《动态规划类算法》课件

动态规划类算法动态规划算法是一种将复杂问题分解成子问题，然后通过存储子问题的解来避免重复计算的一种优化技术课程介绍课程目标课程内容深入了解动态规划算法的原理动态规划的基本概念和思想和应用动态规划算法的常见应用场景掌握动态规划算法的建模方法和典型案例分析和求解步骤课程安排理论讲解、案例分析、代码演示和练习通过实践操作加深对动态规划算法的理解和应用能力什么是动态规划动态规划是一种解决问题的方法，它将一个复杂的问题分解成多个子问题，通过解决子问题并存储子问题的解来解决整个问题动态规划的关键思想是将问题分解成相互重叠的子问题，并通过自下而上的方式逐步解决这些子问题动态规划的基本思想将问题分解存储中间结果将复杂问题分解成多个子问题，每个子问题都由更小的子问题保存每个子问题的解，避免重复计算组成通过构建一个表格或数组，可以有效地存储和检索这些中间结这些子问题通常具有重叠的结构，可以重复利用它们的解果动态规划的应用领域机器人控制路径规划游戏开发金融领域动态规划应用于机器人控动态规划用于导航系统中，动态规划在游戏开发中广泛动态规划在金融领域用于投制，优化机器人运动路径，计算最优路径，避开障碍应用，例如，设计游戏关资组合优化，预测股票价提高效率和精度物，找到最短路线卡，优化游戏策略，提高游格，管理风险，提升投资回戏体验报动态规划问题的一般步骤定义状态1首先需要明确问题中需要求解的结果，将问题分解成子问题，并定义状态，每个状态对应一个子问题的解建立状态转移方程2根据问题的逻辑关系，找出状态之间相互依赖的规律，建立状态转移方程，将问题转化为数学表达式确定初始状态和边界条件3确定初始状态和边界条件，用于启动状态转移方程的计算，确保计算的正确性和完整性自底向上递推求解4利用状态转移方程，从初始状态开始，逐步计算每个状态的值，最终得到目标状态的值，即问题的解动态规划问题的建模状态定义状态转移方程

1.

2.12定义状态变量，表示问题在不同阶段的特征或信息描述状态变量之间的关系，即如何从一个状态转移到另一个状态初始状态和边界条件最优解

3.

4.34确定问题的初始状态，以及一些边界条件来约束状态转移根据状态变量和状态转移方程，找到问题的最优解状态定义状态表示状态空间状态转移状态定义是动态规划的核心，需要根据每个子问题对应一个状态，所有状态构通过状态转移方程，可以将状态空间中问题的具体要求，用状态变量来描述问成了状态空间，状态空间的大小决定了的一个状态转换为另一个状态，实现问题的子问题算法的复杂度题求解过程转移方程状态之间的关系状态转移规则转移方程描述了不同状态之间的依赖关系，表明如何从已知状转移方程定义了状态之间的转换规则，例如如何从当前状态到态推导出新的状态达下一个状态初始状态初始状态定义初始状态的作用初始状态是动态规划问题求初始状态为动态规划算法提解的起点，它代表了问题的供了初始值，并作为后续状初始条件或基本情况态计算的起点初始状态的确定确定初始状态需要根据具体的问题进行分析，一般情况下，初始状态是已知的，或可以从问题的描述中推断出来边界条件边界条件是动态规划算法中的基础，它定义了算法的起点边界条件必须是已知的、可直接计算的，为算法的递归过程提供初始值边界条件决定了算法何时停止递归，确保计算过程不会陷入无限循环优化策略空间优化时间优化减少算法所需的空间复杂度例如，降低算法的时间复杂度例如，可以在某些情况下，我们只关心最优解，而利用问题的结构，对状态转移方程进行不是整个动态规划表，可以采用滚动数简化，或使用更快的算法来计算子问组或其他技巧来减少空间开销题递推求解动态规划的递推求解是指从初始状态开始，逐步计算出所有状态的值，最终得到问题的解递推过程通常采用自底向上方法，即从最小的子问题开始，逐步递推到最终问题初始化1设置初始状态的值递推2根据状态转移方程，计算出所有状态的值结果3获得问题的最终解递推求解是动态规划最常用的方法之一，它简单易懂，且效率较高在实际应用中，递推求解常被用于解决各种优化问题，例如最短路径问题、背包问题等动态规划算法复杂度分析动态规划算法举例斐波那契数列最长公共子序列计算斐波那契数列的第n项，通过递推公式，使用动态规划算法，可找出两个字符串的最长公共子序列，通过动态规划算法，可以有效以有效地解决该问题地找到所有可能的子序列，并找到最长的一个硬币找零问题背包问题给定若干面值的硬币，求组成目标金额的最小硬币数量，动态规划给定背包的容量和若干物品的重量和价值，求在背包容量限制下，算法可以有效地找到最优解能装入的最大价值的物品组合，动态规划算法可以有效地解决该问题斐波那契数列定义斐波那契数列是一个由0和1开始的数列，后面的数是前两个数的和例如0,1,1,2,3,5,8,13,21,

