18-19 第1章 §4 4

单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性

4.3单位圆的对称性与诱导公式

4.4学习目标

1.了解正弦函数余弦函数的基本性质2会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式.难点

3.掌握诱导公式及其应用.重点［自主预习探新知］

1.正弦函数余弦函数的基本性质从单位圆看出正弦函数y=5抽％有以下性质1定义域是此2最大值是1,最小值是一1,值域是［—1,1］；3它是周期函数，其周期是2冗；4在2叼上的单调性为在上是单调递增；在上是单调递减；在上是单调递增.同样，从单位圆也可看出余弦函数y=cos x的性质.思考1:正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？提示设任意角x的终边与单位圆交于点Pcos x,sin x,当自变量x变化时,点P的横坐标是cos x,|cos x|Wl,纵坐标是sin x,|sin x|Wl,所以正弦函数、余弦函数的最大值为1,最小值为一

1.

2.诱导公式的推导1诱导公式一a,n土a的推导

①在直角坐标系中a与一角的终边关于，轴对称;a与互+a的终边关于原点对称;与的终边关于轴对称.a—a y

②公式；sin—a=—sin_a,cos—a=cos_a；sin兀+a=—sin_a,cos兀+a=—cos_a sin兀—a=sin_a,cos n—a=—cos_a.2诱导公式z的推导

①一a的终边与a的终边关于直线y=x对称.

②公式sin=cos_a,cos=sin_a用一a代替al并用前面公式sin=cos a,cos=—sin a思考2设Q为任意角，则2k n+a,n+a—a2k n—a,n—a99的终边与a的终边有怎样的对应关终边之间的对称关系系？提示它们的对应关系如表相关角2E+a与a终边相同兀+a与a关于原点对称—a与a关于％轴对称2兀一a与a关于X轴对称兀一a与a关于y轴对称［基础自测］

1.判断正确的打“J”，错误的打“X”ly=sinx在［一,冗］上是增加的.2y=cosx在［0,叫上是递减的.3sin27i—«=sin a.4诱导公式中的角a只能是锐角.［答案］l x2V3x4X

2.当a£R时，下列各式恒成立的是A.sin=—cos aB.sin n—a=—sin aC.cos210°+a=cos30°+a D.cos—a—B=cosa+8D[由诱导公式知D正确.]

3.cos的值是单调减区间为【导学号64012020】［解析］在单位圆中，当x由一II到时,sin x由减小到一1,再由一1增大到.

4.y=si.x,x£的单调增区间为所以它的单调增区间为，单调减区间为.71—兀，-2_［合作探究•攻重难］类型I1|正弦、余弦函数的性质求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量X的值.ly=sin x,x£；2y=cos x,x£.［解］1由图

①可知，y=sin x在上是增加的，在上是减少的.且当x=时，y=sinx取最大值1,当x=一时，y=sin x取最小值一.2由图

②可知,y=cos x在［―n,0］上是增加的，在上是减少的.且当x=-n时取最小值一1,当x=0时，取最大值

1.［规律方法］利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步在单位圆中画出角X的取值范围；；第二步作出角的终边与单位圆的交点Pcos x,sin x第三步研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律；，第四步得出结论.［跟踪训练］

1.求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量X的值.；［］ly=-sin x,x£2y=cos x,xe—n,n.［解］ly=-sin x,x£的单调递减区间为，单调递增区间为.当x=时，ymin=1;当x=n时，ymax=O,故函数y=—sin x的值域为*2y=cos x,xe［―n,n］的单调递减区间为［0,n］,单调递增区间为［―n,0］.当x=0时,ymax=1;当x=n或n时,ymin=—1,故函数y=cos x,x£「一n,n］的值域为I类型2|给角求值求下列三角函数式的值:；lsin495°-cos-675°2sin+co..【导学号64012021】［思路探究］这类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.若是负角则应利用相应诱导公式先化为正角.［角为lsin4950-cos-675°=sin135°+360°-cos675°=sin1350-cos315°=sinl80°-45°-cos360°—45°=sin45°-cos45°_旦也」―2八2°西工29_.JTT0715兀2sin3J+cos6——sin3+cos4兀+$

1.」_4叫5兀.3+/COS Lsin12兀十3J十cos%——sin

71.上力兀os

6.71——sinl J—cos—sin3-Q也—也_八22_0,［规律方法］利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为:可简记为负化正，大化小，化成锐角再求值.［跟踪训练］⑴25si春cos兀

2.求下列三角函数值.2兀4兀2571［解］lsin-^--cos4瓦+制=.7171•cos—sin^-cos^2sin.34,22「/—兀「八.兀［.

