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学年高一上学期期末复习第一章九大题型归纳（拔尖篇）2023-2024【人教A版
（2019）］集合中元素的个数问题一^题型1（下•湖北•高二统考期末）已知集合（）则集合中元素的个
1.20233={0,2},B={1,2,3},C=ab\a EA b e Bf9数为（）A.6B.5C.4D.
32.（2023・高一课时练习）由小，2-a,3组成的一个集合A,若A中元素个数不是2,则实数，的取值可以是（）A.-1B.1C.V3D.2（上•福建泉州•高一校考阶段练习）已知集合2）
3.20234={%eR|ax-3x+2=0,aeR.⑴若是空集，求的取值范围；A⑵若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；A（）若中至少有一个元素，求的取值范围.3A a（上•上海浦东新•高一上海市实验学校校考期末）已知集合九（，％）{一，
4.20234={%i%2,…,n Me11}«=，九）},、（其中朴为，）定义工12…X y e Ax=…y=yQ2,e=1,2,…n.onf%九%，若％则称％与正交.y=+%2y2+…+Oy=o,y（）若％=（），写出中与正交的所有元素；11,1114X（）令九},若证明+九为偶数；28={%y|x,y G4me B,m⑶若小且中任意两个元素均正交，分别求出九时，中最多可以有多少个元素.ZG/A=8,14A学年高一上学期期末复习第一章九大题型归纳（拔尖篇）
2023.2024【人教A版
（2019）]集合中元素的个数问题（下•湖北•高二统考期末）已知集合则集合中元
1.20233={0,2},B={1,2,3},C={ab\a EA b E B}f9素的个数为（）A.6B.5C.4D.3【解题思路】由列举法列出集合的所有元素，即可得答案.【解答过程】因为所以或或或4={0,2},a EA bE B,Qb=0ab=2ab=4ab=6,f故即集合中含有个元素；C=[ab\a EA,b e B]={0,2,4,6],C4故选C.
2.（2023・高一课时练习）由小，2-a,3组成的一个集合A,若A中元素个数不是2,则实数的取值可以是（）A.-1B.1C,V3D.2【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得的不可能取值，即得答案.【解答过程】由题意由小，组成的一个集合中元素个数不是2-a,3A,A2,因为小=无解，故由小，组成的集合的元素个数为2—a=32—a,3A3,故小即即可取2—aW3,aH—2,QW—+V3,a2,即错误，正确，A,B,C D故选D.（上•福建泉州•高一校考阶段练习）已知集合2）
3.20234={%eR|ax-3x+2=0,aeR.⑴若是空集，求的取值范围；A a（）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；2A（）若中至少有一个元素，求的取值范围.3A a【解题思路】（）是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；1A（）（）讨论、结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围.23Q=0【解答过程】
（1）A是空集，.・・0且△（）,.・.9—8aV0,解得a38・的取值范围为（[+8）；•.a8（）当时，集合2a=04={x|-3x+2=0}={|},当a H0时，△=（）,・・.9—8=0,解得Q=£此时集合4=同，综上所求，的值为或（当时，元素为|,当时，元素为土a0a=0a*（）当时，符合题意；3a=04={|},当时，要使关于的方程/一有实数根，则△二一得QH0x3%+2=09820,Q48综上，若集合中至少有一个元素，则实数的取值范围为（-8塔.A a（上•上海浦东新•高一上海市实验学校校考期末）已知集合/=（，如…』）%（…㈤},、
4.2023{%1e{-LD i=12x=（当以，…必），其中补为（…㈤.定义%9若％y EA n,x=3,y G{-1,1}Z=12O y=%i7i+%2y2—H^nyn Oy=o,则称与正交.x y（）若％=（）写出中与正交的所有元素；11,1,1,1,4x（）令/九},若证明为偶数28={%y|%y6mW8,m+n;⑶若九，且人中任意两个元素均正交，分别求出九时中最多可以有多少个元素.44=8,14A【解题思路】（）由定义可写出心中与正交的所有元素.1x（）令心=二匕，攵=£晨加，当％时，当％时，左％=那么=21i=%Xtyt=1,—1,£之修%一（）可得证.1=k n—k=2k—n,（）先考虑时,共有四种互相正交的情况，设这种情况的排列为371=44ZLZ2*3*4,则按％=（）（一一工一的方式进行搭配也相互正交，故21*2,23*4*222*3/4,X=Z2,23,-Zm Z Z2,Z,Z当九时可形成种情况.=88当九时，不妨设=）（有个）丫（）（有个个）=14…1141,2=-L—1,…J—14L…17—1,71,则力，为正交，再令…，），=（功/…，瓦），…，），且它们之间互相正交，讨Q=14b214C=C14论相应位置数字都相同的个数，可得出利用它们相互正交得矛盾，从而得出中最多可以有的a,4c QOb,aOc,A元素个数.【解答过程】（）中所有与尤正交的元素为14（）（）（）（）（）（」）-1,-1,1,1,1-1,-1,1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,1,-1-
