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文本内容:
课题学习最短路径问题
13.4教学目标
1.目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.
2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.重点利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教学过程教学内容与教师活动设计意图学生活动思并
一、创设情景引入课题师臂师前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、问■“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的观从生活中问题学，问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短出发，唤起学考感展路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马生的学习兴趣题问题”.及探索欲望.察生（板书）课题获教性示
二、自主探究合作交流建构新知追问1:观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？动手画直线为学生提供参活动1:思考画图、得出数学问题与数学活动的将48两地抽象为两个点，将河/抽象为一条直线.生活情BO观察口答o A--------------------------------1追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？R.师生活动学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识:1从力动手连经历观察-画地出发，到河边,饮马，然后到夕地；线图-说理等活2在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来观察口动，感受几的两条线段的长度之和，就是从/地何的研究方到饮马地点，再回到8地的路程之和；3现在的问题是怎样找出法，培养学使两条线段长度之和为最短的直线，上的点.设为直线上的一个生的逻辑思动点，上面的问题就转化为当点在/的什么位置时，AC与C8考能力.的和最小如图.独立思考合作交流达到轴对称知识的学以强调将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”致用汇报交注意问题解活动2尝试解决数学问题流成果,决方法的小问题2如图，点48在直线/的同侧，点是直线上的一个动书写理结抓对称性由.来解决点，当点在/的什么位置时，AC与CB的和最小？追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B夕吗？感将马把过及时进行学法迁法指导，注重学体独方法规律的立考丽，的集订提炼总结.饮颗学学以致用,正蠹及时巩固方验思肾中军雄刚的经移问题
3.如图，点4B在直线1的同侧，点C是直线上的一个动点，当点在/的什么位置时，4与力的和最小？1•.C师生活动学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示作法
（1）作点B关于直线1的对称点Bf；
（2）连接力夕，与直线/相交于点C,则点即为所求.学独注意问题解蠹立，决方法的小体集订结抓轴对称正来解决如图所示问题3你能用所学的知识证明比最短吗教师展示证明如图，在直线/上任取一点（与点不重合），连接，B.经历观察-画由轴对称的性质知，图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.BC=B C,BC=B C.AC+BCAC+B，二秋，AC7+BCACf+夕Cf.流解交绥验题提炼思想方互相法轴对称,线段和最短B方法提炼将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4完练习如图，一个旅游船从大桥/夕的P处前往山脚下的处接游脸交流体会转化思客，然后将游客送往河岸笈上，再返回尸处，请画出旅游船的最想，考动思画却手体验轴对称轴对用知识的应用知识称行形进观察短路径.大桥基本思路由于两点之间线段最短，所以首先可连接放,线段加为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线比；这样问V1题就转化为“点R在直线式的同侧,如何在回上找到一点R,使PR与QR的和最小”.问题5造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）B各抒己思维分析
1、如图假定任选位置造桥MN,连接AM和B N,从A见动手体验到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢？
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？合作与交流动手作图思维点拨改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）
1、把A平移到岸边.
2、把B平移到岸边.
3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.教师上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.
1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢？问题解决如图，平移A到A1,使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.理由；另任作桥MINI,连接AMI,BN1,A INI..由平移性质可知，AM=A1N,AA1=MN=M1N1,A M1=A1N
1.AM+MN+BN转化为A A1+A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为A A1+A1N1+BN
1..在AAINIB中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此AM1+M1N1+BN1AM+MN+BN如图所7K交流体体验转化思会想方法提炼将最短路径问题转化为“线段和最小问题”学生活教学内容与教师活动设计意图动
三、巩固训练
1、最短路径问题1求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求.如图所示，点A,3分别是直线/异侧的两个点，在/上找一个点C,使C4+CB最短，这时点是直线/与A8的交点.巩固所学知学生独识，增强学生立思考应用知识的2求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要解决问能力，渗透找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与转化思想.该直线的交点即为所求.如图所示，点A,3分别是直线/同侧的两个点，在/上找一个点，使C4+C3最短，这时先作点8关于直线/的对称点V,则点是直线/与AB的交点.
2.A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+Q B.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ独立思平移到B点处支，口提炼方法，为课本例题奠定基础.7/1u•我发
四、反思小结布置作业总结回顾学习你相小结反思内容，帮助学借1生节课研究问题的基本过程是什么？自生归纳反思所评2轴对称在所研究问题中起什么作用？学知识及思想由方法.解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些收获？关注学生的个自体差异.作业布置、课后延伸言必做题课本P93T5题；选做题生活中，你发现那些需要用到本互鉴课知识解决的最短路径问题板书设计
13.4最短路径问题两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.方法提炼将最短路径问题转化为“线段和最小问题”•。
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