向2泵浦光引起介质折射率或极化率（实部）发生变化，从而分别由信号光电场的和方向分量、（3,）和x yE z（）所产生的非线性极化强度的和分量分别为E,.3,z xy）（），））（）¥33*=

6、彳一（33,_3,3怛（3*纥（3P,（3,Z）=6,播（93；—3；3）,（3f月,（3,Z）（）方向的耦合波方程为y将（）代入上式，并且得Ak=O,阻，=牛婢;⑷;3）（）2纥⑷,）（）O|£«|zaz k若认为泵浦光（）不随变化，就可得方向的信号光场强Ex yik9耳叱）…%丫燔（*酢什｝（）3,6上式中方括弧内的量正是信号光在方向的非线性折射率，记为△y△沏岑煨皿—,琲）『△%△%=等琲（）「鼠,（n

（323）=鼠心=等「黑△©=,〃-=怛3「聚焦与自散焦示意图x*x入/2nc--对于自聚焦，沿介质的径向从轴心到边沿高斯光束的光强是逐步衰减的，根据因而其折射率也是逐步An=n2l,减小的可以把光束经过的路径看成一个折射率渐变的波导，其作用就像一个自聚焦透镜，如图所示4图自聚焦透镜对光束的会聚作用

4.根据渐变折射率自聚焦透镜端面处最大数值孔径公式NA=n sin4=_/,2%团0-九⑻]0式中是介质的线性折射率，为最大的会聚角为中心轴上的折射率，n3n0是边沿的折射率，该处光场近似为则有,所以由得n0=n+An nR0,nR=n0o%sin q~12n Ano由于会聚角一般很小，近似有sin耳耳因此自聚焦会聚角与激光引起的非线性折射率的关系为另一方面，若介质入射面是高斯光束的束腰位置如图高斯型激光的衍射角近似为5,图高斯光束的衍射

5.—W°为波矢，为束腰半径所以自聚焦会聚角与激光衍射角的平方比为K a空」出马0；2h/k2a2由此可见，在自聚焦过程中，同时存在着两种互相竞争的作用引起光束会聚；衍射引起光束An发散光越强，光束会聚光斑越小，则衍射作用越强在本节末会证明，只要满足2An11-八八丁一后或壬〃则自聚焦始终强与衍射，直至其它非线性效应终止自聚焦过程考虑到为产生自聚焦所需的根据必须使用的激光光强为An=I,An,1=—%—22%2Q2例如，n=10-13cm2/W,a=lmm,k=2xl04cm~1，由得当光强超过IMW/cn就能产生自聚焦2如果激光的自聚焦作用与激光的衍射作用达到平衡心就会出现一种自陷效应稳定自陷0s=1/20实际上就是空间光孤子根据入射激光脉冲宽度与激光感生介质折射率变化的响应时间的关系可以把自聚焦分为:稳态自聚焦，准稳态自聚焦和瞬态自聚焦下面我们分别来介绍三种自聚焦现象稳态自聚焦如果激光的脉冲宽度比较长，远大于介质的响应时间，自聚焦后的光斑尺寸、焦距都保持相对稳定，此时自聚焦现象的理论可以用稳态方法处理以下介绍自聚焦的近轴稳态理论非线性介质的波动方程为▽▽入d2^E_d2PNLV VE+//x x——i—=-〃2假设介质是各向同性的，方程中的介电常数为标量；并设为线偏振的，则可写成标量形式E方程左边第一项为VxVxE=-V2E=-V^E+—-E2式中嗅+a M2a3y212az对于克尔介质，利用将方程右边的1写成O2〃E=24/A EpNL=E利用值和%则方程变为C=l/Kd2E d2E_2n^\nd2E dz2c2dt2c2I%dt2在方程中代入以下沿方向传播的单色平面光电场和极化强度ZEz J=£z尸zj=尸等=嗤+答-iwt-kz x2ik—e^-^-k2・2,e-…e dz式中为介质的线性折射率则方程左边的第二项为k=kon=no3/c;n这里考虑到复数场振幅片是的缓变函数，因此在方程中略去了含箸项方程中左边的第三项和右边的项都含Z有T=2[—

①2瓦_2/匹/•””生=—kEe-idc2dr c2dt dt2这里考虑到在稳态情况下方程式中可略去含黑哼的项将和代入,该式变为dz这就是抛物线型的稳态自聚焦波动方程一般情况光波不是平面波，复振幅后可表示为如下形式，fer zE=Eor,zK-式中表示光场的振幅函数，表示实际波面与平面波的几何差异，二者皆为轴对称的实数E0r,z Sr,z kSr,z=@是光场的相位将式代入再分成实部和虚部两个方程，成为位相和振幅相互耦合的一组耦合方程2dS1A力9E2k2dz+53EQ%^+V eEoVS=O±±方程反映能量关系因为功率总亿对两边在整个截面P=j/r,z2;rMr,/=z,o2上积分，可得名这表明在传播的过程中是不变的能量守恒对于高斯光束，在『的=0,p0dz2束腰处，@屹二场强=£；总，该处截面积为=/若，则通过光束横截面的总功率与传播位置无20,0,,Eo«4P ZEoJ,关为•万〃;P=I•A=g20noe方程描述光的波面相位变化，表明波面的变化由等式右边两项所代表的作用确定第一项为衍射作用，第二项为非线性作用此方程难于直接求解，只能近似求解方程可以在近轴条件下近似求解在该条件下，光束横截面内的光束为高斯型，光斑尺寸沿轴变化，此时和就可看做是描述在介质中高斯光束传播的规律当△Z11=0时为球面波形式当瓯时波面仍可近似看成球面波，只是球面曲率中心在轴上的位置沿轴连续变化，方程H0Z的解的形式可写成Eor,z=Eom-^—e2az~5r,z=+

