中职数学：数列的基本知识课件

数列的基本知识数列是数学中的一个重要概念，它表示一系列按一定规律排列的数字学习数列的基本知识是理解和解决许多数学问题的基础，例如求和、求极限、求通项公式等数列的定义数列是由一组按照一定顺序排列的数字构成的序列数列的项可以用一个通项公式来表示每个数字称为数列的项，而数字的排列顺序称为数列的序号通项公式可以用来计算数列中的任何一项数列的表示方法列表法通项公式法递推公式法用列举的形式列出数列的所有项，例如用一个关于正整数n的公式来表示数列用前一项或前几项来表示后一项，例如1，3，5，7，9…的第n项，例如an=2n-

1.an=an-1+2，其中a1=

1.数列的前项和n数列的前n项和是指数列中前n项的和，用Sn表示计算数列的前n项和，可以使用公式法、累加法、分组法等多种方法方法公式适用范围公式法Sn=a1+a2+...+an适用于任何数列累加法Sn=a1+a1+d+适用于等差数列...+a1+n-1d分组法Sn=a1+an+a2+适用于等差数列an-1+...等差数列的定义

11.公差

22.通项公式等差数列中相邻两项的差值恒等差数列的通项公式是an=a1定，称为公差+n-1d，其中a1是首项，d是公差，n是项数

33.性质等差数列的性质包括等差中项、任意两项的和等于它们中间两项的和，等等等差数列的通项公式等差数列的通项公式是an=a1+n-1d，其中a1是首项，d是公差，n是项数这个公式可以用来计算等差数列中的任意一项等差数列的前项和n等差数列前n项和公式，可以快速求出前n项的总和，无需逐项相加公式为Sn=n/2*a1+an或Sn=n/2*[2a1+n-1d]n a1项数首项an d末项公差等比数列的定义公比通项公式举例等比数列是指从第二项起，每一项与它前一等比数列的通项公式可以表示为例如，数列2,4,8,16,

32...就是一个等比数项的比值都等于同一个常数这个常数叫做an=a1*q^n-1列，公比为2公比，用字母q表示等比数列的通项公式等比数列的通项公式是描述等比数列中任意一项与首项之间关系的公式公式为an=a1*q^n-1，其中a1是首项，q是公比，n是项数通项公式可以用来求等比数列的任意一项，也可以用来判断一个数列是否为等比数列等比数列的前项和n等比数列的前n项和是指等比数列中前n项的总和求等比数列前n项和的公式为Sn=a11-q^n/1-q，其中a1为首项，q为公比，n为项数该公式可以用于计算任何等比数列的前n项和，例如，计算前5项的和，只需将n等于5即可1q n公比项数a1首项常数正整数等差数列的性质等差中项任何一个等差数列中，任意两项的和等于它们中间一项的2倍等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和等于首项与末项的和乘以项数的一半等差数列的图像等差数列的图像是一条直线，直线的斜率为公差等差数列的应用时间和日期财务管理工程建设数据分析计算时间间隔，例如每天的工计算贷款利息、投资收益等计算建筑材料数量，估算工程分析数据趋势，预测未来发展作时间，每月的工作日等进度等等等比数列的性质