1.（）证明对于租存在%=，％九）,勺，，），…㈤,使得％2eB,Qi,%…e{-Ll}y=…%%e{-L1}«=12Qy=m.=小k id，当％%时，为％=，当期=%时，项%=・i—11那么租£仁勺%=x Qy=1=k—n-k=2k—n.所以为偶数m+n=2k.时，不妨设匕3n=8=1,1,14,1,14,1,x=-1,-1,-1,-1,1,1,1,
1.2再考虑九二时，共有四种互相正交的情况，41111即一；设这种情况的排列为，，1;I4Zi Z2Z3*4,—1—1111-1-11则按打,％的方式进行搭配，即％=2Zi2243*4,21*2,23/4,,可形成种情况.X,=-z-z,-z-Z,ZZZ,Z8lf23f4lf2,34所以九时，中最多可以有个元素.=8A8时,不妨设%=s--n=141,1,...,1-------‘个1472=I[L-L…11JL…J I个个，\77则力与正交・假设，打也，・・・且它们互相正交.Q=Q1%…,14,b=,…b]4,C=q,C2,,C14设，相应位置数字都相同的共有攵个，除去这攵列外.4,C匕相应位置数字都相同的共有机个，a,相应位置数字都相同的共有〃个，b,c则a3b=m+k—14—m—k=2m+2/c-14=
0.所以同理m+k=7,i+k=
7.可得九=rn.由于Q3c=-m—m+k+14—k—2m=0,可得矛盾.2m=7m=-^N*f2所以除丫，外任意三个元素都不互相正交.1%综上，九时，中最多可以有个元素.=14A2题型2i根据元素与集合的关系求参数
1.（2023上•辽宁大连・高一大连八中校考阶段练习）已知力是由0,m,血一36+2三个元素组成的集合,且22则实数血为（）€4或均可A.2B.3C.03D.0,2,3【解题思路】由可得血或血租+解方程求租，再去验证是否符合集合中元素性质即可.264=22—32=2,【解答过程】因为集合是由三个元素组成的集合，40,m,36+2m2—所以2又A=[0,m,m—3m+2],26A,所以或巾解方程可得或或m=22—36+2=2,m=2zn=0m=3,当时，与已知矛盾，舍去；zn=2A={0,2},当时,与已知矛盾,舍去；=0A={0,2},TH当m=3时,A=[0,3,2）,满足题意，.・.zn=3,B正确,故选B.（上广东惠州•高三统考阶段练习）集合力=卜若且一则的取值范
2.2023♦6R R03641g4aI2x+l J围为（）A.Q3B.CL—1C.a3D.-1V a3【解题思路】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.【解答过程】因为且一所以之〉且聿解得36/4,0,Q4—
1.6+1-2+1故选B.
3.（2023・高一课时练习）已知集合A含有两个元素a—3和2a—1,a^R.（）若一试求实数的值；13£A,a⑵若试求实数的值.a£A,a【解题思路】（）由一得一=一或一再利用集合中元素的互异性能求出满足题意的实数13€4333=2@-1,a的值；（）由得或再利用集合中元素的互异性能求出满足题意的实数的值.2a€4Q=Q-3Q=2Q-1,a【解答过程】（）因为一13£A,所以一或一3=@—33=2a—L若一则3=a—3,a=
0.此时集合含有两个元素一符合题意.A3,-1,若一则3=2a—1,a=—
1.此时集合含有两个元素一符合题意.A4,-3,综上所述，满足题意的实数的值为或一a0L（）因为所以或2a£A,a=a—3a=2a—L当@=@—时，有不成立；30=—3,当时，有此时中有两个元素一』，a=2a—1a=l,A2符合题意.综上所述，满足题意的实数的值为a
1.（•高一课时练习）（）如果集合+鱼九｝（研几）证明
4.202214=m6Z,x xG A,x xG A.lf2±2（）如果集合=卜|%=血+四九｝,整数租，几互素，那么是否存在使得和工都属于若存在，请写出一28x,x8个；若不存在，请说明理由.【解题思路】⑴设，+瓦，计算即可得.X1=%x=a+42b,222（）设％鱼九（整数互素），则有工=x n＞由题意可得当租？2时222=m+m,n+V2-2n=±1,x£B x m-2n27n22222m-2n且二只需〃〃取互素的整数即可.68,2,x【解答过程】解（）证明因为1X1/2E4所以可设+瓦，=a其中与%22+V2b,,bEZ,22则第62=（%+V2b）（a+V2b）=（a a+^^b）++g瓦）・1221212，，匕，可大口a1a1beZ,+2bb eZ,+a2bl eZ,因此%・62W4（）设则％=+四九（整数根，〃互素），2xEB,m、瓶.1111-n所以一=----l=--------7+v2X---------------------7・xm+V2n mz-2nz mz-2nz若工则一^与耳下是互素的整数.68,z zz zxm-2n m-2n又〃与〃互素，所以加？-222n=±1,所以当相，〃互素，且九时，％且62-22=±
168468.X如取几=得％=企，-=771=3,2,3+23—2A/
2.X题型3有限集合子集、真子集的确定综上，存在心使得%与挪属于集合如％=或•（注」的取值不唯一.）b3+2（上•江苏镇江•高一校考阶段练习）若集合（）2恰有个真子集,则的
1.2023M={%|m+l x-mx+m-1=0}1TH取值是（）当B.A.-1【解题思路】根据题意，由条件可得集合有且只有一个元素，然后分租+与讨论，即可得M1=06+10到结果.【解答过程】因为集合（）2恰有个真子集，则集合有且只有一个元M={%|m+I%-mx+m-1=0}1M素,当时，即则符合题意;71+1=0m=—1,M={x\x-2=0}={2},当时，即租W则关于％的方程（租+）2只有一个实数解,zn+1W0—1,I%—mx+m—1=0则22解得A=m-4m+lzn-1=4—3m=0,m=±—综上所述，或7n=-1zn=±W.故选D.
