2018有关中考压轴题61

〔贵州安顺此题总分值分〕

1.202112:如图，抛物线与轴交点点与直线相交于点点直线与轴交于点A.B,B.C,E.门〕写出直线BC的解析式.⑵求AABC的面积.13）假设点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A,B重合〕，同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动.设运动时间为秒，请写出AABC的面积S与t的函数关系式,并求出点M运动多少时间时，AMNB的面积最大，最大面积是多少？【分析】由抛物线可以求出A.B坐标，从而求出直线BC的解析式和C点坐标易求aABC的面积利用MB,BN用t表示，求出三角形MBN的面积表达式，是个二次函数，根据二次函数的最值，求出AMNB的最大值【答案】

（1）由抛物线可以求出A（-2,0）,B（2,0〕，直线BC:⑵解得C-1,.那么ABxyc331232S=-4-tx2t1--------X—=H

555、••c—3/943122所以，当t二2时，S有最大值【涉及知识点】二次函数，动态变化，一次函数，三角形的面积表示,【点评】此题综合考察了，一次函数，二次函数，一元二次方程组，三角形的面积，二次函数的最值，同时，以运动变化的数学思想考察了学生的综合分析和数形结合的能力

2.（2021贵州毕节，25,12分〕某同学用两个完全一样且有一个角为60°的直角三角尺重叠在一起〔如图

①），固定4ABC不动，将ADEF沿12）过点M作MD_L轴于点D,设M点的坐标为.那么所以，可以求出s关于m的函数解析式，利用二次函数的最大值的求法可求出.〔3〕利用平行四边形的判定，二次函数及正比例函数的性质写出相应的点Q的坐标.【答案】解〔1〕设抛物线的解析式为，那么有f_1r16-4〃+c=0,a=3,一角毕得c=4,b=

1.4a+2b+c=

0.c=-

4.•抛物线的解析式为.・・12）过点M作MD_L轴于点D,设M点的坐标为.么MP AD=m+4,MD=—n,n=—m2+m—

4.2F40）.[3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4,4〕，〔4,-4〕，【涉及知识点】二次函数梯形二次函数的最大值【点评】此题以二次函数为载体，突出对数学核心概念、思想方法的考察.函数，是中学数学的核心概念，是从数量角度反映变化规律的数学模型，其变化规律突出表现在变量之间的对应关系上，并可以从数或形两个角度加以描述，其中图象法的应用，是将数量关系直观化、形象化，为数形结合地研究问题提供了重要的方法.

10、〔本小题总分值10分〕如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A.B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段OB的中点.

（1）求直线AM的解析式.12）试在直线AM上找一点P,使得，请直接点P的坐标.[3）假设点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？假设存在，请直接写出点H的坐标；假设不存在，请说明理由.【分析】[1）由直线的解析式可以求出与x轴、y轴的交点坐标，进而求出线段0B的长，由中点定义，可求0M的值，结合坐标系，知道点M的坐标，进而可求出直线AM的解析式y=x+6；〔2〕如下列图，满足条件的点P有两个，当时，由，，所以，过作y轴的垂线，那么垂足与点B重合，即△AMO2ABM,可知=A0=6,由在直线y=x+6,得坐标为16,12）；当时，由，作_Ly轴于E,那么，，得，所以点的横坐标为一18,由在直线y=x+6,得的坐标为（-18,—12）.［3）由题意可知，在构成后的等腰梯形中，当AM为一条底边时，BM为一腰，此时如图1所示，过B作BH〃AM,交x轴于H,可知四边形AMBH为等腰梯形，此时H的坐标为（-12,0）；当BM为一条底边时，AM为一腰，此时如图2所示，过A作AH〃y轴，且AH=18,此时H的坐标为（一6,18］；当AB为一条底边时一，BM为一腰，过M作MD〃AB,交x轴于D,在这条直线上找到点H,使BM=AH,M为OB的中点，D为AO中点，作HE_Lx轴于E,・・・・・・由△HDEs/\MDO知，，设DE=x,HE=2x,在直角AAEH中，有,解得,［舍），・・・HE=,0E=,.H的坐标为1一,・・）;因此，满足条件的点H的坐标为〔一12,0）和〔一6,18）和1—,）.【答案】

