弦切角定理的证明

弦切角定理的证明第一篇弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角（弦切角就是切线与弦所手的角）如右图所示，直线切圆于点、为圆的弦，都pt oc,be ac o Ztcb,Ztea,Zpea,Zpcb为弦切角编辑本段弦切角定理弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明证明一设圆心为连接o,oc,ob,o丁Ztcb=90-Zocb丁Z boc=180-2Z ocb.；Nboc=2Ntcb（定理弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）丁（圆心角等于圆周角的两倍）Nboc=2Ncab（敬请期待好更好文章尸（定理弦切角的度数等于它所夹的弧的•••Ntcb Ncab圆周角）证明已知是的弦，是的切线，为切点，弧是弦切角所夹的ac aba Nbac弧.求证（弦切角定理）证明分三种情况（）圆心在的一边上1o Nbac ac为直径，切于V ac ab o a,引氐二弧cma ca;为半圆，弦所对的圆周角（）圆心在的内部./.Ncab=90=ca2o Nbac过作直径交于a ad o d,若在优弧所对的劣弧上有一点m e那么，连接、ec ed ea贝有、ij Z ced=Z cadZ dea=Z dabZcea=Zcab•••（弦切角定理）（）圆心在的外部，3Nbac过作直径交于a ado d那么/cda+Z cad=Z cab+Z cad=90二Neda Ncab•••（弦切角定理）编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1如图，在rtZkabc中，Nc=90,以ab为弦的o与ac相切于点a,Z cba=60°,ab=a求长.be解连结oa,ob.•••在中,rtAabc Nc=90，Zbac=30°，bc=l/2art△中30角所对边等于斜边的一半例2如图，ad是babe中Nbac的平分线，经过点a的与be切于点d,与ab,ac分别相交于e,£求证ef〃bc.证明连df.是的平分线ad NbacNbad=NdacZefd=ZbadZ efd=Z dac切于Oo bedZfdc=Zdac二N efdZ fdcef〃bc例3如图，babe内接于o,ab是o直径，cd_Lab于d,mn切o于c,求证ac平分平分Nmed,be Nned.证明〈是直径ab，Zacb=90cd_L ab•e.Nacd=Nb,切于Vmn ocZ mca=Z b,，Z mca=Z acd即平分ac Nmed,同理平分be Nned.第二篇弦切角定理的证明弦切角定理的证明弦切角定理定义弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角就是切线与弦所夹的角弦切角定理证明证明设圆心为连接过点作的平行线交于则二o,oc,ob,oao atp bed,Ntcb Neda丁Ztcb=90-ZocdZ boc=180-2Z ocd,Zboc=2Ztcb证明分三种情况圆心在的一边上1o Nbac ac为直径，切于Vac ab oa,弧cma=M ca•••为半圆,圆心在的内部.2o Nbac过作直径交于那么a ado d,（）圆心在的外部，过作直径交于那么3Nbac a ado d2连接并延长交圆于点连接因为为切线，所以垂直所以角to d,bd tdtd tc,btc+角因为为直径，所以角角所以角笈二角出二角dtb=90td bdt+dtb=9016a3编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角（弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线切圆于点、pt c,be为圆的弦，都为弦切角编辑本段弦切角定理弦切角定aco Ztcb,Ztea,Zpea,Npcb理弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半,弦切角定理证明证明一设圆心为连接（定理o,oc,ob,oZtcb=90-ZocbZboc=180-2Zocb.\,Zboc=2Ztcb弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）（圆心角:Nboc=2Ncab等于圆周角的两倍）（定理弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）Ntcb=Ncab证明已知是的弦，是的切线，为切点，弧是弦切角所夹的ac aba Nbac弧.求证（弦切角定理）证明分三种情况⑴圆心o在Nbac的一边ac上Tae为直径，切于••弧•••为半圆,，弦所对的圆周角ab oa,・cma=^H caNcab=90=ca b点应在点左侧（）圆心在的内部.过作直径交于若在优弧a2Nbaca ad d,m所对的劣弧上有一点e那么,连接ec、edea则有Zced=Zcad Ndea=Ndab:・（弦切角定理）（）圆心在的外部，过作直径交于那Ncea=Ncab;・3o Nbaca ado d么（弦切角定理）编辑本段弦切角推论推Zcda+Zcad=Zcab+Zcad=90Z cda=Ncab;.论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1如图，在中，以为弦的与相切于点求长.解连rt/kabc Zc=90,ab oaca,Zcba=60°,ab=a be结oa,ob..••在rtAabc中,Nc=90,Nbac=3（）o，bc=l/2a（rt△中30角所对边等于斜边的一半）例2如图，ad是Babe中Nbac的平分线，经过点a的与be切于点d,与ab,ac分别相交于e,f.求证ef〃bc.证明连df.ad是Nbac的平分线Nbad=NdacNefd二/bad Zefd=Zdac0o切be于dZfdc=ZdacZefd=Zfdeef//be例3如图，8abc内接于是直径，于切于求证平分平分证明o,ab ocd±ab d,mn oc,ac Nmed,be Nned.Tab是o直径，Zacb=90e.#cd.LabZacd=Zb,Vmn切o于c.\Zmca=Zb,Zmca=Zacd,平分同理平分BP ac Nmed,be Nned.第三篇弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法（）连、则有于点得知二1oc oa,oc±cd Cooc IIad,Noca Zcado而得进而有Zoca=Zoac,Ncad=Noac Zoac=Zbaco由此可知，与重合，即为的直径0a abab o（）连接且作于点立即可得为且2be,ce_Lab eZkabc rtA,Nacb=rtN由射影定理有又公用，得acsup2;=ae*ab Ncad=Ncae,ac Zcda=Zcea,Acea=Acda,有所以，ad=ae,acsup2;=ab*ad第一题重新证明如下首先证明弦切角定理，即有Zacd=Zcbao连接、则有oa ocbe,Zacd+Zaco=90°=1/2Z aco+Z cao+Z aoc=1/22Z aco+Z aoc=Z aco+l/2Z aoc,所以N acd=l/2Z aoc,而同弧上的圆周角等于圆心角的一半，Ncba=l/2Naoc得二Nacd Neba另夕卜，Z acd+Z cad=90°,Z cad=Z cab,所以有得进而为的直径Ncab+Ncba=90°,Nbca=90°,ab o2证明一设圆心为连接o,oc,ob,oZtcb=90-Zocb丁Zboc=180-2Z ocb•；Nboc=2Ntcb定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半丁圆心角等于圆周角的两倍Nboc=2Zcab二定理弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角.*•Ntcb Ncab证明已知是的弦，是的切线，为切点，弧是弦切角所夹的acaba Nbac弧.求证弦切角定理证明分三种情况圆心在的一边上1o Nbacac为直径，切于V acaboa,•*.弧cma=^H ca;为半圆，弦所对的圆周角圆心在的内部./•Ncab=90=ca2o Nbac过作直径交于aado d,若在优弧所对的劣弧上有一点m e那么，连接、ec edea则有、Zced=Z cadZ dea=Z dabZcea=Zcab•••弦切角定理圆心在的外部，3Nbac过作直径交于aadod那么/cda+Z cad=Z cab+Z cad=90Zcda=Zcab•••弦切角定理编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1如图，在rtAabc中，Nc=90,以ab为弦的o与ac相切于点a,Z cba=60°,ab=a求长.be解:连结oa,ob.;在中,rtAabc Nc=90，Zbac=30°，bc=l/2a（rt△中30角所对边等于斜边的一半）例2如图，ad是babe中Nbac的平分线，经过点a的与be切于点d,与ab,ac分别相交于e,f.求证ef〃bc.证明连df.是的平分线ad NbacNbad=NdacZefd=ZbadZ efd=Z dac切于Oo bedZfdc=ZdacZ efd=Z fdcef〃bc例3如图，3abe内接于o,ab是o直径，cd_Lab于d,mn切o于c,求证平分平分ac Nmed,be Nned.证明是直径TabZacb=90;cd±ab/.Nacd=Nb,切于Vmn oc，/.Z mca=N b，，Z mca=Z acd即平分acNmed,同理平分be Nned.第四篇弦切角的逆定理的证明弦切角逆定理证明已知角二角求证是圆的切线cae abc,ae o证明连接并延长交圆于连接ao od,cd,则角@二角@氏二角cae而是直径，因此角度，所以角度-角度-角ad acd=90dac=90adc=90cae所以角二角角度€1@©dac+cae=90故为切线ac第五篇弦切角、切割线、相交弦三条圆这一章已删定理的证明肯特教育欢迎各位朋友批评指正，王老师1820XX60373弦切角、切割线、相交弦三条圆这一章已删定理的证明