2.7i y3兀=sml7i—=sin32siri21=siru2〃十兀一己-〃兀十兀一可~I类型3|三角函数式的化简化简下列各式:tan27i—asin—27i—acos67i—a1cosct—sin5a兀兀【导学号64012022】［思路探究］直接利用诱导公式进行化简.sin27i—a cos27i—a sin—促式—a「解］1原式=—asin7c—aCOS TI-sin6t-sin acos a sin a=—=—tan a.cos a—cos asin a cos a41+2sin360-7r cos360+702原式=180°+70°+cos720°+70°71一2sin700cos70|cos70一sin70|—sin700+cos70°cos70°—sin70°sin70°—cos70°—1cos70°-Sin70°［规律方法］三角函数的化简，尽量化为2kn±a的形式，否则:1形如k兀土a时，应对k进行奇数和偶数两种情形讨论;2形如兀土a时,应分k=3n,k=3n+l,k=3n+2n£Z三种情形讨论.跟踪训练一\9+a+c°s3k[解]cos7i—aI3771=cos E+4+a+cos|E-Q—

3.化简cos+cos,其中k£Z.

①当k=2n+l,nez时,兀71—a=cos兀+]+aJ+cos]兀一三71—a=COS—COS3+«〃原式=cos2+1兀+§+[+cos2及+1兀一=—2cos2+aj;

②当k=2n,n£Z时,—a71=cos[^+«j+cos-«71=cos2+a J+cosfj+原式=27+鼻+a+27T—三COS HC COSH=2cosl^+al综上可知，原式=I类型4|给值求值问题［探究问题］

1.有条件的三角函数求值问题的基本思路是什么？提示对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值.

2.当已知条件给出的是复合角时应如何解决问题？提示当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系.⑴已知且是第四象限角，贝的值是sinn+a=,a Icosa—2n A.—B.C.D.2已知cos=,求cos—sin2的值.［思路探究］1直接利用诱导公式求解，注意角a所在的象限.2利用复合角之间的关系利用诱导公式求解.［解析］1因为sinn+=，且sinn+a=—sina,Q所以cosa-2=a=\l-TC COS所以sina=—,又因为a是第四象限角,［答案］B2因为cos管+=COS71—7_V322+审-所以cos^+a7—sin2a13-3母题探究

1.变条件、变结论将例⑵题中的“一”改为改为“一”，其他不变，应如何解答？［解］由题意知cos=,求cos+sin2的值.因为cos=cos=—cos=一,sin2=1-cos2=1-=,所以，cos+sin2=—+=.

2.变结论例2题中的条件不变，求cos-sin2的值.【导学号64012023】_V1±2=一

3.［规律方法］解决条件求值问题的策略1解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.⑵可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.［当堂达标•固双基］

1.tan300°+sin450°的值是A.—1+B.1+C.-1—D.1—D［原式=tan360°—60°+sin360°+90°=tan-60°+sin90=一tan60+1=一审+

1.］

2.已知sin=m,则cos的值等于A.m B.—mC.D.=^/l—m

2.］

3.已知600°角的终边上有一点Pa,-3,则a的值为.［解析］tan600°=tan360°+240°=tan180°+60°=tan60°=一，所以a=一.［答案］f

4.已知cos n+=—，则sin=.Q［解析］cosn+a=—cosa=—,••cosa——

5.计算:cos•sin.【导学号64012024】［解］原式=cos3兀+g|.sin4兀兀。