向量的概念及表示课件苏教版必修

向量的概念及表示向量是线性代数中的重要概念，它代表了方向和大小向量可以用来描述物理量，例如力、速度和位移课程目标掌握向量概念应用向量知识了解向量的定义、性质、表示方法运用向量解决实际问题，如物理、工程、生活中的问题掌握向量加法、减法、数乘等运算培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力引言物理世界中的向量数学几何中的向量计算机图形学中的向量向量在物理学中广泛应用，例如描述力的方在几何学中，向量用于表示方向和大小，例向量在计算机图形学中用于描述点、方向、向和大小、速度、加速度等如表示平移、旋转等几何变换速度、加速度等，用于构建三维模型和场景什么是向量

1.1方向大小向量具有方向性，可以表示方向向量的大小称为模长，表示向量长度位移力向量可以表示物体在空间中的移动向量可以表示力的方向和大小向量的作用

1.2描述物体的位置描述物体的运动方向向量可以用来表示物体的位置，向量可以用来描述物体运动的方例如一个点在空间中的位置可以向和速度，例如一辆汽车的运动用一个从原点指向该点的向量来可以用一个表示速度大小和方向表示的向量来表示描述物理量的大小和方向简化物理模型许多物理量，例如力、速度、加向量可以用来简化物理模型，例速度、电场强度等，都是既有大如将一个力分解成多个方向的小又有方向的量，可以用向量来力，可以方便地计算合力表示向量的分类

1.

311.自由向量

22.固定向量

33.零向量自由向量指具有相同方向和大小的向固定向量指具有特定起点和终点的向零向量是指长度为零的向量，它没有量，它们可以自由地平移到空间中的量，它们不能自由地平移特定的方向任何位置向量的表示方法

2.

11.几何表示1使用带箭头的线段表示向量，箭头指向表示向量的方向，线段长度表示向量的模长

2.代数表示2用有序数对表示向量，第一个元素表示向量的横坐标，第二个元素表示向量的纵坐标

3.坐标表示3在坐标系中，用向量在坐标轴上的投影来表示向量，即用一个坐标向量来表示向量有序数对表示向量

2.2在平面直角坐标系中，用一个有序数对x,y表示向量x表示向量的水平分量，y表示向量的垂直分量例如，向量3,4表示一个水平分量为3，垂直分量为4的向量有序数对表示法简单易懂，便于运算和分析它将向量转化为数字，方便我们进行向量加减、数乘等运算箭头表示向量

2.3箭头表示向量是一种直观的表示方法它用一条有方向的线段表示向量，箭头指向的方向代表向量的方向，线段的长度代表向量的模箭头表示向量可以直观地展示向量的方向和大小，便于理解向量的几何意义例如，在物理学中，我们可以用箭头表示力的方向和大小向量的运算

3.1向量加法两个向量相加，结果也是一个向量向量加法满足交换律和结合律向量减法两个向量相减，结果也是一个向量向量减法可以理解为加法运算的逆运算向量数乘一个实数与一个向量相乘，结果也是一个向量向量数乘满足分配律和结合律向量加法

3.2向量加法是指将两个向量进行合成，得到一个新的向量向量加法的本质是将向量看作位移，将两个向量相加得到的结果是将第一个向量平移到第二个向量的终点，然后将第二个向量平移到第一个向量的终点，得到的向量是两个向量首尾相连形成的向量平行四边形法则1将两个向量作为相邻边，平行四边形的对角线即为两个向量的和三角形法则2将两个向量首尾相接，连接第一个向量起点与第二个向量终点的向量即为两个向量的和坐标表示3将两个向量的坐标分别相加，得到的坐标即为两个向量和的坐标向量减法

3.3定义1向量减法是指从一个向量中减去另一个向量几何意义2向量减法可以看作是两个向量的向量加法的逆运算运算规则3向量减法可以通过将减数向量反向，然后将其与被减数向量相加来实现向量减法在物理学和工程学中有广泛的应用，例如计算物体的位移、速度和加速度向量数乘

3.4定义1一个实数乘以向量，得到新的向量方向2当实数为正，方向不变，负则反向长度3长度为原向量长度乘以实数绝对值几何意义4向量缩放或反向数乘运算用于调整向量的大小和方向，其应用广泛，例如物理中的力的分解和合成的操作向量的模

4.1向量长度向量模表示向量的大小，是一个非负实数它反映了向量在空间中的“长度”几何意义从起点指向终点的线段长度计算公式对于二维向量x,y，模长为√x²+y²向量方向角

4.2方向角的定义方向角的范围方向角的计算向量方向角是指向量与坐标轴正方向之间的方向角的范围是0°到180°，用来描述向量在可以通过向量坐标和三角函数计算方向角，夹角，通常用希腊字母α、β、γ表示空间中的方向并用方向余弦表示单位向量