2.（2023上•湖北孝感・高一校联考阶段练习）定义若一个九位正整数的所有数位上数字的几次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合是自恋数则的真子A={8,23,81,153,254,370},B={%W*%b B集个数为（）A.7B.15C.31D.63【解题思路】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合进而即得.3,【解答过程】所以是自恋数；81=8,8所以不是自恋数；22+32=13023,23所以不是自恋数；82+M=65W81,81333所以是自恋数；1+5+3=153,153333所以不是自恋数；2+5+4=197^254,254所以是自恋数.33+73+03=370,370所以集合8={8,153,370}.所以真子集个数个.23—1=7故选A.（上•陕西西安•高一校考阶段练习）已知集合见且（）求实数的取值的集合
3.20224={a32a2+50},1Q M;⑵写出（）中集合的所有子集.1M【解题思路】
（1）利用・3GA可求出a,再验证合理性，进一步确定a值；（）利用子集的概念作答即可2【解答过程】（）因为且｛｝14=a32l+5a,0,所以・或解得或・或・a3=-32a2+5a=-3,a=0a=l a=|,当时，2集合中出现两个故舍去；a=02a+5a=0,0,当=・111寸，4=｛-4广3,0｝,符合题意；当=・|时，4=｛-,-3,o｝,符合题意；实数的取值的集合｛尸|｝a M=-1
（2）因为M=｛-1,・|｝,所以集合M的子集有°，｛-1｝，｛|｝，｛~1尸|｝,（上•北京西城•高一校考阶段练习）设集合｛若是子集，把中所有元素的和称为的
4.2022S=1,2,3,…X X Xn“容量”（规定空集的容量为）若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集.0,X X5n⑴写出的所有子集、所有偶子集S3⑵写出的所有奇子集；S4（）求证九的奇子集与偶子集个数相等.3S【解题思路】（）根据子集的定义，以及对应题目中偶子集的定义，即可得的所有子集、奇子集；1S3（）根据题意，分析的子集，对应奇子集的定义，即可得的所有奇子集；2S S44（）设为无的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，按是否属于进行分类，则得到奇子集和偶子集之间3S1S的关系，分析即可证得结论；【解答过程】（）｛｝则的所有子集为:、｛｝、｛｝、｛｝、｛｝、｛｝、｛｝、｛｝1S3=123,S301231,21,32,31,2,3;的所有偶子集为:、｛｝、｛｝、｛｝S3021,3123;（）由题意可知,当九二时，｛｝24$4=1,2,3,4,・・・的容量为奇数，则为的奇子集，x X Sn・・・.所有的奇子集应为为｛1｝、⑶、｛1,2｝、｛1,4｝、｛3,4｝、｛2,3｝、｛1,2,4｝、｛2,3,4｝.（）对于九的每个奇子集3S4当时，取｛｝1G48=Q1,当时，取｛｝1248=4U1,则为的偶子集.B Sn反之，若为的偶子集,当时;取=蜃{B S1G B41},n当时，取/=1C BB U{1},则为九的奇子集.4S九的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应关系所以九的奇子集与偶子集的个数相等.S S根据集合间的关系求参数（上•甘肃白银•高一校考期末）已知集合（集合
21.20234=x E R\2x-3-a0},B={y G R|y=x-3x+若则的取值范围为（）2},/GB,a77A.a——B.a——2277C.a—D.a—22【解题思路】根据一元一次不等式的解法化简集合根据二次函数值域求解集合以然后利用集合关系列不等A,式求解.【解答过程】集合等卜4={%e R|2x-3-a0]={%eR%集合2B={y e R|y=%—3%+2}=e Ry—-j,因为/所以三—解得之一.G B,p a242故选A.
2.（2023上•浙江绍兴・高三统考期末）已知集合4=€14*|%=后+=7y20},若B U A且集合B中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（）.8A.1B.3C.6D.10【解题思路】将方程平方整理得一2
（一）2再根据判别式得故无=再依次检4y%y+%%2=0,0%4,1,234,28验得最后根据集合关系即可得答案.4={2,3,4},【解答过程】解:根据题意将％两边平方得％2=y/y+J2%-y=2%+2y/2xy-y,2继续平方整理得（）故该方程有解.4y2_8xy+%2%_22=o,所以/=（）2即一/+解得64/—16/%—20,4%0,0%4,因为％故％=GN*,1,234,当％=时，/一易得方程无解,当％=时，=，有解，满足条件；12j2xy-2/v0,2y2-4y当％=时，2方程有解，满足条件；34y-24y+9=0,当％=时，2方程有解，满足条件；4y—8y+16=0,故/=因为且集合中恰有个元素，{2,3,4},B U4B2所以集合可以是B{2,3},{2,4},{3,4}.故选B.上•山西太原•高一校考阶段练习已知集合
2223.20234={x\x+4%=0],B={x\x+2a+lx+a—1=
0.若求的值；1AGB,a若求的值.28U4a【解题思路】由题集合最多两个元素，则所以集合中的方程两根为-即可求解；14={—4,0},8AQB,4=8,84,0,分类讨论为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可.28【解答过程】由题集合最多两个元素，则所以集合中的方程两根为184={—4,0},AQB,4=8,8-4,0,△22即由根与系数的关系，{解得；=4a+l-4a-l0,a—1,a=lU—Cl—JL由题中最多两个元素，对于方程％++小-28U482+21%1=0当集合时5=0△22即寸，方程无解，符合题意；=4a+I—4a—10,a—108=0,当集合中只有一个元素时8△22即时,方程的解为％符合题意；=4a+I—4a—1=0,Q=—1=0,B={0},当中有两个元素时8△22即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素，=4a+l-4a-l0,-18Q此时则所以集合中的方程两根为%亚=由根与系数的关系，{■:片，，解得；综上所述A=B,B1=-4,0,+1a=l一或a1a=
1.
