倒立摆系统的建模及Matlab仿真

倒立摆系统的建模及仿真Mat Iab

1.系统的物理模型考虑如图⑴所示的倒立摆系统图中，倒立摆安装在一个小车上这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题f/////////图⑴倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下摆杆的质量m=摆杆的长度l=lm小车的质量:M=1kg重力加速度g=

9.8m/s2摆杆的质量在摆杆的中心设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量10%,调节时间ts4s，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置

2.系统的数学模型建立倒置摆的运动方程并将其线性化为简化问题，在数学模型中首先假设1）摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦o设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（z+/sine），在u作用下，小车及摆均产生加速远动,根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有d2z d2一讥M—+^z+/sine=力22出x7+004000+004x8+004000+004x6x7x8xl000x2x3000x4x5100x6x7001x8b=ulxl0x20x30x40x5-96x6-2594x7+004x8+004c=xl x2x3x4x5x6x7x810000000yid二ul0yiContinuous-time model.闭环系统的极点和零点c_poles—++c_zeros=Ifg二由控制器一一全维状态观测器实现的倒立摆系统在初始条件下引起的状态变量的响应、输出变量的阶跃响应和脉冲响应如下图x105状态响应

1.51I111111卜1-----------x1-----------x21-------乂3-x4xlhat15----------x2hatx3hatU___X-------.x4hatJ=^=«r--*------------------------------二一一=310J.5-\i-1-

1.

500.

10.

20.

30.

40.50,

6070.

80.91图⑵状态响应式“（虚线）和式“（实线）阶跃响应100-------------1—1-----------------1------------------1-----------------1-----------------40-60gg____________|__________|__________|__________|__________|__________|__________I I__________L_

00.

511.

522.

533.

544.5/、Time sec图⑶阶跃响应yv脉冲中应七Time sec图⑷脉冲响应WnpDI••即:M+mz+m/0COS0-m/02sin0=u绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有d2m___z+I sin0-I cos0=mgl sin0dt2即:zcos0+Z0cos20-^2sin0cos0=gsin以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理由于控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾合适的外力条件下，假定很小，接近于零时合理的，则sin0B0,cos0p1,且可忽略.2项于是有z+/0=g联立求解可得1u M.0-2—UMl列写系统的状态空间表达式X=LxjX,x1则选取系统变量12342mg1Y----x+——uM3MMl0z dzmgu=Ax+Bu夕I,Oi IM+mg四Ml\MlMly=x=Di oo olx=Cx35X213XX41代入数据计算得到:——■

3.设计控制器,rank

（2）=4,故被控对象完全可控kAB A2B-1—-10o,o,±JTT出现大于零的特征值，故被由特征方程M-A|=屹11）=0解得特征值为控对02—象不稳定确定希望的极点判断系统的能控性和稳定性希望的极点n=4,选其中一对为主导极点s和s,另一对为远极点，认为系统性能主要由主导12极点决定，远极点只有微小影响根据二阶系统的关系式，先确定主导极点O=6一志工

0.1可得自

20.59,于是取自=

0.6；取误差带A=

0.02有，=J_,则

①=

1.67,P S匕

①〃n闭环主导极点为S=芭3±/工石二土，远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离〃一1,2“的5倍，取s=-153,4采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点状态反馈的控制规律为〃=-，k=lk k kk］；状态反馈系统的状态方程为0123x=A-BKx+Bv,其特征多项式为—A—8K|=X4+Z—左入-k-11212-10U-10^

⑤3+%130210希望特征多项式为九+1九+1—

0.8力九+1+

0.8力=M+32X3+

286.64九+

499.2X+369

⑥522-oooO1ooO-OO1O0-1011B,[O-O-O14i-JT1OC5-L1O OOIJD-O比较以上两式系数，解得状态反馈矩阵人［-

36.9-

49.92-

334.54-

81.

9214.设计全维观测器,rankQ J=4,故被控对象完全可观判断系统的能观性确定观测器的反馈增益全维观测器的动态方程为^=A-GCy+Bv+GCx；其特征多项式为M-A-GC|=+g0M+gje+-1%-gp+T1gE取观测器的希望极点为-45,-45,-3+3j,-3-3j；则希望特征多项式为（九+15）2（入+1—

