《动态规划步骤》课件

动态规划步骤动态规划是一种解决优化问题的方法，它通过将问题分解成子问题，并存储子问题的解来避免重复计算什么是动态规划分解问题存储结果逐步求解将复杂问题分解成多个子问题存储子问题的解，避免重复计算通过子问题的解逐步求解原问题动态规划的基本原理动态规划的适用场景最优化问题组合问题寻找最优解，例如最短路径、从多个选项中选择最佳组合，最大效益、最小成本等例如背包问题、硬币找零问题等决策问题在不同阶段做出最佳决策，例如游戏策略、资源分配等动态规划的核心概念最优子结构重叠子问题12问题最优解包含其子问题的多个子问题重复计算，导致最优解效率低下动态规划方法递推关系34通过存储子问题的解，避免子问题的解之间存在递推关重复计算系确定问题的状态动态规划问题，本质上是将问题分解成一系列子问题子问题的解法可以用于解决更大的问题状态1问题的子问题状态空间2所有子问题的集合状态转移3子问题之间的关系要解决一个动态规划问题，首先需要确定问题的状态状态表示的是子问题的定义，它是解决问题的基础确定问题的基础情况最小的子问题1动态规划的核心思想是从最小的子问题开始逐步解决整个问题.子问题的解2对于最小的子问题，我们可以直接计算出它们的解.明确边界3这些基础情况就像是动态规划问题的起点，为后续的递推提供基础.建立递推公式状态定义1明确问题状态的定义边界条件2设置递推公式的初始值递推关系3描述状态之间的关系递推公式的关键在于找到当前状态和先前状态之间的关系递推公式可以帮助我们以递归的方式计算每个状态的值计算子问题的最优解自底向上从最小的子问题开始计算，逐步向上计算更大的子问题，直到计算出最终的解存储结果将每个子问题的最优解存储在一个表格或数组中，避免重复计算递推关系利用子问题之间的递推关系，通过已知的子问题解来计算新的子问题解通过子问题解决原问题合并子问题将所有子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解动态规划表可以使用动态规划表来存储所有子问题的解，并根据状态转移方程逐步计算得出最终结果最终结果通过合并所有子问题的最优解，最终获得原问题的最优解几种常见的动态规划问题最长公共子序列问题最短路径问题寻找两个字符串中最长的公共子序列，例如在一个图中找到从起点到终点的最短路径，abcde和ace的最长公共子序列为例如在地图中寻找两个地点之间的最短路ace线背包问题硬币找零问题给定一些物品，每个物品有重量和价值，在给定一些面值的硬币和一个目标金额，求最背包容量限制下，选择物品使得总价值最大少使用多少个硬币来凑成目标金额化最长公共子序列问题问题描述子序列的定义给定两个字符串，找出它们的子序列是指一个字符串中按照最长公共子序列顺序排列的字符组成的序列，可以不连续应用场景动态规划解法例如，DNA序列比对、文本编利用动态规划可以有效解决最辑器中的撤销操作、文件差异长公共子序列问题比较等最短路径问题寻找路径应用广泛12最短路径问题是找出图中两广泛应用于导航、交通规个节点之间最短路径的问划、网络路由等领域题解决方法示例34常用的解决方法包括例如，在导航地图中，寻找Dijkstra算法和A*搜索算法最佳路线就是最短路径问题背包问题背包问题概述背包问题分类背包问题是一种经典的优化问题，旨在找到将一组物品放入容背包问题主要分为两种类型:0/1背包问题和分数背包问题在量有限的背包中的最佳方法，以最大化背包中物品的价值0/1背包问题中，每件物品只能选择放入或不放入背包，而在分数背包问题中，可以部分放入物品硬币找零问题目标找出最少的硬币数量来凑成目标金额约束可以使用不同面值的硬币，但每个硬币只能使用一次策略使用动态规划来找到最优解，通过计算子问题的最优解来解决原问题动态规划问题的一般步骤分析问题1理解问题要求，识别问题结构定义子问题2将问题分解为更小的、相互独立的子问题状态转移方程3建立子问题之间关系的递推公式计算解的过程4从基础情况开始，逐步计算子问题的最优解优化解的效率5通过备忘录技术或其他方法优化计算过程第一步分析问题:动态规划是一种解决问题的方法，将复杂问题分解成子问题，并利用子问题的解来求解原问题理解问题1准确理解问题的目标和约束条件识别子问题2将原问题分解成更小的、相互关联的子问题确定状态3定义子问题的状态，并找出状态之间的关系通过分析问题，我们可以更好地理解问题的本质，并为接下来的步骤打下基础第二步定义子问题:将问题分解1将原问题分解成多个子问题子问题互不重叠2子问题之间互相独立子问题