4.2023上•北京顺义・高一牛栏山一中校考阶段练习已知4=%,2，3，4为实数数组，定义集合PQ4={alf给定正整数若，血一a a a,a+a a+a a+a a+a+a a+a+a a+a+a+a],m,{12…l,m}c PQ4,2f3f4r2f23f34f r23f234f±234则称为一连续生成数组.A m⑴判断是否为-连续生成数组？是否为-连续生成数组？说明理由；B=02L456若」为—连续生成数组，求的值，并说明理由；2C=0a,26Q数组是否为-连续生成数组？说明理由.34=10【解题思路】根据租-连续生成数组的定义，结合子集的概念求解；1根据题意，得出中元素的可能取值，结合子集的概念求解；2PC根据题意，集合3PQ4={1,2,3,4,567,8910}^a a a,a E[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},lf2f34中元素求和可得的=进而可得出答案.PQ4,{1,2345678910}4+a+6g+55,14【解答过程】⑻1B=0,2,1,4,P={0,123,4,5,7},・」是-连续生成数组，,•{1,234,5}S PB,,B=0,245不是的子集，・不是-连续生成数组.•••{1,2,3,456}PB••8=0,2146中元素可能取值为2C=0,1,a,2,PC0J2a,Q+l,Q+2,Q+3,若」见为—连续生成数组，即则C=026{1,23456}G PC,a=
3.若为-连续生成数组，则34=01，2，03«410{1,234,567,8,9,10}UPQ4,又尸++中最多有Q4=2+2+2+3+2+3+1°个元素，则，PQ4={1,2,3,456,7,8910}b^a a aaG{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},lf2f3f4+口++6X1+02+03+04+2+2+3+3+4+1+3+“2+03+41+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,3+4=即4%+a+6a+a=55,423的为偶数，V aa,a,a e1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},.*.4^+a+6a+lf23442而为奇数，不能成立,554at+a4+6a2+3=55・••数组4=1，2，3，4不是1一连续生成数组.题型5交、并、补集的混合运算D上•江苏盐城•高一校联考期末设全集集合/=={%|%工一或%则
1.2023U=R,{%|%2},826},A n C®=A.{x\x2}B.{x\2x6]C.{x|-2x2}D.{x|-2x6]【解题思路】先求出如心再求【解答过程】所以4n QB.CuB={%|-2%6},4nCuB={%|-2%2}.题型2根据元素与集合的关系求参数
1.（2023上•辽宁大连・高一大连八中校考阶段练习）已知力是由0,m,血一3血+2三个元素组成的集合,且2则实数根为（）2c4或均可A.2B.3C.03D.0,2,3（上•广东惠州高三统考阶段练习）集合卜若且-则的取值范
2.2023♦4=e R-03€41W4I2%+l J围为（）A.a V3B.CL_1C.a3D.-1a V3（,高一课时练习）已知集合含有两个元素和
3.2023A a—32a—1,aeR.（）若一试求实数的值；13£A,a⑵若试求实数的值.a£A,a
4.（2022・高一课时练习）
（1）如果集合4={%|%=租+鱼九}（矶几€Z）,x x EA,证明x x6A.lf2r2（）如果集合=卜|%=血+九},整数血，几互素，那么是否存在使得和工都属于若存在，请写出一个；28x,x8题型3有限集合子集、真子集的确定若不存在，请说明理由.故选c.-¥25/3A.-1B C.±D.±上•云南昆明•高一统考期末图中是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是
2.2023A,8A.A n CuB B.Cui4n BC.CuZnB D.CuZnCuB【解题思路】由阴影部分的元素特点可直接得到结果.【解答过程】由图知，阴影部分的元素既不属于集合也不属于集合l/ezm48,所以阴影部分表示的集合是Cu4U8=CuX nCuB.故选D.
3.2023下・山东滨州•高二校考期末已知集合={%|-1V%V1},Q={%|0%2},求下列集合lPUQ2p nQ⑶CRP nQ4CRP UCRQ【解题思路】根据并集的定义计算可得；1根据交集的定义计算可得；2根据补集、交集的定义计算可得；3根据补集、并集的定义计算可得.4【解答过程】因为1P={%|—1V%VI},Q={x\0x2],所以P U2={x|-1%2].因为2P={x|-lxl},Q={x\0%2},所以PnQ={x|0%1].因为3P={x|-1x1},Q={x|0%2},所以或CRP={x\x-1X1},所以CRPCQ={X|14%V2}.因为4P={x|-1x1},Q={x\0x2},所以或或人CRP=x\x-1x1,CRQ={x\x02},所以或%CRP UCRQ={x\x
01.