0.8力（入+1+

0.8力=M+96X3+2583入2+13770九+34650比较以上两式系数，解得观测器反馈矩阵G=l962594-14826-64984}

5.降维状态观测器的设计建立倒置摆三维子系统动态方程设小车位移Z由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维三维状态观测器，通过重新排列被控系统变量的次序，把需由降维状态观测器估计的状态变量与输出传感器测得的状态变量分离开将Z作为第四个状态变量，则被控系统的状态方程和输出方程变换为Qg-rLC rc4A\/rz\C2oOooO-oo-1O011^---------也简记为:式中口，T=z=y,A=60017T=Q,b=0,I=12212121被控系统的n-q维子系统动态方程的一般形式为*Zr=A XX=A T+V,1111211式中v=K y+6u u,z=y-K y-Fu=y^=z=牙2111222/为子系统输出量故倒置摆三维子系统动态方程为d「z1|「0—10]「z1|『1]〃Uo o1监”o〃dt..e J[o11oJLeJ[-1_.判断子系统的可观测性Al=10-10;00l;0110];C1=

[100];2X-1X2-cX-1XLJfA

4.rI1TF222J2p■---Az00z•12r11—iIU—4/T—4iiz00z•IU1^-1%—4J—zooz•wo1-01-o1o[ooT]-]--bsv Al,Cl;r=rank Qgl产子萨普测装/程嘎线为的3,白的一般形式为112112220小考虑被控对象参数,式中h=Dz h2单倒置摆降维观测器动态方程的一般形式为012h一卜0-1一一013=一-Itoh+h2\y-h h+11/z021_确定三维状态观测器的反馈矩阵h三维状态观测器的特征多项式为-/不=九h九11—h入+-11〃-/z3+2+―210102设希望的观测器闭环极点为-45,-3+3j,-3-3j,则希望特征多项式为（X+45）（X+3+3；Xx+3-3j）=入51入288入+8103+2+比较以上两式系数，解得h」51-299-137l]-51-101-2302]cd=2991co+0u+13878y工力-1L666321—51—-299口+-1371・1故所求三维状态观测器的动态方程为仿真分析源程序通过Matlab对用全维状态观测器实现状态反馈的倒置摆系统进行仿真分析，下面是文件名为的源程序dcX-y__-3,1-I____0001001100010o0000hu-%倒立摆系统建模分析%a判断系统能控性和能观性clear all;clcA=[0100;00-10;000l;00110];C=[l000];D=0;Uc=ctrbA,B;rc=rank Uc;n=size A;if rc==ndispC The system iselseifrcn controlled.disp The systemis uncontrolled.5endVo=obsv A,C;ro=rank Vo;if ro==ndisp The system is observable.,elseif ro二n〜disp The system isend noobservable.,%b判断系统稳定性P=polyA,v=rootsPRe=realv;if lengthfindRe0=0〜disp CThe systemis unstableand theubstable polesare:vfindRe0elsedisp5Thesystemis stable!;end%c极点配置与控制器-全维状态观测器设计与仿真pc=[-l+*j,*j,-15,-15];po=[-45-45-3+3*j-3-3*j];K=acker A,B,pc,G=acker A,C,po’Gp二ss A,B,C,D;%将受控过程创建为一个LTI对象dispC受控对象的传递函数模型’；H=tfGpAf=A-B*K-G*C;disp观测器——控制器模型’;Gc二ss Af,-G,-K,0%将观测器-控制器创建为一个LTI对象dispC观测器一一控制器的极点’；f_poles=poleGcGpGc=Gp*Gc;%控制器和对象串联dispC观测器一一控制器与对象串联构成的闭环系统模型’；Gel二feedback GpGc,1,-1%闭环系统disp闭环系统的极点和零点’;c_poles=poleGelc_zeros=tzeroGellfg=dcgain Gel%低频增益N=l/lfg%归一化常数T=N*Gcl;%将1^与闭环系统传递函数串联x0=

[1001030100000];%初始条件向量t=[o1T；%时间列向量厂o*t；%零参考输入[y tx]=lsimT,r,t,xO;%初始条件仿真plot t,x:,1:4,，t,x:,5:8%由初始条件引起的状态响应title5\bf状态响应’legendxl,x2,x3,x4,xlhat,x2hat,x3hat,x4hat，figure2step Ttitled\bf阶跃响应figure3impulse Ttitle\bf脉冲响应程序运行结果Thesystemis controlled.Thesystemisobservable.P二10-1100v=00Thesystemis unstableand theubstable polesare:ans=K=G=962594-14826-64984受控对象的传递函数模型Transfer function:s2-s-10sN-11s2观测器一一控制器模型:a-x2x3x4xl100xl-96x2-2557001x3+004x4+004b=ulxl-96x2-2594x3+004x4+004c=xl x2yix3x4d二ulyl0Continuous-time model.观测器一一控制器的极点:f.poles=+002*+观测器一一控制器与对象串联构成的闭环系统模型:xl x2x3x4x5xl01000x200-10x300010x400110x596000-96x62594000-2557。