11.公比的性质

22.项的性质等比数列中，任何一项与其前一项的比值都等于公比等比数列中，任何一项都等于首项与公比的n-1次幂的乘积

33.和的性质

44.其他性质等比数列的前n项和等于首项乘以1-公比的n次幂除以1-公等比数列中，相邻两项的乘积等于中间两项的乘积比等比数列的应用金融领域物理学等比数列可用于计算复利，预测投资收益，以及分析贷款的还款方等比数列可以用来描述物体在恒定加速度下的运动规律，例如自由案落体运动计算机科学自然界等比数列应用于算法分析，例如递归算法的时间复杂度分析等比数列可以用来模拟自然界中的一些现象，例如放射性衰变函数与数列的关系函数1自变量的取值为实数数列2自变量的取值为自然数关系3数列可以看成是定义域为自然数的函数数列是函数的一种特殊形式，可以将数列看成是定义域为自然数的函数例如，数列{an}可以看成是函数fn=an，其中n为自然数数列的极限概念数列极限的定义极限的概念数列的极限是指当项数趋于无穷大时，数列的值趋近于一个固定极限的概念是数学分析的重要基础，它描述了函数或数列在自变值如果这个固定值存在，则称数列收敛于这个值，否则称数列量趋于某个特定值或无穷大时，函数值或数列的值趋近于某个固发散定值的情况数列极限的性质唯一性有界性保号性如果数列的极限存在，则极限值唯一如果数列的极限存在，则该数列有界如果数列的极限大于零，则从某项开始，数列的所有项都大于零数列极限的计算直接计算法1通过直接计算数列的通项公式，并分析当n趋于无穷时，通项的值的变化趋势夹逼定理2如果数列{an}被两个收敛于同一极限的数列{bn}和{cn}夹住，则数列{an}也收敛于该极限单调有界准则3如果数列{an}单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛无穷等差数列和无穷等差数列的和是指一个无穷等差数列的所有项之和等差数列的公差为常数，所以无穷等差数列的和可以是有限值，也可以是无穷大公差和大于0无穷大小于0有限值无穷等比数列和当等比数列的项数趋于无穷大时，其前n项和的极限称为无穷等比数列的和如果公比q的绝对值小于1，则无穷等比数列的和存在，且等于首项除以1减去公比1∞公比项数公比q的绝对值小于1项数趋于无穷大S∞a1/1-q无穷和公式前n项和的极限首项除以1减去公比数列的收敛性收敛数列数列的极限存在，则该数列收敛，极限值即为数列的收敛值极限值收敛数列趋于某个特定值，该值即为数列的极限值趋近性数列的项随着n的增大，越来越接近某个特定值数列的发散性

11.无限大

22.振荡数列的项无限增大，趋向于正数列的项在某个有限值附近不无穷大，或无限减小，趋向于断振荡，不收敛于任何特定的负无穷大值

33.不存在极限数列的项无规律地变化，无法确定是否收敛或发散比较判别法比较判别法步骤比较判别法是判断一个级数是否收敛的常用方法•找到一个已知收敛的级数•比较两个级数的每一项如果另一个已知收敛的级数的每一项都大于或等于待判定的级数的每一项，则该级数也收敛•如果已知收敛级数的每一项都大于或等于待判定的级数的每一项，则该级数也收敛根值判别法根值判别法步骤应用根值判别法是一种判断级数收敛性的方法计算级数项的绝对值的n次根的极限如果根值判别法适用于判断包含n次方的级数的该方法基于级数项的绝对值的n次根的极限极限小于1，则级数收敛如果极限大于1收敛性它提供了一种简单的判断方法，无，则级数发散如果极限等于1，则该方法需进行复杂的计算无法确定收敛性比值判别法基本原理条件比值判别法用于判断一个无穷级当级数满足一定条件时，比值判数的收敛性，通过计算相邻两项别法可以用来判断其收敛性，包的比值来判断级数是否收敛括正项级数和极限存在结论如果极限值小于1，级数收敛；如果极限值大于1，级数发散；如果极限值等于1，则比值判别法失效积分判别法原理应用积分判别法是一种判断正项级数收敛性的方法，它利用积分来估积分判别法适用于判断那些级数项可以表示为一个连续函数的级计级数项之和的大小数如果级数项可以表示为一个连续函数，则可以用积分来估计级数例如，对于级数1/n^2，我们可以用积分来估计其和的大小，从而项的和，从而判断级数是否收敛判断该级数是否收敛级数的概念定义收敛与发散无穷级数是指将一个无穷数列的级数可能收敛到一个特定的值，所有项依次相加，得到的表达式也可能发散到无穷大应用级数在微积分、物理学、工程学等领域有着广泛的应用几何级数定义通项公式前n项和公式几何级数是等比数列的各项之和几何级数的通项公式为an=a1*q^n-1几何级数的前n项和公式为Sn=a1*1-，其中a1是首项，q是公比q^n/1-q，其中q≠1调和级数

11.定义

22.特征调和级数是指所有自然数的倒调和级数是发散的，也就是说数的无限项级数，即1+1/2+它的部分和会随着项数的增加1/3+1/4+...而无限增大

33.应用

44.证明调和级数在许多领域都有应用调和级数发散性的证明可以通，例如物理学、工程学和计算过比较判别法或积分判别法机科学幂级数定义收敛半径函数的幂级数展开幂级数是指形如幂级数的收敛半径是实数R，使得幂级数在许多函数可以表示为幂级数的形式x∈c-R,c+R内收敛，而在x∉c-R,c∑_n=0^∞a_nx-c^n的无穷级数例如，e^x的幂级数展开式是∑_n=0^∞+R内发散x^n/n!其中a_n是常数，x是变量，c是常数收敛性和发散性收敛性发散性数列收敛意味着其项趋近于一个特定数列发散意味着其项不趋近于任何特值定值。