4.2022上・北京密云•高一统考期末已知集合”=卜合之},N={x\-lx4}.当时，求；1Q=1MClN,MUN2当Q=0时,求MACRN；⑶当时，求的取值范围.NUM Q【解题思路】化简集合即可得到1M,MnN,MUN化简集合求出即可得到2M,CRN,MCICRN化简集合根据即可求出的取值范围3M,NGM,【解答过程】由题意，1在和中，M=^%||a}N={%|—1x4}a=19:.M={x\x2},；AM CN={x\2%4},M UN=[x\x—1}由题意及得，21在和中，M=11a}N={x|—1%4}a=0,/.M=[x\x0},或•.CRN={x\x-14,；A MnC/V={x\x4R由题意及得，312在和中，M=^%||a}N={%|—1W%V4}M={x\x2a},•:N Q M,•e•2d Q—1,解得a—3二・a的取值范围为一8,—.题型6O集合混合运算中的求参问题（上•广西贵港•高一统考期末）若全集集合）亿则可能为（
1.2023U={—124519},QQ4n B=5,19},4A.{4}B.{-1,19}c.{-1,2,4D.{4519}【解题思路】先由已知条件求出则可求得集合中的元素，从而可判断集合An8,A4【解答过程】因为全集/=集合{-124,5,19},CuG4n8={2519},所以ACiB={-1,4},所以一1,4G4所以只有选项的集合符合条件，C{-1,2,4}故选C.上•山西朔州•高三统考期末已知集合若/则实数血的取值
2.20224={x|l%2},B={x\xm},n CRB=0,范围为A.—co,1]B.-8,1C.[1,+oo D.1,+oo【解题思路】由题可得巳再利用集合的包含关系即求.4U【解答过程】解:由题知4nC B=0,R得则血4£B,1,故选A.上•浙江台州•高一统考期末已知集合
3.20234={xE R\2a-3%a+l},B={x E R|x+1%-
30.⑴若求；a=0,4n B若求实数的取值范围.2a n CRB=4【解题思路】根据交集的定义，即可求得本题答案；1由得利用分类讨论，考虑和两种情况，分别求出实数的取值范围，即可2anCRB=4ZUCRB,4=0Z H0得到本题答案.【解答过程】若则1Q=0,4={%GR|—3%1因为所以/}；8={%e R|-l%3},n B={%e R|-l%1由题，得={%|%三或%由得2CR8-1,23},4CICRB=4ZGCRB,若/=则得0,2a-3a+1,4,Q若即时，则有或得或工/W0,QV4Q+1E—1,2a—323,a—23Q4,综上，16-co,-2]U[3,+oo.上•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考期末已知
24.20224=[x\x-6x+5=0],B={x\ax-1=0}.若求；1Q=1,24n CzB2从
①AUCRB=R；
②=
③BnC〃l=0这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题若，求实数的所有取值构成的集合a C.注如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解题思路】当时，求出集合、利用补集和交集的定义可求得集合；1Q=1344n CzB选
①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得=《},根据2a=0a HOQ=0a W0B4U可得出关于的等式，综合可得出集合；CRB=R a C选
②，分析可知分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得={},B QA,a=0a W0a=0a H03根据可得出关于的等式，综合可得出集合；B U4C选
③,分、两种情况讨论，在时,直接验证即可;在时，求得，根据可a=0a W0a=0a H0B={},3A CR4=0,得出关于的等式，综合可得出集合a C.【解答过程】解:当=时,11B={x\x-1=0]={1},又因为2故4={x\x-6%+5=0}={1,5},4n CzB={5}.解若选
①，当时，则满足2Q=08=0,CRB=R,AUCRB=R,当时，若则或解得或*aw0B=AUCRB=R,”15,a=1综上所述，；c={oj,i}若选
②，・・・4nB=8,则当时，满足；Q=05=0,8G Z当时，因为贝叶或解得或*QW0B=BU4=15,a=1综上所述，C={o,1,l;若选
③,当时，满足〃；Q=o B=,BnC l=0当时,则因为则或解得或点a W08={BnCM=0,=15,a=1综上所述，c={oj,i}.题型7由充分条件、必要条件求参数下•湖南长沙•高二校联考期末已知、如果是的充分不必要条件，则实数的
1.2023p:2/c,q W40,p qk✓VI«
1.取值范围是A.2+8B.1,+8C.[1,+8D.—oo,—1【解题思路】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.【解答过程】即〈一或％又之是的充分不必要条件，q:x122,p:x Lp q所以忆之即的取值范围是2,k2+
8.故选:A.下•浙江•高一期末已知条件条件且「是「的充分不必要条件，则的取值
2.2023p:|%+1|2,q:%Q,p qQ范围是A.a1B.a21C.CL2—1D.CL4-3【解题思路】解不等式得到或%根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包p%-31,q p含关系，求出答案.【解答过程】由条件解得％或%；p:|%+1|2,—31因为」是「的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，p qq p故｛｝是｛或%｝的真子集，4=x\xa8=x\x-31则的取值范围是之a1,故选B.
