泛函分析第七章 习题解答1-25

第七章习题解答设为一度量空间，令I.X,d问的闭包是否等于？解不一定例如离散空间=｛｝，而因此当多于两点时，的闭包X,d=Xo X不等于

2...是区间上无限次可微函数的全体，定义8]/⑺…⑺⑺或/送=£然.r=0乙证明按九g成度量空间证明若则即1=0,=0,f=g812df,g=^—rmx£29/⑺⑺一厂⑺⑺_81g I0-/“]⑺⑺⑺⑺心⑺-g⑺⑺/—g名1V-max-々1+/⑺⑺一/八⑺+V—max1+心”-婢2「ab r=04J、ri+L«-gQ+l+/0-gQ|=df,g+d g,h因此0°[a,b]按d九g成度量空间设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含而且B XB,证明令是开集设，则存在，使设则易验证，这就证明了是开集显然若则对每一个必有使，因此因是闭集，必有，所以B.设为空间上的距离，证明4d x,y X是上的距离X证明⑴若则，必有x=y因而在上是单增函数，于是2⑶dx,z dy=-------------------------F-----------------------l+dx.z+dy,z1+dx,z+dy,z/dx,z dy,z口/、T/、-------------+-------------=dx,z+d y,z ol+dx,z l+dy,z明点列｛｝按习题中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在上一致收敛于的

5.

1.2[a,b]f各阶导数证明若｛｝按习题中距离收敛与，即2白1kr o-/r o|V-max—-----------------------------0〃-------ocn/—1+|力⑺⑴⑺“因此对每个,这样r,——X，即在［］上一致收敛于0a,b反之，若的各阶导数在［］上一致收敛于则任意，存在，使t a,b f t,81y

1.^£„+r（）+V-max々幺才°2为2力⑺⑺-/⑺⑺1+2a-l-b r=0J；存在，使当时,,取},当时,max N=max{nN即九，一一〃一

80.设，证明度量空间中的集当时为中的闭集，而集当时,6{f|t B ft=0}A={f|t B|f t|a a0为开集的充要条件是为闭集B证明记当时设，按中度量收敛于即在［］上一致收敛于设，则，E=|t Bft=0}o f,a,b ft所以这就证明了为闭集f E,E充分性当是闭集时，设因在上连续而是有界闭集，必有，使BfAo fB B设我们证明必有设，则若，必有，于是，所以，这样就证明了是开集A必要性设是开集，要证明是闭集，只要证明对任意若，必有A B倘若，则定义于是对任意，因此由于是开集，必有，当［］且时，定义,A Ca,b on=l,2则因此当时，但是，此与的必要条件对任意，有矛盾因此必有及是度量空间中的两个集，如果，证明必有不相交开集分别包含及

1.

1.E FOG EF证明设—令—净G-*}则且，事实上，若，则有，所以存在E中的点x使，F中点y使，于是，此与矛盾［］表示［］上实有界函数全体，对［］中任意两元素［］规定距离为证

8..B a,b a,b B a,b f,..B a,b,明［］不是可分空间B a,b证明对任意［］定义a,b,则［］且若，倘若］是不可分的，则有可数稠密子集，对任意［］必有某，即由B a,b,B®b a,b,o于［］上的点的全体是不可数集这样必有某，，使，，于a,b是此与矛盾，因此［］不是可分空间Ba,b设是可分距离空间，为的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集

9.X XO,使得，证明必可从中选出可数个集组成的一个开覆盖X证明若，必有，使，因是开集，必有某自然数使n,设是的可数稠密子集，于是在中必有某，且事实上，若，则所以X oo这样我们就证明了对任意，存在使且存在任取覆盖的记为是的k,n O,X可数覆盖为距离空间，为中子集，令证明是上连续函数

10.X A X X证明若对任意，存在，使取则当时，因此由于与对称性，还可得于是这就证明了是上连续函数x X为距离空间，是中不相交的闭集，证明存在开集使得1L.X X证明若，则由于，为闭集，必有，使，令，类似，其中，显然是开集，且倘若，则必有，使设不妨设，则因此，此与矛盾这就证明了

1.・.X,Y,Z为三个度量空间,f是X到Y中的连续映射,g是Y到Z中的连续映射，证明复合映射是到中的连续映射X Z证明设是中开集，因是到中的连续映射，所以是中开集又是到G Zg YZ Yf X中的连续映射，故是中的开集这样是中的开集，这就证明了是到的连续映Y X X gf XZ射是度量空间，证明是连续映射的充要条件是对每个实数集合和集合都是闭集证

1.

1.X fc,明设是上连续的实函数，又对每一实数是开集，于是是开集这样=是闭集f Xc,G=c,同理是闭集反之，若对每个实数和都是闭集，则和都是开集c,设是直线上的开集，则或，其中是的构成区间不妨设于是是开集因此是连续的G Gf实函数证明柯西点列是有界点列