34...最长公共子序列定义算法示例两个序列中公共元素组成的子序列，长动态规划，构建二维数组，存储子序列序列和的最长ABCBDAB BDCABA度最长长度公共子序列为BCBA硬币找零问题问题描述动态规划思路给定一组面值的硬币，以及一个目标金定义状态表示凑出金额所需的最dp[i]i额，问如何使用最少的硬币数量来凑出少硬币数量，并根据递推关系进行计目标金额算状态转移方程优化策略，其中可以使用记忆化搜索或自底向上递推来dp[i]=mindp[i],dp[i-coin]+1表示硬币面值优化动态规划算法coin背包问题问题描述状态定义

1.

2.12给定一个容量为的背包表示从前个物品中W dp[i][j]i和个物品，每个物品有重选取若干物品装入容量为n j量和价值，求解将哪的背包所能得到的最大价wi vi些物品装入背包可以使背包值内物品的总价值最大转移方程初始状态

3.

4.34，表示没有物品dp[i][j]=maxdp[i-1][j],dp[i dp

[0][j]=0时背包的价值为-1][j-wi]+vi0最小编辑距离字符串编辑距离编辑操作动态规划求解最小编辑距离是指将一个字符串转换为常见的编辑操作包括插入、删除和替换动态规划算法可用于计算两个字符串之另一个字符串所需的最少编辑操作次字符间的最小编辑距离数最长递增子序列定义应用最长递增子序列（）是指问题在许多领域都有应LIS LIS在一个给定序列中，找到一用，例如数据挖掘、生物信个最长的子序列，该子序列息学和金融分析中的元素按递增顺序排列算法示例解决问题的常用算法包例如，对于序列LIS[1,3,2,4,括动态规划算法和二分查找，其最长递增子序列为5][1,算法2,4,5]矩阵链乘法问题描述动态规划应用算法步骤给定一个矩阵链，例如A1*使用动态规划求解矩阵链乘•定义状态，表示子问题，求解最优法问题，通过子问题分解、的结果A2*A3*...*An的矩阵乘法顺序，以最小化状态定义、转移方程和递推•建立转移方程，描述子标量乘法次数求解，找到最佳的乘法顺问题之间的关系序•设置初始状态和边界条件•使用递推方法求解最优解动态规划的局限性空间复杂度时间复杂度代码复杂度动态规划算法可能会占用大量的内存空动态规划算法的时间复杂度可能会很动态规划算法的实现可能很复杂，需要间，尤其是在处理大型问题时高，尤其是当状态空间很大时仔细设计和调试动态规划的优化方法空间优化时间优化动态规划算法通常会使用大量使用一些技巧，例如状态压的空间来存储中间结果，可以缩、滚动数组、递推优化等，通过观察状态转移方程，只保可以减少重复计算，提高算法留必要的中间结果，减少空间效率占用算法选择根据问题的具体情况，选择更合适的动态规划算法，例如自底向上或自顶向下，可以提高算法效率自底向上与自顶向下自底向上自顶向下从最基础的子问题开始，逐步构建最终的解决方案从最终目标出发，逐步分解成子问题，递归求解记忆化搜索缓存结果存储已计算过的子问题的解，避免重复计算递归搜索利用递归的方式遍历所有可能的解，并使用缓存记录解时间优化通过缓存，减少重复计算，显著提高算法效率动态规划在实际中的应用动态规划在现实世界中有着广泛的应用例如，在路线规划、资源分配、投资决策、生物信息学、自然语言处理等领域，动态规划算法都能发挥重要作用通过巧妙地将复杂问题分解成子问题，并利用子问题的解来构建最终的解，动态规划算法能够有效地解决许多优化问题总结与展望动态规划的应用不断探索研究方向123动态规划是算法设计中重要的思随着计算机科学发展，动态规划动态规划算法的优化，更强大的想在解决各类问题中，它体现算法将不断得到改进和优化，在求解方法，以及与其他算法的结了高效性更复杂问题中发挥更大作用合，都是值得研究的方向问题解答欢迎大家提出关于动态规划算法的问题，我会尽力解答大家的问题，帮助大家更好地理解动态规划算法我们会根据时间安排进行问答环节，请大家踊跃提问。