3.2023上・湖北武汉,高一武汉市第十七中学校联考期末已知P——5%—60,Q l-mx3+m.若是的充分条件，求实数租的取值范围；1p q若是的必要条件，求实数根的取值范围.2p q【解题思路】先化简条件再利用是的充分条件列出关于实数小的不等式，解之即可求得实数根的取1p,p q值范围；按实数根分类讨论，利用是的必要条件列出关于实数租的不等式，解之即可求得实数根的取值范围.2p q【解答过程】由/—可得—则15%—6V0,1%6,p:—1%6又工血，且是的充分条件，q:1-m4%3+p q可得｛；■送*二，解之得之则实数血的取值范围为［；m3,3,+8由得21p:—1V%V6,q\l—mx3+m当血一时，，此时，是的必要条件，符合要求；11-m3+m q:x e0,p q当一时，由是的必要条件，m1p q一1—TTL1可得[,解之得一63+zn1362,综上，实数血的取值范围为-艺
2.上•湖北襄阳•高一统考期末已知集合/={%在
①力；
4.2023I a-1%2a+1,B={%|-2%4}.U B=B
②％是“％中的充分不必要条件；
③这三个条件中任选一个，补充到本题第
②问的横线处，求“64”6An3=0解下列问题.1当a=3时，求CROCIB；若,求实数的取值范围.2a【解题思路】利用集合的交并补运算即可得解；1选
①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选
②，由充分不必要条件推得集合的包含关系,再结2合数轴法即可得解.【解答过程】当时，，而所以则1Q=3A={x\2x7],8={%|-2%4},4n B={x|2%4},CRG4n5={x|%或%24].选
①2因为=所以当时，则即满足则；4=0a—12Q+L QV-2,4U8,a V-2当时，由得已一二，解得一工会；4H0a-2,AUB1a12a+142综上或—即实数的取值范围为；a—21aa—8,—2U—选
②因为是“％中的充分不必要条件，所以是的真子集，64”e4B当/=时，则一+即满足题意，则一；0121,QV—2,V2当时，贝第一，且不能同时取等号，解得—三兵ZW0a-2,1]1412a+142综上或—即实数的取值范围为；乙.a V—21W a4a—8,—2U—1,|N L选
③因为4n B=0,所以当时，则即一满足则；4=0a—l2a+l,2,ZnB=0,V—2Q当时，之一由=得或解得一|或又所以一弓或402,A n B2a+1-2a-14,aa5,a N—2,-2E aQ；a5综上一|或实数的取值范围为
（一）（）5,a8,-1u5,+
8.充要条件的证明（上,贵州黔东南•高二统考期末）已知％都是非零实数，且工〉求证:V己的充要条件是孙
1.2023y y,
0.【解题思路】根据充要条件的定义进行证明即可.【解答过程】⑴必要性由工〈工，得工」即匕V0,V0,x yx yxy又由％得所以％y,y-%V0,y
0.（）充分性由及％,2xy0y,得二即乙士AZ,V xy xyxy综上所述，§己的充要条件是孙
0.（上.江苏苏州,高一校考阶段练习）求证方程血/-（血）有两个同号且不相等的实根的
2.20222%+3=00充要条件是Ovmv【解题思路】先证明充分性，即当时，方程旭/-久+（）有两个同号且不相等的实根；再证OVznV23=0mH0明必要性，方程血％（）有两个同号且不相等的实根，则
2.2%+3=0710Ovznv].【解答过程】先证明充分性若血,设方程的两个实根为％，，01%22Q则=藐〉，・％蔡°，%1+%20%12=A=4-12m0,故方程租％（加工）有两个同号且不相等的实根；2-2%+3=00再证明必要性若方程血/-（）有两个同号且不相等的实根，2%+3=010令/（%）=租/-（）2%+360,当根〉时，其图象是开口方向朝上，且以％=工为对称轴的抛物线0m若关于%的方程血/-汽+有两个同号且不相等的实根23=0则必有两个不等的正根，则函数/（%）=血/-有两个正零点,2%+3,-0I rn1则｛，解得巾；A Ovv§0ImvA=4-12m0当时，其图象是开口方向朝下，且以％=工为对称轴的抛物线THVO m若关于%的方程血力-有两个同号且不相等的实根2%+3=0则必有两个不等的负根，则函数・有两个负零点，f%=m%22%+3,-0I m则｛，无解；2_0I mvA=4-12m0故关于％的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是；771%
2.2%+3=0TH0Vmv1・・・方程zn%
2.2%+3=071H0有两个同号且不相等的实根的充耍条件是
0771.
3.2023・高一课时练习设a,b,c分别是△48的三条边，且a4bc.我们知道，如果△4BC为直角三角形,那么小2勾股定理.反过来，如果小那么△为直角三角形勾股定理的逆定理.由此可知,△为b=/22,/BC+b=+直角三角形的充要条件是小+/=,请利用边长分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条2ahc445C件，并证明.【解题思路】根据勾股定理易得△为锐角三角形的充要条件是小+b2C
2.A4BC为钝角三角形的充要条件是小
2.再分别证明充分与必要性即可.b+【解答过程】解设分别是△的三条边，且为锐角三角形的充要条件是小2:1a,b,c abc,A ZBC+b2c.证明如下:必要性:在中是锐角，作为垂足，如图448/C ZD1BC,D
1.显然/炉=222222222AD+DB=AC-CD+CB-CD=AC-CD+CB+CD-2CB•CD22・2即/22=AC+CB-2CB CDAC+CB,+b.a充分性:在△中,2・・〃不是直角.ABC M bc2,.+假设为钝角，如图⑵作交延长线于点4c4D1BC,8C D.则/炉=222222222・22・2AD+BD=AC—CD+BC+CD=AC-CD+BC+CD+2BC CD=AC+BC+2BC CDAC2+BC.即2与〉矛盾.b+2,“q2+/c2”故为锐角，即△为锐角三角形.NC4BC________________________n xDCB2⑵设分别是△的三条边，且为钝角三角形的充要条件是小2a,b,c ABC abc,A ABCb+2c.证明如下:必要性:在△中为钝角，如图显然ABC/C2,2222222222・22AB=AD+BD=AC-CD+CD+CB=AC—CD+CD+CB+2CD CB=AC+CB+