一、弦切角定理、弦切角的定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切1角如图

（1）所示，ab为圆的一条弦，be为圆的切线，Nabc即为圆的的弦切角图⑴be、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，等于它所夹的弧所对的2圆心角的度数的一半证明如下a图（）2如图

（2）所示，已知ab为的直径，bd为过圆上b点的切线，求证

（1）Zcbd=（）证明:（）为的直径，为过点的切Zcab,Zcbd=Zceb2Ncbd=Ncob211;ab bdb线•••atabdZ abd=90o第页共页11肯特教育欢迎各位朋友批评指正，王老师1820XX60373A Zabc+Zcbd=90°•「为直径ab，Zacb=90°贝」I Zabc+Zcab=90°Zcbd=Zcab和同弧所对的圆周角，NZcab Ncebcab=Nceb贝lj/cbd=/ceb（）和是同弧所对的圆周角和圆心角二•2;Zcab/cob Zcab=Zcob21又「Zcbd=ZcabZcab=Zcob21

二、切割线定理及推论、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点1的两条线段长的比例中项证明如下图（）3如图

（3）所示，直线pa与圆相切于a点，直线pc与圆相交于b、c两点，求证pa2=pb-pc证明连结、ba ca为圆的切线，（弦切角定理）Tpa Npab=Npca（公共角）V Zpab=Zpca,Zbpa=Zape/.Apab^Apca papc=pbPapa2=pb-pc。