14.证明设｛｝是中的柯西点列对存在使当时，，令则对任意有因此｛｝是X10,N,n,m有界点列证明第一节中空间以及离散的度量空间都是完备的度量空间

15.S,B A,证明是完备的度量空间1S设｛｝是中的柯西点列，对每一个固定的由于，因此对任意存在，当时，对此，存在5i,n,m时，，因此，从而〈这样对固定的是柯西点列设令，故有，且对任意给定，存在，使i,存在使时，于是当时，+〈所以｛%.｝按的距离收敛于S X是完备的度量空间2B A设是中的柯西点列，任意,存在使当时这样对任意，因此对固定的｛｝B AN,n,m t,是柯西点列设，由于时，令，得，这样，于是n,m故且〉时，这就证明了按中距离收敛于x A,n NB A X离散的度量空间是完备的度量空间3X,d设是中柯西点列，则对存在当是特别对一切，于是是因此，即X0,N,n,m nN,nN X,d是完备的度量空间.•证.与］的一个子空间等距同构16C0,1证明若，定义，Tx/=或线性，,£上」，，=1,2・・・i i+l I若，，贝!因此至！|至］的子空间的一个同构映射，即至!］的一个子空间等距I TIJ0,1I0,1同构.设是维欧几里得空间的有界闭集，是到自身中的映射，并且适合下列条件对17F nA F任何，有.证明映射在中存在唯一的不动点A F证明定义上的函数由于因此是上的连续映射，因是有界F fx=d Ax,x fF Fo闭集，必有，使我们先证明，若，则记，则，于是此与/%是的最小值矛盾故即f dAr0,%=0=x0若是的另一个不动点，则，矛盾A设为完备度量空间，是到中的映射，记

18.X A X X若，则映射有唯一不动点A证明因，则必有N,使这样对任意x,X,若x，则dANx,A/lxa d{x.X,l N这样由压缩映射原理有不动点，即=o由于=A=A,A也是的不动点的不动点是唯一的，因此，即是的不动点=A A若x是A的任意一个不动点，即Ax，=x o于是x=x=•••=Ax=x\这样x，也是的不动点，由于的不动点是唯一的，因此即的不动点也是唯一的=x\A设为从完备度量空间到中映射，若在开球内适合

19.AX Xd Ax,Ax例x,x,

081.又在闭球上连续，并且证明:在中有不动点A A证明设=,…则任给存在使，这样若且，有因此是柯西列设，因因此这样因为在上连续，0,N,A即是在中的不动点A的不动点不一定是唯一的例如是离散的度量空间是中的恒等映射在开球内只有AX AX一点，自然满足条件而,也满足但中每一点皆为的不动点XA为一组实数，适合条件,其中当时为“否则为证明:代数方程..

20..j=k0%内+工+a\nXn622+=1a x+a x+-+a x=b2x x2222lJ n2a^+a x+-+a x=bn tl22nn nn对任意一组固定的，，，必有唯一的解，，O证明记定义至I」内的映射T:TX=・・AX+X+b设X则dTX,TX=%、»

4.f22«ZZ%-U f22n2「斗2dX,Xji,j=l由于于是有唯一不动点，即，因此有唯一解vl,T设表示［］上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算在中定

21.义范数=，证明是空间Banach［］［］证明V a,b显然是线性空间下证V a.b是赋范线性空间若,显然0o若则即且由可知在上为常值函数，于是若，

1.=0,=0,=0,=0o=0b b|网|=|Axa|+V/lx=|九卜⑷|+冈Vx=2xh bb||x+引=|x+y〃|+Vx+y\xa\+\y⑷+丫x+丫y其中的理由如下对任意分划因此再证是完备的设为中柯西列，对任意，存在,当时，O于是，O而对任意，从而|X〃⑺一/\x a-x⑷+e2cn m［］这就证明了{x〃（}是a.b上一致收敛的函数列设{%}一致收敛于x o由于是上右连续的函数，于是对任意，因为在上一致收敛于因此即亦在上右连续对任意，存在，当时，=对上的任一分划，有令，Z-MG-七7*一x忆|《£*i=i因此，从而由（*）式及分点的任意性知，从而即按中范数收敛于这样我们就证明了是完备的赋范线性空间，即空间

22.设是一列空间，是一列元素，其中，并且这种元素列的全体记成，类似通常数列的加法和数乘，在中引入线X性运算若令证明当时,是空间X证明显然是线性空间先证是赋范线性空间X X若无=（否,々，…），显然

1.£X x0o若，则即对任意，于是，从而

2.若,

3.若，则再证是完备的设是中柯西列，其中X X对任意存在，使当时，即于是对每一个固定的〃,{%,}是中的柯西列设）一%尸8）.X”令，由于，因此对任意，，令得P00再令Kf8得ZM-£Pn=\因此从而，且由知七按的范数收敛于由以上证明可知是空间证毕X xX设是赋范线性空间,为两个的笛卡儿乘积空间，对每个定义

23.X X*X X则成为赋范线性空间证明到的映射（）是连续映射X*XX*XXx,y-x+y证明设（乙,K）—-8）,则Jk，一与『+上一打『—于是所以，这就证明了（羽是连续映射x+y设是实（复）数域，为赋范线性空间，对每个，

24.定义『，=+|k证明为到中的连续映射证明设%,%一%,%,同第题一样可证23由于收敛，必有，使则假〃当一名而归忱当一a/o||十||%玉一名%归一耳+|闻1a-f0〃-oo・zi因此映射％是连续的x-ax为一切收敛数列所成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同在中令证明是可分

25.的空间证明由第七章例知是空间由定义易知是中的线性子空间，且范数定义是一致的因§41此要证是空间，由定理只要证是中的闭子空间即可设§41,对于任意存在使时，有特别地即sup|§N—司〈刍，由于小£C,因此存在K,对任意i,jK,由—旷|刍.于是/33于是是柯西列，即下面证明是可分的设则且是可数的若对任意设对于任给的存在使当时，必有取有理数使取有理数使令则且故是的可数稠密子集这就证明了是可分的空间证毕。