2.即222CD-CBAC+CB2Mbc.+充分性:在△中,22ABCa2+bc,・・・不是直角，假设为锐角，如图⑴，/C NC则22222=AD+DB=AC-CD+CB-CD2222222222这与2矛盾，从而=AC-CD+CB+CD-2CD-CB=AC+CB-2CD-CBAC+CB M\la+bc,bc2”+“必为钝角，即△为钝角三角形.ABC
4.2023・全国•高一专题练习当成nW ZH寸，定义运算
③当犯九0时，m0n=m+n；当矶九VO时,m0n；当或时，；当寸，；当九=时,=m-n m0,n00,n0m®n=\m+n\m=013m0n=n0m0n=m.⑴计算区-；[-23]0—7证明，或是一的充要条件.2“a=O b=-2a=-2b=0”a0b=2”f f【解题思路】先理解
⑥的运算，然后求解即可；1先证充分性，再证必要性即可.2【解答过程】一1[-203]0—7=60-7=|6-7|=
1.先证充分性当或时，则2a=0,b=—2Q=—2/=0a0b=-2,即或力是的充分条件；a=0,b=—2a=-2=0a0b=-2再证必要性当笆时，5=-2显然当时、当时，ab0a®b0,ab0a0/0,即与均不合题意，ab ab0当时，由则=00b=-2,b=-2,Q Q当时，由区则5=0Q b=—2,a=-2,即或是的必要条件,综上，命题得证.“a=O b=—2a=-2b=F a0b=—2”f f全称量词与存在量词中的含参问题上•山西太原•高二统考期末已知命题是真命题，那么实数的取
1.2023p Vx e/,Q/+2%+30a值范围是1一1A.a V-B.0V a W331I一一C.D.a Q33【解题思路】由题意可得对于％恒成立，讨论和即可求解.a/2%+30e Ra=0a H0+【解答过程】若命题/+是真命题，p v%e/,2%+30则对于％恒成立，a/+2%+30e R当时，可得％-三不满足对于％恒成立，所以不符合题意；a=02%+30ERQ=02当时，需满足/,八解得aW0j°,2aj lzl=4-4ax303所以实数的取值范围是a Qj故选c.上•河北保定•高二统考期末若命题将+租%+租为假命题，则实数租的取
2.20232-3V0”值范围是A.[2,6]B.2,6C.—00,2]U[6,+oo D.—8,2U6,+oo【解题思路】因为原命题是假命题，其否定为真命题，问题可转化为据+血工+巾-之恒成VGR,23立，故由/工即可求出血的取值范围.0【解答过程】因为命题汨％一为假命题，oER,/+M+263VF故其否定瞪租—为真命题，“VeR,+6+2320”故22解得d=m—42m—3=m—8m+120,2m6,故实数血的取值范围是[2,6].故选A.上•安徽淮北•高二校考期末已知，命题命题白，%2-
3.2023p:V%WR,%2+a%+2N0,q m%w[-3,-ax+1=
0.集个数为（）A.7B.15C.31D.
633.（2022上•陕西西安・高一校考阶段练习）已知集合4={32小+5%0},且（）求实数的取值的集合1QM;（）写出（）中集合的所有子集.21M（上•北京西城•高一校考阶段练习）设集合%=九},若是的子集，把中所有元素的
4.2022{1,23…,XSXn和称为的“容量”（规定空集的容量为）若的容量为奇（偶）数，则称为右的奇（偶）子集.X0,XX⑴写出的所有子集、所有偶子集S3⑵写出的所有奇子集；S4⑶求证九的奇子集与偶子集个数相等.S题型4O根据集合间的关系求参数（上•甘肃白银•高一校考期末）已知集合集合2）若则
1.20234={%eR|2x-3-a0},8={yeR|y=%-3%+2,a的取值范围为（）77A.a——B.a——2277C.a—D.a V—
222.（2023上•浙江绍兴・高三统考期末）已知集合4={%EN*|%=后+二7y20},若B U4且集合8中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（）.BA.1B.3C.6D.10（上•山西太原•高一校考阶段练习）已知集合22（）
23.20234=[x\x+4%=0},B={x\x+2a+l x+a-1=）
0.若命题〃为真命题，求实数的取值范围；1若命题为真命题，求实数的取值范围.2q【解题思路】由题意解』2可得；1=a-4X1X20问题转化为:在卜的值域，由“对勾函数”的单调性可得2Q==%+3,—4【解答过程】解1・・・命题
2、、6/,/+％+2之0为真命题，2解得一鱼鱼，4=a-4x1x20,2a2・・.实数a的取值范围为［-2隹2或］2,・,命题qT%W—3,—3，产一Q%+1=o为真命题，［在］-一之上有解，a==x+3,由对勾函数可知,在汽［］单调递增，在％［一单调递减，Q=%+%e―3,-1e1,—当％=时,取最大值-；-1a2当％=一时,=一；当％=一时,=一.所以的最小值为一当乙乙3aaa DO・・.实数a的取值范围为:［―3一21上•重庆渝中•高一校考阶段练习已知命题/+一成立.命题
4.2023p3x eR,2%+1=0q7n念，都有矶力-租+金成立.Va,b£R+,b=122⑴若命题〃为真命题，求实数机的取值范围若命题〃和命题夕有且只有一个命题是真命题，求实数的取值范围2m【解题思路】根据一元二次方程有根，由判别式即可得血的取值范围；1根据题意，求出为真时的取值范围，由此分真假和假真两种情况讨论，分别求出血的取值范2p,q mp qp q围，综合可得答案.【解答过程】根据题意，命题成立.若为真，则方程有1p/xER,/+.2%+1=0p/+
6.2%+1=07n解，必有△=TTI・22・4》0,解可得7n》4或血0,故为真时，根的取值范围为{血|也》或徵p440},若力由于则22a WR+,b=,b0,a-l0,a-l则・答・总总》后ab l=Q=a l+ll+=3+a-l+3+2当且仅当・1=鱼时，即0=1+鱼，8=2+鱼时等号成立，即的最小值为企，ab-l3+2若命题为真命题，必有血企鱼，可得q+243+2TH43,故血的取值范围为］；-8,3又由命题和命题有且只有一个命题是真命题，分种情况讨论,p q2若真假，则有风》或血解可得血》p q44°,4,m3若假真,则有｛°黑；匕解可得《p q0m3,综合可得或》0Vm43n4,即的取值范围为｛或｝m7n|0Vm3m
4.