（1）对于y=2x+12,当x=0时，y=12；当y=0时，x=一6,所以点A的坐标为［一6,0）,点B的坐标为［0,12）,所以OB=12,因为M为OB中点，所以0M=6,所以点M的坐标为10,6）,设直线AM的解析式为y=kx+b,那么，解得，所以AM的解析式为y=x+

6.12）P的坐标为［6,12）或（-18,-12）.［3）满足条件的点H的坐标为（-12,0〕和〔一6,18）和［一,）.【涉及知识点】一次函数，图形的面积计算，平面直角坐标系，等腰梯形【点评】利用所给出的函数解析式，在平面直角坐标系中求出点的坐标，进而转化为求线段的长，再利用图形与坐标的对应关系，把某些点的坐标求出，接着由待定系数法把直线的解析式求出来，并且借助于所求的解析式，再灵活运用三角形的面积计算方法，可求出相应点的坐标，也就是我们所常说的“求解析式，用解析式〃，对于第三个问来说，如果没有借助于线段在构造后图形的名称的不同去思考，可能存在漏掉一个点的情况.线段AB向右平移，当D移至AB中点时〔如图

②〕［1）、求证ZXACD之△DFB.

（2）、猜测四边形CDBF的形状，并说明理由.【分析】利用平移的性质得到DF=AC,ZFDB=ZA,再由D是AB中点得DB二AD.这样可以利用SAS证明△ACDZ^DFB.利用平移的性质可以得CF二AD二DB,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF=CD=DB,从而得CF二CD二DB二BF,所以四边形CDBF是菱形.【答案】［1）TD是AB中点，「.AD二DB,又根据平移性质得AC二DF,Z A-ZFDB,.\AACD^ADFB（SAS）.（2〕TD是AB中点，ZACB=90°,二AD・二DB二CD,同理，BF二DB,，AD=DB二CD二BF,二.四边形CDBF是菱形.【涉及知识点】平移、直角三角形的性质、菱形的判定方法.【点评】此题涉及图形变换与三角形、四边形等知识的综合应用，对学生解题能力的考察比拟全面.

3、12021贵阳，25,12分〕如图12,在直角坐标系中，点的坐标为［1,0）,将线段绕原点沿逆时针方向旋转45,再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点沿逆时针方向旋转45,再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，11）写出点寐的坐标；［4分）〔2〕求八；/明）的周长；（4分）13）我们规定把点（0,1,2,3-）的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点的“绝对坐标”.根据图中点的分布规律，请你猜测点的“绝对坐标〃，并写出来【分析】利用旋转的性质.【答案】⑴M51—4,-4）；⑵由规律可知，，，，•的周长是.・・

①［3）解法一由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标〃的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标〃可分三类情况

②令旋转次数为，当点M在x轴上时MO f）,M4［），M8（）,M12（），…，即点的“绝对坐标〃为［）当点M在y轴上时M2,M6,M10,M14，即点的“绝对坐标〃为当点M在各象限的分角线上时Ml M3,M5,M7，即的“绝对坐标〃为解法二由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中,点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标〃的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标〃可分三种情况

①当时〔其中二0,1,2,3,…），点在轴上，那么〔）；

②当时〔其中二1,2,3,…），点在轴上，点（）；

③当二1,2,3,…，时，点在各象限的分角线上，那么点〔）【涉及知识点】旋转、坐标【点评】旋转相关问题，通常都通过旋转的性质来加以解决

25.（本题满分分）*I VL1上♦如图［2在平面电角坐标系中，已知点A坐标为（2,4）［线X/2与工轴相交于点〃，连结OA,抛物线y=从点（）沿八方何平移，与着线交于点P.顶点M到A点时停止移动.N=2

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2分）

（2）设抛物线顶点M的横坐标为，附・

①用加的代数式表示点P的坐标；0分,

②当m为何值时•线段PB最短;（2分）

（3）当线段P4最短时，相应的抛物线上是否存在点0,便△QMA的面积与△的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由•（6分）【分析】

（1）直接用代入法可求出直线的函数解析式;

（2）二次函数图像的平移、顶点坐标、最值等知识，求解P点的坐标，和PB的最短距离.

