到达时间间隔与到达时刻的分布

定理到达时间间隔序列相互独立同分布的，且

2.

2.1-,Z=12…k k k-AT服从参数为九的指数分布.这个命题应是在意料之中的.事实上，泊松分布定义中的平稳独立增量的假定等于说在概率意义上过程是在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切独立增量，且与原过程有完全同样的分布平稳性，也就是通常讲的无后效性.证明1求r的分布.由于r表示第一次事件发生之前所需的时间，故11，表示在［时间段内事件还未出现，所以{7}0l1F S=PT=1-PNt=0=1-e-^Vt0yTy11即丁玖九.〜1求丁的分布.由平稳增量性，在时间区间区内事件发生的次数与2S+/s2无关，而只与时间间隔的长度/有关，即⑺PTtVT=s=PNs+t-Ns=0=PN=0=e-^t,V0由全概率公式，PTt=ipb t\T=sf Gds=e-^=PT t\T=s221Tl21即£九且与独立.T〜T21求〉的分布.对于有3T.2x/r,s,…,s0,n n-11P Ttr=s--,T=Sn3*11n-1H-1+・・=PN s+..+s-Ns+..+s=01w-i1n-1=PNt=0=e-^t即£九,\/〃〉且相互独立.于是结论成立.口T〜2,n注意，定理的逆命题也成立.先研究到达时刻的分布，之后再来讨论这个问题.定理到达时刻工服从参数为凡九的分布.

2.

2.2Gamnia证明由定理

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2.1,T=T-T,Z=1,2,…相互独立且T的特征函数是kk攵-1kP=f九Qdx=『九COS{fxe-^xdx+zf九sin QQe-xdx k00=Z+i九二中1-MM・t2，九2+2入2+于是，=Z,〃=1,2,・••的特征函数是n kTk=1zp G=Y I=九]无T l入71Iap PPQT------------------------而「,分布的特征函数为〃7],rt邛―〃几5定理若计数过程

①⑺,出的到达时间间隔序列状=…是相

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2.30}712k互独立同参数为九的指数分布，则⑺之是参数为九的泊松过程.{N0}证明由指数分布的无记忆性知，过程}具有平稳独立增量•于是{N«N只要证明N⑺〜Pg.注意到服从参数为〃，九的分布，且t Gamman{Nt=n}={i/}{t}={it}-{T t}n nCT〃〃+1+1所以P=n=P{T/}-P{T r}W n+1他尚忆产M«=J/九e-心dx-J12dxo n-1!o n\令〉=九%并由分部积分法得九%〃y__，”一入小出…□PN8=ri=0/=0,12n\由以上的结论可以看出，泊松分布和指数分布存在着紧密的联系，有人将定理

2.与定理合起来作为泊松过程的定义，这种定义方法适宜于往更新过程乃至

2.

12.

2.3随机游动作进一步的推广；此外，这种定义实际上有助于读者理解泊松过程的无后效性并提供了模拟它的好方法，后面对此进行讨论.放射性物质在衰减过程平均每分钟放射出个光子，用⑺表示在观测时间EX4Y N区间刀内放射出丫光子的数目，且{N/20}是泊松过程.设计数器对检测到的Y光子只是每隔一个记录一次，令是两个相继被记录的光子之间的时间间隔以分钟为单位，T求的概率密度函数.T解由题意，£[N1]=4=总故{N,20}是参数九=4的泊松过程设X，攵=1,2，・・・表示第Z-1个与第Z个被记录的光子之间的时间间隔，且从放射出的k第个光子开始记录，显然,由定理知，次…独立同指数2X=r+T T=12分布，于是…也是独立同分布的.所以只要求出的分布，即为的分布,注X XTk1意至｛，｝=｛在[至多到达一个光子｝,故u x01PX Z=PT+T r=PNt1=PNt=0+PNt=1招，々，=e-+41+4e-V/20,4f-4=所以的分布函数为TFt=PXjH-1+4re-4/,r0r=T[0/01-7I概率密度函数为，⑺/…H6…2]o,t077。