4.2023上•北京顺义・高一牛栏山一中校考阶段练习已知4=为实数数组，定义集合PQ4={的，@213,4,++给定正整数根，右，血一租}，则称为租一连2+3+4,2+3,2+3+2+@3+{12…1,U PQ4A续生成数组.⑴判断是否为-连续生成数组？是否为-连续生成数组？说明理由；8=021,456若见为-连续生成数组,求的值,并说明理由；2C=0,L26Q数组/=是否为—连续生成数组？说明理由.3I题型5O交、并、补集的混合运算上•江苏盐城•高一校联考期末设全集集合或%则
1.2023U=R,4={x\x2},B=[x\x-26,A nS=A.{x\x2}B.{x\2x6}C.{x|-2x2}D.{x|-2%6]上•云南昆明•高一统考期末图中是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是
2.2023UA,8A.A nCuB B.CyA n BC.CuAnB D.CuZnCuB下•山东滨州•高二校考期末已知集合求下列集合
3.2023P={x|-1%1},Q={%|0%2},1PUQ2p nQ⑶CRP nQ4CRP UC RQ
4.2022上・北京密云・高一统考期末已知集合M=之Q},N={X\-1X4].当时，求；1Q=1MCiN,MUN2当a=0时,求MOCRN；⑶当时，求的取值范围.NG Ma题型6太集合混合运算中的求参问题
1.2023上•广西贵港・高一统考期末若全集U={—124519},集合QG4nB={2,5,19},则4可能为A.{4}B.{-1,19}C.{-1,2,4}D.{4,5,19}上•山西朔州•高三统考期末已知集合若则实数血的取值范
2.20224={x|l x2},B={x\xm,4n CRB=0,围为A.-co,1]B.-co,1C.[1,4-00D.1,+oo上•浙江台州•高一统考期末已知集合/一
3.2023=x ER|2Q-3%a+l},B={xER|x+1%
30.若求；1a=0,4nB若/求实数的取值范围.2nCRB=4上•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考期末已知
24.20224=[x\x—6%+5=0},B={x\ax—1=0}.⑴若求a=1,A nCzB;2从
①ZUCRB=R；
②=
③8nC/=0这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题若，求实数的所有取值构成的集合aC.注如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.:由充分条件、必要条件求参数下•湖南长沙•高二校联考期末已知如果是的充分不必要条件，则实数的✓
1.2023p:%2k,q W0,p qk vI X取值范围是A.[2,4-00B.1,+8C.[1,+oo D.-8,—1下•浙江•高一期末已知条件条件且「是「的充分不必要条件，则的取值范围
2.2023p:|%+l|2,q:xa,p qQ是A.a1B.a1C.a—1D.a-3上•湖北武汉,高一武汉市第十七中学校联考期末已知
3.2023p:/—5%—60,q\l—mx3+m.若是的充分条件，求实数租的取值范围；1p q若是的必要条件，求实数根的取值范围.2pq（上•湖北襄阳•高一统考期末）已知集合/.在
①；
②％是
4.2023={x\a-lx2a+l]B={x\-2x4}A UB=B€4,f的充分不必要条件；
③这三个条件中任选一个，补充到本题第
②问的横线处，求解下列问题.GB”Zn8=0（）当时，求）；1Q=3CRG4C8题型8充要条件的证明（）若,求实数的取值范围.2a（上•贵州黔东南•高二统考期末）已知招都是非零实数，且%求证;己的充要条件是砂
1.2023y y,
0.（上•江苏苏州•高一校考阶段练习）求证方程（血）有两个同号且不相等的实根的充要
2.2022m/-2%+3=00条件是0VznV
3.（2023・高一课时练习）设a,b,c分别是△4BC的三条边，且a（b《c我们知道，如果△/BC为直角三角形,那么小+川（勾股定理）反过来，如果小那么△为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知,△=c22,2,4BC+b=为直角三角形的充要条件是小+/=.请利用边长分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个4824/5Ca hc充要条件，并证明.
4.（2023・全国•高一专题练习）当犯九6Z时，定义运算
③当成几0时m0n=m+n；当m,nV0时、m0n；当或时，；当时，；当九=时,=m-n m0,n0m0,n0m®n=\m+n\m=0m0n=n0m0n=m.⑴计算；K—2G-3]G-7证明，或力是一的充要条件.2a=0b=-2a=-2=0“a®b=2f全称量词与存在量词中的含参问题（上山西太原•高二统考期末）已知命题是真命题，那么实数的取值范围
1.2023♦p Vxe/,a/+2%+30a是（）I1A.a-B.0a-33i i一一C.D.a MQ33（上•河北保定•高二统考期末）若命题“比为假命题，则实数租的取
2.20236/,+mx+2m-30”0值范围是（）（）A.[2,6]B.2,6（）（）（）C.-co,2]U[6,4-00D.―oo,2U6,+oo（上•安徽淮北•高二校考期末）已知，命题命题三％
23.2023p:V%eR,%2+Q%+2N0,q e%-ax+1=
0.（）若命题〃为真命题，求实数的取值范围；1（）若命题为真命题，求实数的取值范围.2q（上•重庆渝中•高一校考阶段练习）已知命题/十（血一）成立.命题
4.2023p3xeR,2%+1=q，—,都有/成立.Ya bER+,b=ab—1±+2TH⑴若命题〃为真命题，求实数机的取值范围⑵若命题和命题有且只有一个命题是真命题，求实数的取值范围p qm（上•江苏镇江•高一校考阶段练习）若集合（）12恰有个真子集,
1.2023M={%I m+l x-mx+m-1=0}1则血的取值是（）
2.（2023上,湖北孝感・高一校联考阶段练习）定义若一个九位正整数的所有数位上数字的几次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合是自恋数},则的真子4={8,23,81,153,254,370},5={%E*%8。
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