具有最优子结构3原问题的最优解由子问题的最优解构成定义子问题是动态规划的核心步骤，它将复杂问题分解成更小的、更容易解决的子问题第三步建立状态转移方程:状态转移方程的核心描述了当前状态的最优解是如何基于前一个状态的最优解得到的状态转移方程的作用明确了子问题之间的依赖关系，为动态规划算法提供了递推公式建立状态转移方程的步骤仔细分析问题，找到当前状态和前一个状态之间的关系，并根据这种关系建立递推公式第四步计算解的过程:初始化1初始化状态矩阵或数组递推计算2根据状态转移方程，自底向上逐步计算每个子问题的最优解最终解3最终解即为最后一个子问题的最优解此步骤涉及将子问题的结果存储到一个状态矩阵或数组中，并根据递推关系，通过一系列的计算，从最小的子问题开始逐步推导出最终问题的最优解第五步优化解的效率:减少重复计算1动态规划中，许多子问题会被重复计算，浪费时间和资源空间优化2可以尝试使用滚动数组或其他技巧，减少存储空间算法复杂度3最终目标是降低算法复杂度，提升运行效率实现动态规划的常用技巧使用数组存储子问题的从小到大地计算子问题利用备忘录技术剪枝优化计算过程解备忘录技术可以帮助我们有通过分析问题特点，可以对用数组保存已经计算过的子从最小的子问题开始计算，效地减少重复计算它使用搜索空间进行剪枝，减少无问题的解，避免重复计算并逐步递推到更大的子问一个字典或哈希表来存储已效计算例如，在背包问题例如，在计算斐波那契数列题，可以保证在计算每个子经计算过的子问题的解，当中，可以根据物品的价值和时，可以将每个斐波那契数问题时，其所依赖的子问题遇到相同子问题时，可以直重量，提前剪枝一些不可能保存到数组中，以便后续需已经计算完成接从备忘录中获取结果出现在最优解中的物品组要时直接访问合使用数组存储子问题的解优化性能高效访问代码组织使用数组存储子问题的解可以避免重复数组的随机访问特性允许快速检索和更使用数组可以清晰地组织和管理子问题计算，从而显著提高动态规划算法的效新子问题的结果，简化了算法的实现的结果，使代码更易于理解和维护率从小到大地计算子问题递推关系避免重复计算动态规划算法通常依赖于子问通过从小到大计算子问题，可题的递推关系，从最小的子问以确保在计算某个子问题时，题开始计算，逐步解决更大的其所有依赖的子问题都已经被子问题计算过，避免重复计算高效存储由于从小到大地计算，可以将子问题的解存储在一个数组或表格中，方便后续使用利用备忘录技术避免重复计算提高效率备忘录技术使用一个数据结构，例如哈希表或数组，存储已计备忘录技术可以显著提高动态规划算法的效率，特别是在存在算过的子问题的解大量重复子问题的情况下当遇到重复的子问题时，直接从备忘录中读取结果，避免重新它可以将算法的时间复杂度从指数级降低到多项式级计算剪枝优化计算过程避免重复计算减少时间复杂度动态规划中，许多子问题可剪枝通过消除重复计算，有能被重复计算多次，剪枝可效地降低算法的时间复杂以避免这种重复度提高算法效率通过优化计算过程，剪枝可以显著提升动态规划算法的性能动态规划的典型应用案例斐波那契数列动态规划可以有效地计算斐波那契数列的第n项，避免重复计算最长上升子序列动态规划可以找到给定序列的最长上升子序列，并确定其长度编辑距离动态规划可以计算两个字符串之间的编辑距离，用于文本相似度比较斐波那契数列公式定义自然现象应用场景斐波那契数列的每个数字都是前两个数斐波那契数列在自然界中广泛存在，例斐波那契数列在计算机科学、数学等领字的总和，以0和1开始如松果的螺旋排列、向日葵的种子排列域都有广泛应用，例如算法设计、数据等结构等最长上升子序列定义应用12在一个给定的数字序列中，在数据分析、生物信息学、找出最长的递增子序列金融建模等领域都有广泛的应用例子挑战34例如，在序列[1,3,2,4,5]找出最长的上升子序列需要中，最长的上升子序列为[1,考虑所有可能的子序列组2,4,5]合，这可能是一个很复杂的计算过程编辑距离字符串相似性编辑距离是衡量两个字符串之间差异的度量方法，它定义了将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小操作次数常见操作包括插入、删除和替换字符拼写检查编辑距离在拼写检查中发挥重要作用，例如在文本编辑器中自动纠正错误的拼写基因序列分析在生物信息学中，编辑距离可以用于比较基因序列，了解它们之间的相似性，从而推断进化关系总结与展望动态规划是一种强大的算法思想，可以用于解决各种优化问题通过理解动态规划的基本原理，可以有效地解决现实生活中的问题。