4.3定义用途求解123方向相同，长度为1的向量称为单位单位向量可以表示方向，简化向量运将向量除以它的模即可得到该向量的向量算单位向量向量在坐标系中的表示

5.1坐标系向量通常在二维或三维空间中进行表示，为此，引入坐标系，以方便地描述向量的方向和大小二维坐标系在二维平面内，使用两个相互垂直的坐标轴，分别称为x轴和y轴，组成一个笛卡尔坐标系通过坐标系，我们可以用一对有序实数来表示向量三维坐标系在三维空间中，使用三个相互垂直的坐标轴，分别称为x轴、y轴和z轴，组成一个三维坐标系向量的坐标表示

5.2坐标系坐标值向量在坐标系中的表示，需要选向量在坐标系中可以用坐标值来择合适的坐标系，例如直角坐标表示，即用向量在坐标轴上的投系、极坐标系或球坐标系影长度来表示向量坐标形式向量的坐标表示一般采用有序数对的形式，例如a,b表示二维平面上的一个向量，a,b,c表示三维空间中的一个向量向量的特殊表示

5.3零向量方向向量位置向量单位向量零向量是指模为零的向量所方向向量是指长度为1的向位置向量是指起点固定在原单位向量是指模为1的向量，有方向的零向量都相等，表示量，表示一个方向方向向量点，终点指向空间中某点的向表示一个方向单位向量在向为一个点在几何图形中常用作表示直线量，它表示该点相对于原点的量运算中经常被使用，它可以的方向相对位置用来将向量分解为多个方向上的分量向量的几何性质

6.1向量平行向量垂直向量共线向量相加方向相同或相反的两个向量，夹角为90°的两个向量，称为垂方向相同或相反的向量，称为向量加法遵循平行四边形法称为平行向量直向量共线向量则向量的相等

6.2相同方向两个向量方向相同，即指向同一方向或平行相同长度两个向量长度相等，即两个向量所代表的线段长度相等几何表示几何意义上，两个向量相等，意味着它们可以互相平移叠加向量的平行

6.3平行向量定义平行向量判定两个向量平行是指它们的方向相同或相反若两个向量平行，则它们对应的坐标成比方向相同的两个向量称为同向向量，方向相例，即存在一个非零实数k，使得a1=kb1反的两个向量称为反向向量且a2=kb2平行向量的性质平行向量具有以下性质

①平行向量的模之比等于比例系数的绝对值

②平行向量的方向相同或相反

③平行向量之间的夹角为0度或180度向量的垂直

6.4垂直向量垂直判别两个向量垂直，意味着它们之间的夹角为可以通过两个向量的点积为0来判断两个90度例如，在一个二维坐标系中，x轴向量是否垂直点积是两个向量对应分量上的向量和y轴上的向量互相垂直乘积的和如果点积为0，则两个向量垂直向量在物理中的应用

7.1力1力是向量，有大小和方向速度2速度也是向量，有大小和方向加速度3加速度是向量，有大小和方向位移4位移是向量，有大小和方向物理学中，许多物理量是向量，例如力、速度、加速度和位移它们都具有大小和方向，可以用向量表示向量在工程中的应用

7.2结构力学1向量可用于表示力和力矩，有助于分析结构的稳定性和受力情况机械设计2向量可以表示速度、加速度和力，帮助设计机器运动部件并进行优化电气工程3向量可以表示电流、电压和磁场，用于分析电路和电磁场的特性向量在生活中的应用

7.3向量在生活中无处不在我们每天都会接触到向量，只是没有意识到而已导航1例如，我们使用地图导航时，手机会根据向量来计算路线和距离天气预报2天气预报中，风向和风速都是用向量表示的运动3在运动中，运动员的运动轨迹、速度和加速度都可以用向量来表示游戏4在游戏中，角色的移动和攻击都是用向量来控制的这些只是向量在生活中的几个应用例子，实际上向量应用的范围非常广总结回顾向量概念向量表示12向量是具有大小和方向的量向量可以通过有序数对或箭头表示向量运算向量应用34向量可以进行加减法和数乘运算向量在物理、工程和日常生活中都有广泛的应用课后思考这节课我们学习了向量，向量是物理学中的一个重要概念，它可以用来表示力、速度、加速度等物理量课后可以尝试用向量来解决一些实际问题，比如如何用向量来表示物体的运动轨迹？还可以尝试用向量来解决一些几何问题，比如如何用向量来表示三角形的面积？总之，向量是一个强大的工具，它可以帮助我们更好地理解和解决各种问题。