（3）根据两三角形的面积相等和三角形的面积公式，并结合函数图像的特点，列出相等关系的式子，求解出符合条件的结果.【答案】

（1）由图示可知，直线过（0,0）、（2,4）两点，所以0A所在直线的函数解析式为y=2x.⑵

①由抛物线的平移可设，抛物线顶点M的横坐标为m时，抛物线的解析式为y=X—m2+2m,那么P点的纵坐标为y=2—m2+2m=m2—2m+

4.即P2,m2—2m+

4.

②m2—2m+4=m—12+3,那么当m=l时，m2—2m+4的值最小，故线段PB最短，最短为

3.⑶当线段PB最短时，P2,3,Ml,

2.那么此时抛物线的解析式为y=x—12+

2.设Q点的横坐标为k,那么纵坐标为k2—2k+

3.又因为S△QMA=SAPMA=X4-3X2-1=,所以[4-k2-2k+3]2-1=,解得kl=O,k2=

2.Q0,3或Q2,3与P点重合，舍去.故在抛物线上存在一点Q0,3,使SAQMA=SA PMA.【涉及知识点】求二次函数、一次函数的解析式，二次函数图像的平移、顶点坐标、最值，三角形的面积等知识.【点评】此题属于数形结合题，主要考察学生的观察图形能力和正确解题能力，考察知识点较多，难度系数很大.

5、〔2021贵州铜仁，25,14分如下图，矩形OABC位于平面直角坐标系中，AB=2,OA=3,点P是0A上的任意一点，PB平分NAPD,PE平分N0PF,且PD、PF重合.1设OP=x,OE=y,求y关于x的函数解析式，并求x为何值时，y的最大值；2当PD_L0A时，求经过E、P、B三点的抛物线的解析式；【分析】【答案】解［1］由PB平分NAPD,PE平分NOPF,且PD.PF重合，那么NBPE=

90.N0PE+NAPB=90°.又NAPB+NABP=90°,1NOPE=NPBA.・・・ARtAPOE^RtABPA.变=餐.即“二-..y=_lx3—x=—}2+％

063.・・・・・OE APy3-x222且当x=时，y有最大值.⑵由，4PAB.APOE均为等腰三角形，可得Pl,0,E0,1,B3,

2.设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+C,那么:x2—x+

1.［3由12知NEPB=90°,即点M与点B重合时满足条件.直线PB为y=x—1,与y轴交于点0,-

1.将PB向上平移2个单位那么过点E0,1,,•该直线为y=x+L・由得AM4,

5.故该抛物线上存在两点M⑶2,4,5满足条件.

6、［

2021.遵义〕如图，抛物线y=x2+bx+c a/0的顶点坐标为Q2,一1,且与轴交于点C0,3〕，与轴交于A、B两点点A在点B的右侧，点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动［点P与A不重合，过点P作PD〃轴，交AC于点D.⑴求该抛物线的函数关系式；⑵当4ADP是直角三角形时，求点P的坐标；⑶在问题⑵的结论下，假设点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A.P、E、F为顶点的平行四边形？假设存在，求点F的坐标；假设不存在，请说明理由.【分析】

（1）用顶点式借助于C点坐标求得抛物线的解析式；

（2）由抛物线可以判定NPDA不能为直角，所以4ADP是直角三角形，有两种情况，需要分类讨论；

（3）是否存在以A.P、E、F为顶点的平行四边形，点A.P的位置已经确定,AP只能做为平行四边形的边,AE只能做为对角线，所以P1不合题意舍去，假设存在平行四边形,根据平行四边形的中心对称性及x轴可以确定点F的纵坐标,把纵坐标代入抛物线的解析式即可得到关于自变量x的一元二次方程，通过判断一元二次方程的根是否存在来判断点F是否存在.【答案】解［1）••抛物线的顶点为Q12,.••设y二a（x—2）2—1・将C（0,3）代入上式，得3=a（0-2）2-l/.y=（x-2）2-l,即y=x2—4x+3〔2）〔7分）分两种情况