①z2Rz〃z为径向坐标为光束的半径，为波面的半径当时为平面波，R azR zHfoo S=0z利用，的可做如下近似计算对于近轴光有则一匚；An/nd*az2,J32=/%10一ri2£02—2An〃~~22Eom-^-e ax----------a~几o将，和代入方程式，可得以下两个方程设入射光强和波面的分布具有圆柱对称性，故采用柱坐标，以代替r,4,z2因此o女=3dz R将方程两边对z求导，利用可得为将，代入可得…0*16+将上式两边乘以组，并积分可得2dz积分常数由初始条件和二来确定，得到C R0=Ro,a0=a600上，则方程变为+1-23”k/萨*S4+Q+这是各向同性非线性介质中旁轴近似解的光束半径变化规律若入射光为平面波方程简化为号=三+1—231CIQ K可见，当时，光束会聚,为自聚焦情况光束在焦点二处形成焦点，即当Bl/2aza,z Zf00当时,光束发散,为自散焦情况当二时，,保持光束半径不变，属于自陷获情况BG/2aza,B1/2az=a0因此，决定了光束传播的规律根据，也可以表达为B B心丝2o\/k~a~可见的意义是光致折射率变化的作用和光衍射的作用之比当时，有沙=二二根B B=l/2%ICCT据，仇=汕,相当于非线性作用与衍射作用达到平衡一般情况下，令二由方程可算出自聚焦焦点位置即az0,Zf,-±-p^-4v A%y%k~a~此式可写成光功率表示形式，根据式（），（）和则有k=3/c,定义时的功率为临界功率乙由（）得B=l/2可见材料的非线性越强，产生自聚焦的阈值功率越低利用（），（）和（），式（）可改写为———~K以下讨论在不同的入射波面的情况下，聚焦光束截面尺寸随传播距离的变化的情况:（）当平面波入射，％〉自聚焦的焦距为正值1-00,P Pc,Zf2P/P-I由式（）可以看出（）越小，越大，越小a PZf⑵当会聚光入射,则焦距满足R0,Zf若入射波为弱会聚，当但|上;/必展式（）右边第二项取“+”号，此时只有一个向入射方向移动I,的焦点；若入射波为强会聚，即卜布/次耳不，式（）右边第二项取“土”号，即有两个聚焦点存在|R7（）当入射波为发散波，则焦距满足3R°0,ZfJ____11+Zf周一履Wc光束在介质中逐渐由发散转为会聚的条件为〉即产二表明当入射光率一定Zf0,T时，只有入射光发散不太大时，才有可能在介质中形成自聚焦图给出了在不同入射条件下的自聚焦光斑尺6寸变化的图像平行光入射弱会聚光入射a bc强会聚光入射d弱发散光入射图不同入射条件下的自聚焦光斑随的变化图像

6.z准稳态自聚焦当入射激光是短脉冲的，必须考虑光束参量随时间的变化如果脉冲宽度较短，但比介质对场的响应时间大很多，或者说介质对场的响应仍可以被认为是瞬时的，自聚焦的焦距随激光强度的变化而随时间变化，这就是准稳态自聚焦比如激光脉宽为秒纳秒，介质响应时间为飞秒分子弛豫机制，成为准稳态自聚焦KT10对于准稳态自聚焦，不能完全忽略振幅随时间的变化，在求解波动方程时，可略去对时间的二阶导数力，但要保留对时间的一阶导数匹，同时仍然保留场对坐标的缓变条件E zdt2dt公式变成E+2z7:--}---£=-2k2—E〃dzvdt人位为群速度引入新的独立变量dk和二t=t-z/v zz利用复合函数求导公式，于是川Z⑺=a EL门2阳zj殂.1dz dzdz dtdz dzdt v因此可改写为V2E1+2ik^=-2k2—E dz%L比较和可看出两个方程的形式相同所解得的自聚焦焦距公式形式也应当相同只是对方程，焦距是时间的函数在平面波入射的情况下，自聚焦焦距应为zf如果仍用作变量，式可表示为Z,t Z/z,t=zf7|Pz^-z/v/P]-l可见在动态自聚焦情况下，自聚焦焦距是随时间变化的，而时刻的是由时间的光功率引起的t Zft-z/v上面是旁轴近似得到的解，严格的数值解给出与的关系为Zf P。