①（3分）当点P为直角顶点时，点巳与点B重合（如图）令尸0,得x2一4x+3=0解之得x.=l,X2=3•点A在点B的右边，AB（1,0）,A（3,0）AP.d,・・0）

②（4分）解:当点A为AAPD2的直角顶点是（如图）0A=0C,NA0C=90°,.\Z0AD=45°2当ND2Ap2=90°时，Z0AP=45°,二.AO平分ND2Ap22又P2D2〃y轴，P2D2±A0,P

2.D2关于x轴对称.设直线AC的函数关系式为y=kx+b将A⑶0,C0,3代入上式得=3%，...1二-

1...+3[3=0]0=3,.•口2在丫二一x+3上，P2在y=x—4x+3上，，设D2x,—x+3,P2x,x2—4x+3―x+3+x2—4x+3=0x2—5x+6=0,Xi=2,x=3^2••当x=2时，y=x2-4x+3=22-4X2+3=-1・P2的坐标为P22,-l即为抛物线顶点P点坐标为Pl,0,P2,-l・・・・・・234分解由题⑵知,当点P的坐标为P[1,0时，不能构成平行四边形当点P的坐标为P2⑵-1即顶点Q时,平移直线AP如图交x轴于点E,交抛物线于点F.当AP二FE时，四边形PAFE是平行四边形VP2,-1,•可令Fx,

1.x2—4x+3=l解之得x1=2-也・・・・x=2+y/

2.2・・・F点有两点，即32—第，1,他F221【涉及知识点】【点评】结合图形进展分析，利用数形结合的方法进展分析、证明是常用的方法,此题借助于图形分析,通过函数解析式建立方程,通过方程解的讨论来解决存在性问题.

7、2021河北,26,12分某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进展销售.假设只在国内销售，销售价格y〔元/件与月销量x〔件〕的函数关系式为y=x+150,本钱为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为W内（元〕〔利润=销售额一本钱一广告费〕.假设只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，本钱为a元/件〔a为常数，10WaW40）,当月销量为x〔件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）〔利润=销售额一本钱一附加费）.⑴当x=1000时，y=元/件，0内=元;[2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式1不必写x的取值范围）；[3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？假设在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值一样，求a的值；〔4〕如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式抛物线的顶点坐标是.【分析】11）根据题意把x=1000代入解析式就可以计算求出结果（2〕由题目的提示利润=销售额一本钱一广告费不难列出w内，w外与x间的函数解析式[3）利用二次函数的顶点坐标公式可以求出在国内销售的月最大利润，由w内，w外最大值一样得到方程，通过解方程求得a的值14〕将销售量x=1000代入w内，w外即可求出两者利润，根据不等式的取值范围10aW40,通过不等式得出应在哪里销售的结论【答案】解[1）14057500；（2〕w内=x[y—20〕一62500=x2+130x,外—w x2+（）150x.6500时，w内最大；分由题意得，解得al=30,a2=270［不合题意，舍去）.所以a=

30.〔4〕当x=5000时，0内=337500,0外=.假设w内V w外，那么a

32.5；假设w内=w外，那么a=

32.5；假设w内w外，那么a

32.

5.所以，当10W aV

32.5时，选择在国外销售；当@=

32.5时,在国外和国内销售都一样；当

32.5V aW40时，选择在国内销售.【涉及知识点】求二次函数解析式、二次函数的性质、不等式的应用【点评】此题文字量较大，，但总体感觉不太难，此题数据较大，认真计算是关键，由浅入深设置问题，表达了上手容易，深入难的压轴题的特点

8、［2021河南，23,11分）在平面直角坐标系中，抛物线经过A,B,C三点.［1）求抛物线的解析式；［2）假设点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为叫4AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.〔3〕假设点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B.0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.【分析】［1）设出抛物线的解析式，然后利用待定系数法求解；。